Maths Terminal Bac Pro
Fonction dérivée : Partie 1 Correction Ex.5
Fonction dérivée : Correction
partie.1 : Ex.5
En utilisant le tableau de la fonction dérivée du cours ou de la fiche d’aide.
Calculer :
a. la dérivée de la fonction : 
b. le nombre dérivé " f '(xA)" au point A d’abscisse :
xA = -1 ; 2 et 5.
c. le coefficient directeur " a " de la tangente (y = ax+b) point A d’abscisse :
xA = -1 ; 2 et 5 👉 a = f '(xA)
Calculer :
a. la dérivée de la fonction :
xA = -1 ; 2 et 5.
c. le coefficient directeur " a " de la tangente (y = ax+b) point A d’abscisse :
xA = -1 ; 2 et 5 👉 a = f '(xA)
Réponse
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Fonction dérivée en Finance : Calcul des taux de variation pour les prix des options
Les fonctions dérivées occupent une place centrale en finance, particulièrement dans le calcul des taux de variation pour les prix des options. En finance, une option est un contrat financier qui donne à l'acheteur le droit, mais non l'obligation, d'acheter ou de vendre un actif sous-jacent à un prix spécifié avant ou à une date d'expiration donnée. Les prix des options dépendent de divers facteurs, et les dérivées sont utilisées pour mesurer la sensibilité des prix des options à ces facteurs. Ces mesures sont appelées les "Greeks", un ensemble d'indicateurs qui jouent un rôle crucial dans la gestion des risques et la stratégie de trading des options.
Les principaux Greeks sont Delta, Gamma, Theta, Vega et Rho. Chacun de ces indicateurs est une dérivée partielle de la valeur de l'option par rapport à un paramètre spécifique du modèle de tarification des options. Le modèle de Black-Scholes, l'un des modèles les plus utilisés pour la tarification des options, sert de base pour illustrer ces concepts.
Delta () est la première dérivée du prix de l'option par rapport au prix de l'actif sous-jacent. Il mesure la sensibilité du prix de l'option aux variations du prix de l'actif sous-jacent. Formellement, pour une option de prix et un actif sous-jacent de prix :
Delta indique combien le prix de l'option va changer si le prix de l'actif sous-jacent change d'une unité. Par exemple, un delta de 0,5 signifie que pour chaque augmentation de 1 dollar du prix de l'actif sous-jacent, le prix de l'option augmentera de 0,50 dollar.
Gamma () est la dérivée seconde du prix de l'option par rapport au prix de l'actif sous-jacent. Il mesure la sensibilité de Delta par rapport aux variations du prix de l'actif sous-jacent :
Gamma indique comment Delta changera si le prix de l'actif sous-jacent change. Un gamma élevé signifie que Delta est très sensible aux mouvements du prix de l'actif sous-jacent, ce qui est crucial pour la gestion des risques, en particulier pour les portefeuilles de trading qui nécessitent une couverture dynamique.
Theta () est la dérivée du prix de l'option par rapport au temps, souvent appelé "décroissance temporelle". Il mesure la sensibilité du prix de l'option à l'écoulement du temps, à parités des autres facteurs :
Theta représente la diminution du prix de l'option à mesure que l'échéance approche, reflétant la perte de valeur temps. Les options à court terme ont généralement un theta plus élevé que les options à long terme.
Vega () est la dérivée du prix de l'option par rapport à la volatilité de l'actif sous-jacent. Il mesure la sensibilité du prix de l'option aux variations de la volatilité :
où 𝜎 est la volatilité. Vega indique combien le prix de l'option changera si la volatilité implicite du sous-jacent change d'une unité. Vega est particulièrement important pour les traders d'options car les variations de volatilité peuvent avoir un impact significatif sur les prix des options.
Rho () est la dérivée du prix de l'option par rapport au taux d'intérêt sans risque. Il mesure la sensibilité du prix de l'option aux variations des taux d'intérêt :
où 𝑟 est le taux d'intérêt. Rho est moins souvent utilisé que les autres Greeks mais devient important dans des environnements de taux d'intérêt volatils.
Les dérivées sont également utilisées pour des stratégies de couverture et de trading. Par exemple, une stratégie delta-neutral consiste à combiner des options et des actifs sous-jacents de manière à rendre le portefeuille insensible aux petites variations du prix de l'actif sous-jacent. Cela est réalisé en équilibrant les deltas de manière à ce que la somme des deltas soit nulle. Si un portefeuille a une delta totale de zéro, il est dit delta-neutre et devrait théoriquement ne pas être affecté par de petites fluctuations du prix de l'actif sous-jacent.
Pour les calculs pratiques, supposons que nous utilisons le modèle de Black-Scholes pour évaluer une option d'achat européenne (call option). La formule de Black-Scholes pour le prix d'une option d'achat est :
et 𝑁(⋅) est la fonction de répartition cumulative de la distribution normale standard, 𝑆0 est le prix actuel de l'actif sous-jacent, 𝑋 est le prix d'exercice de l'option, 𝑟 est le taux d'intérêt sans risque, 𝜎 est la volatilité du prix de l'actif sous-jacent, et 𝑡 est le temps jusqu'à l'échéance.
Pour obtenir Delta à partir de la formule de Black-Scholes, on calcule :
Gamma, étant la dérivée seconde, est donné par :
Theta, qui mesure la sensibilité au passage du temps, est plus complexe car il inclut des termes pour les composantes temps et taux d'intérêt :
Vega, la sensibilité à la volatilité, est calculée comme suit :
Enfin, Rho, la sensibilité aux taux d'intérêt, est donné par :
Ces formules montrent comment les dérivées sont utilisées pour extraire des informations cruciales sur les taux de variation des prix des options par rapport à divers paramètres. Elles permettent aux gestionnaires de portefeuille et aux traders de mieux comprendre et de gérer les risques associés aux positions en options.
En conclusion, les fonctions dérivées sont essentielles en finance pour le calcul des taux de variation des prix des options. Elles fournissent des mesures quantitatives, les Greeks, qui permettent d'évaluer et de gérer les sensibilités des prix des options à divers facteurs tels que le prix de l'actif sous-jacent, le temps, la volatilité et les taux d'intérêt. Grâce à ces outils, les acteurs du marché peuvent construire des stratégies de couverture efficaces, optimiser leurs portefeuilles et naviguer dans des environnements financiers complexes avec une meilleure compréhension des risques associés.
Fonction dérivée en Finance : Calcul des taux de variation pour les prix des options
Les fonctions dérivées occupent une place centrale en finance, particulièrement dans le calcul des taux de variation pour les prix des options. En finance, une option est un contrat financier qui donne à l'acheteur le droit, mais non l'obligation, d'acheter ou de vendre un actif sous-jacent à un prix spécifié avant ou à une date d'expiration donnée. Les prix des options dépendent de divers facteurs, et les dérivées sont utilisées pour mesurer la sensibilité des prix des options à ces facteurs. Ces mesures sont appelées les "Greeks", un ensemble d'indicateurs qui jouent un rôle crucial dans la gestion des risques et la stratégie de trading des options.
Les principaux Greeks sont Delta, Gamma, Theta, Vega et Rho. Chacun de ces indicateurs est une dérivée partielle de la valeur de l'option par rapport à un paramètre spécifique du modèle de tarification des options. Le modèle de Black-Scholes, l'un des modèles les plus utilisés pour la tarification des options, sert de base pour illustrer ces concepts.
Delta () est la première dérivée du prix de l'option par rapport au prix de l'actif sous-jacent. Il mesure la sensibilité du prix de l'option aux variations du prix de l'actif sous-jacent. Formellement, pour une option de prix et un actif sous-jacent de prix :
Delta indique combien le prix de l'option va changer si le prix de l'actif sous-jacent change d'une unité. Par exemple, un delta de 0,5 signifie que pour chaque augmentation de 1 dollar du prix de l'actif sous-jacent, le prix de l'option augmentera de 0,50 dollar.
Gamma () est la dérivée seconde du prix de l'option par rapport au prix de l'actif sous-jacent. Il mesure la sensibilité de Delta par rapport aux variations du prix de l'actif sous-jacent :
Gamma indique comment Delta changera si le prix de l'actif sous-jacent change. Un gamma élevé signifie que Delta est très sensible aux mouvements du prix de l'actif sous-jacent, ce qui est crucial pour la gestion des risques, en particulier pour les portefeuilles de trading qui nécessitent une couverture dynamique.
Theta () est la dérivée du prix de l'option par rapport au temps, souvent appelé "décroissance temporelle". Il mesure la sensibilité du prix de l'option à l'écoulement du temps, à parités des autres facteurs :
Theta représente la diminution du prix de l'option à mesure que l'échéance approche, reflétant la perte de valeur temps. Les options à court terme ont généralement un theta plus élevé que les options à long terme.
Vega () est la dérivée du prix de l'option par rapport à la volatilité de l'actif sous-jacent. Il mesure la sensibilité du prix de l'option aux variations de la volatilité :
où 𝜎 est la volatilité. Vega indique combien le prix de l'option changera si la volatilité implicite du sous-jacent change d'une unité. Vega est particulièrement important pour les traders d'options car les variations de volatilité peuvent avoir un impact significatif sur les prix des options.
Rho () est la dérivée du prix de l'option par rapport au taux d'intérêt sans risque. Il mesure la sensibilité du prix de l'option aux variations des taux d'intérêt :
où 𝑟 est le taux d'intérêt. Rho est moins souvent utilisé que les autres Greeks mais devient important dans des environnements de taux d'intérêt volatils.
Les dérivées sont également utilisées pour des stratégies de couverture et de trading. Par exemple, une stratégie delta-neutral consiste à combiner des options et des actifs sous-jacents de manière à rendre le portefeuille insensible aux petites variations du prix de l'actif sous-jacent. Cela est réalisé en équilibrant les deltas de manière à ce que la somme des deltas soit nulle. Si un portefeuille a une delta totale de zéro, il est dit delta-neutre et devrait théoriquement ne pas être affecté par de petites fluctuations du prix de l'actif sous-jacent.
Pour les calculs pratiques, supposons que nous utilisons le modèle de Black-Scholes pour évaluer une option d'achat européenne (call option). La formule de Black-Scholes pour le prix d'une option d'achat est :
et 𝑁(⋅) est la fonction de répartition cumulative de la distribution normale standard, 𝑆0 est le prix actuel de l'actif sous-jacent, 𝑋 est le prix d'exercice de l'option, 𝑟 est le taux d'intérêt sans risque, 𝜎 est la volatilité du prix de l'actif sous-jacent, et 𝑡 est le temps jusqu'à l'échéance.
Pour obtenir Delta à partir de la formule de Black-Scholes, on calcule :
Gamma, étant la dérivée seconde, est donné par :
Theta, qui mesure la sensibilité au passage du temps, est plus complexe car il inclut des termes pour les composantes temps et taux d'intérêt :
Vega, la sensibilité à la volatilité, est calculée comme suit :
Enfin, Rho, la sensibilité aux taux d'intérêt, est donné par :
Ces formules montrent comment les dérivées sont utilisées pour extraire des informations cruciales sur les taux de variation des prix des options par rapport à divers paramètres. Elles permettent aux gestionnaires de portefeuille et aux traders de mieux comprendre et de gérer les risques associés aux positions en options.
En conclusion, les fonctions dérivées sont essentielles en finance pour le calcul des taux de variation des prix des options. Elles fournissent des mesures quantitatives, les Greeks, qui permettent d'évaluer et de gérer les sensibilités des prix des options à divers facteurs tels que le prix de l'actif sous-jacent, le temps, la volatilité et les taux d'intérêt. Grâce à ces outils, les acteurs du marché peuvent construire des stratégies de couverture efficaces, optimiser leurs portefeuilles et naviguer dans des environnements financiers complexes avec une meilleure compréhension des risques associés.