Maths Terminal Bac Pro
Fonction dérivée : Partie 2 Correction Ex.4
Fonction dérivée :
Correction partie.2 Ex.4
Tableau de variation sans graphique :
Fonction dérivée
Etudie le sens de variation de la fonction ¦ définie sur l’intervalle
[ 0 ; 10 ] par : ¦(x) = 1,5x² - 18x + 14
a. Calculer la dérivée ¦¢(x) de la fonction :
¦(x) = 1,5x² - 18x + 14
Réponse
¦(x) = 1,5x² - 18x + 14
La fonction dérivée : ¦¢(x) = 1,5×2x - 18 + 0
¦¢(x) = 3x - 18
b. Résoudre :
· ¦¢(x) = 0
Réponse
¦¢(x) = 0 ; 3x - 18 = 0 ; 3x = 0 + 18
; 3x = 18 ; x = 18 / 3 ; x = 6
· ¦¢(x) < 0
Réponse
¦¢(x) < 0 ; 3x - 18 < 0 ; 3x < 0 + 18
; 3x < 18 ; x < 18 / 3 ; x < 6
· ¦¢(x) > 0
Réponse
¦¢(x) > 0 ; 3x - 18 > 0 ; 3x > 0 + 18
; 3x > 18 ; x > 18 / 3 ; x > 6
c. Tableau de variation
¦(0) = 1,5×(0)² - 18×(0) + 14 = 14
¦(6) = 1,5×6² - 18×6 + 14 = -40
¦(10) = 1,5×10² - 18×10 + 14 = -16
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Fonction dérivée en Urbanisme : Planification des infrastructures urbaines
L'urbanisme est un domaine interdisciplinaire qui intègre des aspects de l'architecture, de l'ingénierie civile, de la planification environnementale et des sciences sociales pour créer des villes durables et fonctionnelles. Les fonctions dérivées jouent un rôle essentiel dans la planification des infrastructures urbaines en permettant aux urbanistes de modéliser, analyser et optimiser divers aspects des systèmes urbains. Cet essai explore comment les fonctions dérivées sont utilisées dans différents aspects de la planification des infrastructures urbaines, notamment la gestion du trafic, la distribution des ressources, l'évaluation des impacts environnementaux et la conception des réseaux de transport.
L'un des principaux défis en urbanisme est la gestion du trafic et la réduction des embouteillages. Les fonctions dérivées sont utilisées pour modéliser le flux de trafic et optimiser la capacité des routes. Par exemple, la dérivée de la fonction de densité de trafic par rapport au temps peut fournir des informations sur la variation du nombre de véhicules sur une route donnée à un instant précis. Si ρ(x,t) représente la densité de trafic à l'emplacement x et au temps t, la dérivée partielle par rapport au temps t est donnée par :
Cette dérivée permet aux urbanistes de prévoir les variations de la densité de trafic et de prendre des mesures pour atténuer les embouteillages, comme l'ajustement des feux de signalisation ou la conception de nouvelles routes. En optimisant ces paramètres, les urbanistes peuvent améliorer la fluidité du trafic et réduire les temps de déplacement.
La distribution des ressources est un autre aspect crucial de la planification urbaine. Les fonctions dérivées sont utilisées pour modéliser et optimiser la distribution de l'eau, de l'électricité et d'autres ressources essentielles. Par exemple, la dérivée de la fonction de distribution de l'eau par rapport à la distance peut fournir des informations sur la variation de la pression de l'eau dans un réseau de distribution. Si P(x) représente la pression de l'eau à une distance x du réservoir, la dérivée première:
indique comment la pression change en fonction de la distance. En utilisant cette information, les urbanistes peuvent concevoir des réseaux de distribution qui minimisent les pertes de pression et assurent une distribution efficace des ressources.
L'évaluation des impacts environnementaux est un autre domaine où les fonctions dérivées sont essentielles. Les urbanistes doivent évaluer les impacts des projets d'infrastructure sur l'environnement pour garantir la durabilité des développements urbains. Les dérivées peuvent être utilisées pour modéliser la dispersion des polluants dans l'air et l'eau. Par exemple, la dérivée de la concentration d'un polluant par rapport au temps peut indiquer la vitesse à laquelle la concentration change. Si C(t) représente la concentration d'un polluant à un instant t, la dérivée:
permet d'estimer la propagation du polluant et de prendre des mesures pour minimiser son impact. En optimisant ces modèles, les urbanistes peuvent concevoir des infrastructures qui réduisent les impacts environnementaux négatifs.
La conception des réseaux de transport est également un aspect clé de la planification des infrastructures urbaines. Les fonctions dérivées sont utilisées pour optimiser les itinéraires et les horaires des transports en commun afin de maximiser l'efficacité et le confort des passagers. Par exemple, la dérivée de la fonction de coût du transport par rapport à la distance peut fournir des informations sur la variation du coût en fonction de la distance parcourue. Si C(d) représente le coût de transport pour une distance d, la dérivée:
permet d'analyser comment les coûts changent avec la distance. En utilisant cette information, les urbanistes peuvent concevoir des réseaux de transport qui minimisent les coûts pour les usagers tout en maximisant l'efficacité du système.
Un autre aspect important de l'urbanisme est la gestion des espaces verts et des parcs. Les fonctions dérivées peuvent être utilisées pour optimiser la répartition des espaces verts dans une ville. Par exemple, la dérivée de la fonction de satisfaction des résidents par rapport à la distance aux espaces verts peut fournir des informations sur la variation de la satisfaction en fonction de la proximité des parcs. Si S(x) représente la satisfaction des résidents à une distance x d'un parc, la dérivée:
indique comment la satisfaction change en fonction de la distance. En utilisant cette information, les urbanistes peuvent planifier la localisation des parcs et des espaces verts de manière à maximiser la satisfaction des résidents.
La planification des infrastructures de santé est également un domaine où les fonctions dérivées jouent un rôle crucial. Les urbanistes utilisent des modèles mathématiques pour optimiser l'emplacement des hôpitaux, des cliniques et des centres de santé. La dérivée de la fonction de couverture de santé par rapport à la distance peut fournir des informations sur la variation de la couverture en fonction de la distance aux infrastructures de santé. Si H(d) représente la couverture de santé à une distance d d'un centre de santé, la dérivée:
permet d'analyser comment la couverture change avec la distance. En utilisant cette information, les urbanistes peuvent planifier l'emplacement des infrastructures de santé de manière à maximiser la couverture et l'accès pour les résidents.
La modélisation des risques de catastrophe est un autre domaine où les fonctions dérivées sont utilisées en urbanisme. Les dérivées peuvent être utilisées pour modéliser la propagation des risques tels que les inondations, les incendies et les tremblements de terre. Par exemple, la dérivée de la fonction de risque d'inondation par rapport au temps peut fournir des informations sur la variation du risque en fonction du temps. Si R(t) représente le risque d'inondation à un instant t, la dérivée:
permet d'estimer la vitesse à laquelle le risque change et de prendre des mesures pour atténuer les impacts. En utilisant ces modèles, les urbanistes peuvent concevoir des infrastructures résilientes qui minimisent les risques de catastrophe.
La gestion des déchets est également un aspect crucial de la planification urbaine. Les fonctions dérivées sont utilisées pour optimiser la collecte et le traitement des déchets. Par exemple, la dérivée de la fonction de production de déchets par rapport à la population peut fournir des informations sur la variation de la production de déchets en fonction de la taille de la population. Si W(P) représente la production de déchets pour une population P, la dérivée:
permet d'analyser comment la production de déchets change avec la population. En utilisant cette information, les urbanistes peuvent concevoir des systèmes de gestion des déchets qui minimisent les impacts environnementaux tout en étant efficaces.
En conclusion, les fonctions dérivées sont des outils mathématiques essentiels dans la planification des infrastructures urbaines. Elles permettent aux urbanistes de modéliser, analyser et optimiser divers aspects des systèmes urbains, y compris la gestion du trafic, la distribution des ressources, l'évaluation des impacts environnementaux, la conception des réseaux de transport, la gestion des espaces verts, la planification des infrastructures de santé, la modélisation des risques de catastrophe et la gestion des déchets. En utilisant les dérivées pour analyser les variations infinitésimales des variables urbaines, les urbanistes peuvent prendre des décisions plus éclairées et efficaces, assurant ainsi le développement de villes durables et résilientes face aux défis contemporains.
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