Maths Terminal Bac Pro
Fonction dérivée : Partie 1 Correction Ex.18
Fonction dérivée : Correction
partie.1 : Ex.18
En utilisant le tableau de la fonction dérivée du cours ou de la fiche d’aide.
Calculer :
a. la dérivée de la fonction :
b. le nombre dérivé " f '(xA)" au point A d’abscisse :
xA = –5 ; 3 et 8.
c. le coefficient directeur " a " de la tangente
(y = ax+b) point A d’abscisse :
xA = –5 ; 3 et 8. 👉 a = f '(xA)
Réponse
a. la dérivée de la fonction :
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Fonction dérivée en Optique : Conception des systèmes optiques
L’optique, la branche de la physique qui étudie la lumière et ses interactions avec la matière, utilise largement les fonctions dérivées pour la conception et l’analyse des systèmes optiques. Les systèmes optiques incluent des instruments tels que les lentilles, les miroirs, les télescopes, les microscopes, et les dispositifs d'imagerie. Cet essai explore l’utilisation des fonctions dérivées dans l’optique pour optimiser les performances de ces systèmes, en intégrant quelques formules mathématiques pour illustrer les concepts clés.
Les fonctions dérivées jouent un rôle essentiel dans l'optimisation des systèmes optiques. Un des premiers concepts à comprendre est celui de l’optique géométrique, où les rayons lumineux sont modélisés par des lignes droites se propageant dans un milieu. Les lois de la réflexion et de la réfraction, décrites par les équations de Snell, sont fondamentales. La loi de Snell, qui décrit la relation entre les angles d'incidence et de réfraction, est donnée par :
où n1 et n2 sont les indices de réfraction des deux milieux, et θ1 et θ2 sont les angles d’incidence et de réfraction, respectivement. Pour optimiser un système optique, il est crucial de minimiser les aberrations optiques, qui sont les déviations des rayons lumineux par rapport au comportement idéal prévu par l’optique géométrique.
L’aberration de sphéricité est une aberration courante où les rayons passant par les bords d’une lentille ne convergent pas au même point que ceux passant par le centre. Pour analyser et corriger cette aberration, on utilise souvent l’optique des formes de surface avancées, et les dérivées sont essentielles pour cela. La fonction de forme de la surface d’une lentille peut être décrite par une équation paramétrique, et les dérivées premières et secondes de cette fonction sont utilisées pour déterminer les courbures locales et les optimiser.
Par exemple, pour une surface de lentille décrite par une fonction , où est la hauteur de la surface en fonction de , la courbure locale peut être trouvée en utilisant la dérivée seconde :
Ici, et sont les première et seconde dérivées de par rapport à . En optimisant cette courbure, on peut réduire les aberrations sphériques et améliorer la qualité de l’image.
Les systèmes optiques doivent également gérer les aberrations chromatiques, causées par la dispersion de la lumière, où différentes longueurs d’onde sont réfractées de manière différente par une lentille. Pour corriger ces aberrations, les opticiens utilisent souvent des lentilles achromatiques, composées de plusieurs éléments en verre avec différents indices de réfraction. La conception de telles lentilles implique la différenciation des indices de réfraction en fonction de la longueur d’onde et l’utilisation des dérivées pour optimiser les propriétés de dispersion.
Une autre application des dérivées en optique concerne l’optimisation des formes des miroirs et des lentilles dans les télescopes et les microscopes. Par exemple, dans un télescope à miroir, le miroir parabolique est conçu pour que tous les rayons parallèles incidents convergent en un seul point focal. La forme parabolique idéale est obtenue en minimisant les dérivées de l'équation du miroir par rapport aux paramètres de conception. La forme d'un miroir parabolique est décrite par l'équation , et en optimisant la constante , les ingénieurs peuvent minimiser les aberrations optiques.
En optique physique, où la lumière est considérée comme une onde électromagnétique, les fonctions dérivées sont utilisées pour analyser et concevoir des systèmes d’interférence et de diffraction. L’équation de Fresnel pour la diffraction est une application clé, où la fonction d'onde peut être modélisée et analysée à l'aide des dérivées pour comprendre comment la lumière se propage et interfère. La dérivée de la fonction d’onde par rapport à la position permet de prédire les motifs d’interférence et de diffraction, essentiels pour concevoir des instruments optiques tels que les interféromètres et les réseaux de diffraction.
Les systèmes d’imagerie optique, tels que les caméras et les microscopes, utilisent également des dérivées pour optimiser la profondeur de champ et la résolution. La profondeur de champ peut être approximée par la formule suivante :
où est le nombre d'ouverture, est le cercle de confusion, est la distance de mise au point, et est la distance focale de l'objectif. En différenciant cette formule par rapport à ou , les concepteurs peuvent optimiser ces paramètres pour maximiser la profondeur de champ tout en maintenant une résolution optimale.
Dans la conception des fibres optiques, les fonctions dérivées sont essentielles pour analyser et optimiser la propagation de la lumière à travers les fibres. La dérivée de la fonction de mode de propagation par rapport au rayon de la fibre et à l’indice de réfraction permet de concevoir des fibres qui minimisent la dispersion et les pertes. La propagation de la lumière dans une fibre optique est décrite par l'équation de Schrödinger non linéaire, une équation différentielle partielle dont la solution nécessite l'utilisation intensive des dérivées.
La fonction de transfert optique (OTF) est un autre concept crucial en optique, qui décrit la réponse d’un système optique à différentes fréquences spatiales. La dérivée de l’OTF par rapport aux paramètres de conception, tels que la taille de l'ouverture ou la longueur focale, permet d'optimiser la résolution et la qualité d'image. Par exemple, l'OTF est définie comme la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle du système, et sa dérivée donne des informations sur la capacité du système à transférer différents niveaux de détails de l'objet à l'image.
En synthèse, les fonctions dérivées sont un outil mathématique essentiel dans la conception et l'optimisation des systèmes optiques. Elles permettent d’analyser et de corriger les aberrations optiques, d’optimiser la courbure et la forme des surfaces optiques, de gérer la dispersion et les aberrations chromatiques, et de maximiser la résolution et la profondeur de champ dans les systèmes d’imagerie. En utilisant les dérivées pour modéliser les propriétés de la lumière et les interactions avec les matériaux optiques, les ingénieurs et les scientifiques peuvent concevoir des systèmes optiques plus performants et plus précis, répondant ainsi aux besoins croissants des applications modernes en science, en médecine, en communication et en technologie.