Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 1 Correction Ex.4

Fonction dérivée : Correction 
partie.1 : Ex.4

En utilisant le tableau de la fonction dérivée du cours ou de la fiche d’aide.
Calculer :
a.    la dérivée de la fonction :                     

b.    le nombre dérivé  "  f '(x_A)"  au point A d’abscisse : 
                                x_A =  -5  ;  3  et  8. 
c.    le coefficient directeur   "  a  "  de la tangente (y = ax+b) point A d’abscisse :   
                            x_A =  -5  ;  3  et  8   👉   a = f '(x_A)

                                   Réponse 

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Fonction dérivée en Informatique : Algorithmes de machine learning

Les fonctions dérivées jouent un rôle fondamental en informatique, en particulier dans le domaine du machine learning. Elles sont essentielles pour l'optimisation des modèles, permettant aux algorithmes d'apprendre à partir des données. En machine learning, les dérivées sont utilisées principalement pour ajuster les paramètres des modèles afin de minimiser une fonction de perte, qui quantifie l'erreur entre les prédictions du modèle et les valeurs réelles. Ce processus est souvent réalisé par des techniques d'optimisation telles que la descente de gradient.

La descente de gradient est l'un des algorithmes les plus couramment utilisés en machine learning pour minimiser les fonctions de perte. Elle repose sur l'idée d'utiliser les dérivées pour suivre la pente descendante de la fonction de perte. Supposons que nous avons une fonction de perte $𝐿(𝜃)$ qui dépend d'un vecteur de paramètres $𝜃$. La descente de gradient met à jour les paramètres $𝜃$ dans la direction opposée au gradient de la fonction de perte par rapport à $𝜃$ :

${𝜃}_{𝑡+1}={𝜃}_{𝑡}-𝜂{\mathrm{\nabla }}_{𝜃}𝐿({𝜃}_{𝑡})$

où ${𝜃}_{𝑡}$ représente les paramètres à l'itération $𝑡$, $𝜂$ est le taux d'apprentissage, et ${\mathrm{\nabla }}_{𝜃}𝐿({𝜃}_{𝑡})$ est le gradient de la fonction de perte par rapport aux paramètres. Le gradient ${\mathrm{\nabla }}_{𝜃}𝐿({𝜃}_{𝑡})$ est un vecteur de dérivées partielles de $𝐿(𝜃)$ par rapport à chaque paramètre de $𝜃$. En ajustant $𝜃$ de manière itérative, l'algorithme cherche à trouver les paramètres qui minimisent $𝐿(𝜃)$.

Un exemple classique est la régression linéaire, où l'objectif est de trouver les coefficients $𝜃=({𝜃}_0,{𝜃}_1,\dots ,{𝜃}_{𝑛})$ qui minimisent la somme des carrés des erreurs entre les prédictions du modèle et les valeurs observées. La fonction de perte pour la régression linéaire est souvent la fonction de coût quadratique :

$𝐿(𝜃)=\frac{1}{2𝑚}{\sum }_{𝑖=1}^{𝑚}({ℎ}_{𝜃}({𝑥}_{𝑖})-{𝑦}_{𝑖}{)}^2$

où $𝑚$ est le nombre d'exemples dans le jeu de données, ${ℎ}_{𝜃}({𝑥}_{𝑖})$ est la prédiction du modèle pour l'exemple $𝑖$ donnée par ${ℎ}_{𝜃}({𝑥}_{𝑖})={𝜃}_0+{𝜃}_1{𝑥}_{𝑖1}+\dots +{𝜃}_{𝑛}{𝑥}_{𝑖𝑛}$, et ${𝑦}_{𝑖}$ est la valeur réelle pour l'exemple $𝑖$. Le gradient de $𝐿(𝜃)$ par rapport à chaque paramètre ${𝜃}_{𝑗}$ est :

La descente de gradient met à jour chaque paramètre ${𝜃}_{𝑗}$ en suivant la direction opposée à ce gradient.

Les réseaux de neurones, qui sont à la base de nombreuses applications modernes de machine learning, utilisent également les dérivées pour l'apprentissage. Un réseau de neurones est composé de couches de neurones, chaque neurone effectuant une transformation linéaire suivie d'une fonction d'activation non linéaire. L'apprentissage dans les réseaux de neurones est généralement réalisé à l'aide de l'algorithme de rétropropagation, qui utilise les dérivées pour ajuster les poids des connexions entre neurones.

La rétropropagation fonctionne en calculant l'erreur de prédiction du réseau et en propageant cette erreur en arrière à travers le réseau pour mettre à jour les poids. Pour un réseau de neurones avec une fonction de perte 𝐿, l'algorithme calcule d'abord le gradient de 𝐿 par rapport aux sorties de la dernière couche, puis utilise la règle de la chaîne pour propager ce gradient en arrière à travers le réseau. La règle de la chaîne permet de calculer le gradient de la fonction de perte par rapport à chaque poids en multipliant les gradients locaux (les dérivées partielles) le long du chemin de rétropropagation :

où ${𝑤}_{𝑖𝑗}$ est le poids de la connexion entre le neurone $𝑖$ et le neurone $𝑗$, ${𝑎}_{𝑗}$ est l'activation du neurone $𝑗$, et ${𝑧}_{𝑗}$ est l'entrée pondérée du neurone $𝑗$. En ajustant les poids en fonction de ces gradients, le réseau de neurones apprend à minimiser la fonction de perte.

Les fonctions dérivées sont également essentielles dans les techniques de régularisation, qui visent à améliorer la généralisation des modèles en pénalisant des valeurs de paramètres excessivement grandes. Par exemple, la régularisation L2, également appelée régularisation de Tikhonov ou ridge regression, ajoute une pénalité proportionnelle au carré de la norme des poids à la fonction de perte :

ou y est le paramètre de régularisation. La dérivée de cette fonction de perte régularisée par rapport à chaque paramètre

${𝜃}_{𝑗}$ est :

En ajoutant cette pénalité, la régularisation L2 empêche les poids de devenir trop grands, réduisant ainsi le risque de surapprentissage.

Les dérivées sont également utilisées dans les méthodes de machine learning non supervisées, telles que le clustering et la réduction de dimensionnalité. Par exemple, dans l'algorithme de k-means, qui partitionne les données en $𝑘$ clusters, la fonction de perte à minimiser est la somme des distances au carré des points aux centres de leurs clusters respectifs. Les centres des clusters sont mis à jour en calculant les dérivées de cette fonction de perte par rapport aux positions des centres, puis en ajustant les centres pour minimiser la perte.

Dans les techniques de réduction de dimensionnalité comme l'analyse en composantes principales (PCA), les dérivées sont utilisées pour trouver les directions principales qui capturent la plus grande variance des données. PCA maximise la variance projetée des données en calculant les dérivées des vecteurs propres de la matrice de covariance des données.

Enfin, les algorithmes de machine learning bayésiens utilisent également les dérivées pour la mise à jour des croyances et l'estimation des paramètres. Par exemple, dans l'approximation variationnelle bayésienne, on optimise une fonction d'évidence lower bound (ELBO) pour approcher la distribution postérieure des paramètres. Les dérivées de l'ELBO par rapport aux paramètres de la distribution approximante sont utilisées pour ajuster ces paramètres de manière à maximiser l'ELBO.

En résumé, les fonctions dérivées sont des outils mathématiques essentiels en machine learning. Elles permettent d'optimiser les modèles en ajustant les paramètres pour minimiser les fonctions de perte, d'améliorer la généralisation par la régularisation, et de résoudre des problèmes non supervisés. Que ce soit dans des algorithmes simples comme la régression linéaire ou dans des réseaux de neurones profonds, les dérivées sont omniprésentes, facilitant l'apprentissage et l'optimisation des modèles à partir des données. Leur rôle crucial dans ces processus fait des fonctions dérivées un élément fondamental de l'infrastructure du machine learning moderne.

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