En économie, les fonctions dérivées jouent un rôle central dans l'analyse des marges de profit et l'optimisation des décisions économiques. Elles sont utilisées pour examiner comment les changements dans diverses variables affectent les résultats économiques, permettant ainsi de prendre des décisions informées sur la production, la fixation des prix, et d'autres aspects critiques de la gestion des entreprises. Dans ce contexte, les dérivées fournissent des outils mathématiques puissants pour maximiser les profits et minimiser les coûts.
Pour commencer, considérons le concept de marge de profit. La marge de profit est définie comme la différence entre le revenu total et le coût total. Si R(q) représente le revenu total généré par la vente de q unités d'un produit, et C(q) le coût total de production de ces unités, alors le profit Π(q) est donné par :
Π(q)=R(q)−C(q)
Pour maximiser le profit, il est crucial de comprendre comment le profit change lorsque la quantité produite et vendue varie. Cela nous conduit à l'utilisation des dérivées. La dérivée première du profit par rapport à la quantité, Π′(q), représente le taux de variation du profit lorsque la quantité produite change d'une unité. Pour trouver le point où le profit est maximisé, nous devons résoudre l'équation Π′(q)=0.
Décomposons cette idée en utilisant les concepts de revenu marginal et de coût marginal. Le revenu marginal MR(q) est la dérivée du revenu total par rapport à la quantité :
MR(q)=dqdR(q)
Le coût marginal MC(q) est la dérivée du coût total par rapport à la quantité :
MC(q)=dqdC(q)
Le profit est maximisé lorsque le revenu marginal est égal au coût marginal :
MR(q)=MC(q)
Pour illustrer, supposons que le revenu total d'une entreprise soit donné par R(q)=100q−q2 et que le coût total soit C(q)=20q+0.5q2. Calculons les revenus et coûts marginaux :
MR(q)=dqd(100q−q2)=100−2q
MC(q)=dqd(20q+0.5q2)=20+q
En résolvant MR(q)=MC(q), nous trouvons :
100−2q=20+q
100−20=3q
80=3q
q=380≈26.67
Ainsi, la quantité qui maximise le profit est approximativement 26,67 unités. En substituant cette valeur dans les fonctions de revenu et de coût, nous pouvons déterminer le profit maximum.
En plus de maximiser le profit, les dérivées sont également utilisées pour analyser les points de rentabilité, où l'entreprise commence à réaliser un profit positif. Le point de rentabilité est atteint lorsque le revenu total est égal au coût total :
R(q)=C(q)
En résolvant cette équation, les entreprises peuvent déterminer le seuil de production minimum nécessaire pour couvrir les coûts.
Les dérivées sont également essentielles dans l'analyse des coûts. Par exemple, le coût total C(q) peut être divisé en coût fixe FC et coût variable VC(q). Le coût fixe est indépendant de la quantité produite, tandis que le coût variable change avec le niveau de production. Le coût marginal est donc la dérivée du coût variable par rapport à la quantité :
MC(q)=dqdVC(q)
Comprendre la relation entre les coûts marginaux et les coûts moyens est crucial pour les décisions de production. Le coût moyen total ATC(q) est donné par :
ATC(q)=qC(q)
Le coût moyen variable AVC(q) est :
AVC(q)=qVC(q)
L'analyse des dérivées de ces fonctions permet de comprendre comment les coûts évoluent avec l'augmentation de la production, ce qui est essentiel pour fixer les prix et déterminer les niveaux de production optimaux.
En ce qui concerne l'optimisation, les dérivées sont utilisées pour maximiser ou minimiser les fonctions économiques. Par exemple, une entreprise peut vouloir maximiser son profit en choisissant le niveau optimal de production et de prix. La technique de Lagrange est souvent utilisée pour résoudre des problèmes d'optimisation sous contraintes. Supposons qu'une entreprise souhaite maximiser son profit Π(q) sous la contrainte de capacité de production g(q)≤K. Le problème peut être formulé comme suit :
Maximiser Π(q)=R(q)−C(q)
sous la contrainte g(q)≤K
La fonction de Lagrange est alors :
L(q,λ)=Π(q)+λ(K−g(q))
En différentiant L par rapport à q et λ et en résolvant les équations résultantes, on obtient les valeurs optimales de q et λ.
Les dérivées jouent également un rôle crucial dans l'analyse de l'élasticité, une mesure de la sensibilité de la demande ou de l'offre à un changement de prix. L'élasticité-prix de la demande η est définie comme :
η=dPdQ⋅QP
où Q est la quantité demandée et P est le prix. L'élasticité-prix permet aux entreprises de comprendre comment une modification du prix affectera les ventes et les revenus. Une élasticité-prix élevée signifie que la demande est très sensible aux changements de prix, tandis qu'une élasticité-prix faible indique une demande relativement inélastique.
L'analyse des dérivées en économie ne se limite pas aux entreprises individuelles. Elle est également utilisée pour étudier des phénomènes macroéconomiques tels que la croissance économique, l'inflation, et l'emploi. Par exemple, la fonction de production agrégée d'une économie, souvent modélisée par une fonction Cobb-Douglas Y=AKαL1−α, où Y est le produit total, K est le capital, L est le travail, et A est un facteur de productivité, peut être analysée à l'aide de dérivées pour comprendre les rendements d'échelle et les contributions relatives du capital et du travail à la production économique.
En résumé, les fonctions dérivées sont des outils mathématiques indispensables en économie pour analyser et optimiser les marges de profit. Elles permettent de déterminer les niveaux de production et de prix qui maximisent le profit, d'analyser les coûts marginaux et moyens, et de comprendre la sensibilité de la demande aux variations de prix. Les dérivées facilitent également l'analyse des points de rentabilité et l'optimisation sous contraintes, aidant ainsi les entreprises à prendre des décisions éclairées et stratégiques. Que ce soit pour des applications microéconomiques ou macroéconomiques, les dérivées jouent un rôle crucial dans la modélisation et la résolution de problèmes économiques complexes, contribuant ainsi à la prise de décision efficace et à la gestion des ressources économiques.
b. le nombre dérivé " f '(xA)" au point A d’abscisse : 
