Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 2 Correction Ex.2

Fonction dérivée :

 Correction partie.2  Ex.2

Tableau de variation sans graphique :

Fonction dérivée

Etudie  le  sens  de variation de la fonction ¦ définie sur  l’intervalle   [ -8  ;  8  ] par :

 ¦(x) = 5x² - 30x + 9

a.    Calculer la dérivée ¦¢(x)  de la fonction ¦(x) = 5x² - 30x + 9

Réponse

¦(x) = 5x² - 30x + 9          

La fonction dérivée : ¦¢(x)  = 5×2x - 30  + 0             

 ¦¢(x)  = 10x - 30  

 b.    Résoudre :

·       ¦¢(x) = 0 

Réponse

  ¦¢(x) = 0    ;    10x - 30  = 0   ;    10x = 0 + 30  

                     ;   10x = 30  ;  x = 30 /  10  ;  x = 3       

 ·       ¦¢(x) < 0 

Réponse

  ¦¢(x) < 0     ;    10x - 30 < 0    ;    10x < 0 + 30 

                     ;   10x < 30    ;    x < 30 / 10    ;     x < 3      

 ·       ¦¢(x) > 0 

Réponse

  ¦¢(x)> 0      ;     10x - 30 > 0     ;    10x > 0 + 30    

                      ;     10x >30   ;    x > 30 / 10    ;     x > 3     

c.  Tableau de variation

 ¦(-8) = 5×(-8)² - 30×(-8) + 9 = 569

¦(3) = 5×3² - 30×3 + 9  = -36

¦(8) = 5×8² - 30×8 + 9 = 89

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Fonction dérivée en Thermodynamique : Analyse des processus thermodynamiques

La thermodynamique est une branche de la physique qui étudie les transformations de l'énergie et la matière. Les fonctions dérivées sont des outils mathématiques essentiels en thermodynamique pour analyser et modéliser les processus thermodynamiques. Cet essai explore l'utilisation des fonctions dérivées dans ce contexte, en incluant quelques formules mathématiques pour illustrer les concepts clés.

La thermodynamique repose sur quatre lois fondamentales. La première loi, également connue sous le nom de principe de conservation de l'énergie, stipule que l'énergie interne d'un système isolé reste constante. Mathématiquement, pour un système fermé, elle s'exprime par :

où ΔU est la variation de l'énergie interne du système, Q est la chaleur échangée avec l'environnement, et W est le travail effectué par le système. Les fonctions dérivées interviennent ici pour décrire les variations infinitésimales. Par exemple, la forme différentielle de la première loi est :

Pour un processus réversible, le travail effectué peut être exprimé en termes de volume V et de pression P :

Cette équation montre comment les dérivées de l'énergie interne par rapport au volume et à la chaleur sont liées aux propriétés thermodynamiques du système.

La deuxième loi de la thermodynamique introduit le concept d'entropie S, une mesure de l'irréversibilité des processus. Elle stipule que l'entropie totale d'un système isolé ne peut jamais diminuer. Pour un processus réversible, l'entropie change selon :

​​

où $\delta Q_{\text{rev}}$ est la chaleur échangée de manière réversible et $T$ est la température absolue. La dérivée de l'entropie par rapport à l'énergie à température constante est essentielle pour comprendre l'évolution des systèmes thermodynamiques.

Un concept central en thermodynamique est l'enthalpie $H$, définie comme :

La forme différentielle de cette relation est :

En utilisant la première loi, on obtient :

L'enthalpie est particulièrement utile pour les processus à pression constante, où:

Une autre fonction thermodynamique importante est l'énergie libre de Helmholtz $F$, définie par :

Sa forme différentielle est :

En utilisant la première et la deuxième loi, on obtient :

L'énergie libre de Helmholtz est utile pour les processus isothermes (à température constante), car elle permet de déterminer le travail maximum que peut effectuer un système.

L'énergie libre de Gibbs $G$ est définie par :

Sa forme différentielle est :

En utilisant les expressions différentielles de $\mathrm{H\; e}$t la deuxième loi, on obtient :

L'énergie libre de Gibbs est particulièrement utile pour les processus à température et pression constantes, où:

​

c'est-à-dire le travail non mécanique maximal (comme le travail électrique dans une pile).

Les dérivées partielles sont souvent utilisées pour définir les capacités thermiques. Par exemple, la capacité thermique à volume constant $C_V$ et à pression constante $C_P$ sont données par :

Ces dérivées montrent comment l'énergie interne et l'enthalpie varient avec la température, fournissant des informations essentielles sur la réponse thermique des matériaux.

Un autre domaine où les fonctions dérivées jouent un rôle crucial est l'analyse des cycles thermodynamiques, comme le cycle de Carnot, le cycle de Rankine, et le cycle de réfrigération.

 Les cycles thermodynamiques sont des processus fondamentaux dans les domaines de l'ingénierie thermique et de l'énergie. Ils décrivent comment la chaleur est convertie en travail et vice versa, et sont essentiels pour comprendre le fonctionnement des moteurs, des centrales électriques et des systèmes de réfrigération. Parmi les cycles thermodynamiques les plus étudiés figurent le cycle de Carnot, le cycle de Rankine et le cycle de réfrigération.

Cycle de Carnot

Le cycle de Carnot est un modèle théorique idéal qui représente le cycle thermodynamique le plus efficace possible. Il est composé de deux transformations isothermes (à température constante) et de deux transformations adiabatiques (sans transfert de chaleur).

1. Théorique et Idéal : Le cycle de Carnot est utilisé comme une référence pour évaluer l'efficacité des autres cycles thermodynamiques. Bien qu'il soit impossible à réaliser en pratique à cause des irréversibilités et des pertes de chaleur dans les systèmes réels, il définit la limite supérieure de l'efficacité pour toute machine thermique fonctionnant entre deux températures données.

2. Efficacité Maximale : L'efficacité d'un cycle de Carnot ne dépend que des températures des sources chaude et froide entre lesquelles il opère. Plus l'écart de température est grand, plus le cycle est efficace.

Cycle de Rankine

Le cycle de Rankine est utilisé principalement dans les centrales électriques à vapeur, où il convertit la chaleur en travail mécanique.

1. Processus : Le cycle de Rankine comprend quatre étapes principales : la compression adiabatique de l'eau liquide, l'ajout de chaleur à pression constante pour produire de la vapeur, l'expansion adiabatique de la vapeur pour produire du travail, et le rejet de chaleur à pression constante pour condenser la vapeur en liquide.

2. Applications Pratiques : Ce cycle est la base des centrales thermiques, où des combustibles fossiles ou la chaleur nucléaire sont utilisés pour chauffer l'eau, produisant ainsi de la vapeur qui entraîne des turbines et génère de l'électricité.

3. Améliorations : Diverses modifications du cycle de Rankine, comme la régénération et la réchauffe, améliorent son efficacité en augmentant la température moyenne à laquelle la chaleur est ajoutée.

Cycle de Réfrigération

Le cycle de réfrigération est utilisé dans les systèmes de climatisation et les réfrigérateurs pour transférer la chaleur d'une zone à basse température à une zone à haute température.

1. Processus : Ce cycle implique quatre étapes : la compression adiabatique d'un réfrigérant, le rejet de chaleur à pression constante, l'expansion adiabatique pour abaisser la température du réfrigérant, et l'absorption de chaleur à pression constante pour refroidir l'espace intérieur.

2. Efficacité : L'efficacité d'un cycle de réfrigération est mesurée par le coefficient de performance (COP), qui est le rapport de la chaleur extraite de l'espace refroidi au travail effectué par le compresseur.

3. Technologies : Les cycles de réfrigération utilisent divers réfrigérants et technologies, tels que les cycles à compression de vapeur et les cycles à absorption, chacun ayant des applications spécifiques en fonction des exigences de performance et des contraintes environnementales.

Les cycles thermodynamiques, tels que le cycle de Carnot, le cycle de Rankine et le cycle de réfrigération, sont essentiels pour le fonctionnement efficace de nombreuses technologies énergétiques et de refroidissement. Chacun de ces cycles offre des principes et des méthodes pour convertir l'énergie thermique en travail utile ou pour transférer la chaleur d'un endroit à un autre. Bien que le cycle de Carnot serve de référence théorique idéale, les cycles de Rankine et de réfrigération sont largement appliqués dans les systèmes pratiques pour la production d'électricité et le contrôle climatique, respectivement. Ces cycles continuent d'évoluer avec les innovations technologiques visant à améliorer l'efficacité énergétique et à réduire les impacts environnementaux.

Par exemple, le rendement thermique $\eta$ d'un moteur thermique est donné par :

​​

où Wnet​ est le travail net produit et Qin​ est la chaleur absorbée. En termes de dérivées, l'efficacité peut être analysée en examinant les variations infinitésimales des énergies et des chaleurs à chaque étape du cycle.

Les équations d'état, qui relient les variables thermodynamiques comme la pression, le volume, et la température, sont également dérivées à l'aide des fonctions dérivées. Par exemple, pour un gaz idéal, l'équation d'état est :

où $n$ est le nombre de moles et $R$ est la constante des gaz parfaits. Les dérivées de cette équation par rapport à $T$ ou $P$ à volume constant fournissent des informations sur les propriétés thermodynamiques du gaz.

Pour des systèmes plus complexes, comme les mélanges de gaz réels, des équations d'état plus sophistiquées comme l'équation de van der Waals sont utilisées :

où $a$ et $b$ sont des constantes spécifiques au gaz. Les dérivées de cette équation permettent de comprendre les comportements non idéaux des gaz réels.

L'analyse thermodynamique des phases, comme les transitions de phase, utilise également des fonctions dérivées. Par exemple, la condition de Clapeyron pour une transition de phase de premier ordre entre deux phases $\alpha$ et $\beta$ est donnée par :

​

où $\mathrm{\Delta }S$ est la variation d'entropie et $\mathrm{\Delta }V$ est la variation de volume lors de la transition. Cette dérivée décrit comment la pression de transition varie avec la température, ce qui est crucial pour comprendre les diagrammes de phase des matériaux.

En conclusion, les fonctions dérivées sont des outils mathématiques indispensables en thermodynamique pour analyser et modéliser les processus thermodynamiques. Elles permettent de formuler et de résoudre les équations fondamentales régissant les transformations d'énergie et de matière, d'analyser les capacités thermiques, de comprendre les cycles thermodynamiques, de dériver les équations d'état, et d'explorer les transitions de phase. Grâce à ces techniques, la thermodynamique offre des solutions pour une multitude de problèmes pratiques et théoriques dans divers domaines, allant de l'ingénierie à la physique des matériaux en passant par la chimie et les sciences de l'environnement.

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