Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 2 Correction Ex.7

Fonction dérivée :

 Correction partie.2  Ex.7

Tableau de variation sans graphique :

Fonction dérivée

Etudie  le  sens  de variation de la fonction ¦ définie sur  l’intervalle

   [ -10  ;  10  ] par : ¦(x) = 0,5x² - 6x + 12

a.    Calculer la dérivée ¦¢(x)  de la fonction :

       ¦(x) = 0,5x² - 6x + 12

Réponse

¦(x) =  0,5x² - 6x + 12          
La fonction dérivée : ¦¢(x)= 0,5×2x - 6 + 0 
¦¢(x)= 1x - 6  

 b.    Résoudre :

·       ¦¢(x) = 0 

Réponse
  ¦¢(x) = 0    ;    1x - 6  = 0   ;   1x = 0 + 6  
                     ;   1x = 6  ;  x = 6 / 1  ;  x =  6   

 ·       ¦¢(x) < 0 

Réponse
  ¦¢(x) < 0     ;    1x - 6 < 0    ;    1x < 0 + 6 
                     ;   1x <  6    ;    x < 6 / 1    ;     x < 6  

·       ¦¢(x) > 0 

Réponse

  ¦¢(x) > 0      ;     1x - 6 > 0     ;    1x > 0 + 6    

                      ;     1x >  6   ;    x > 6 / 1    ;     x > 6     

c.  Tableau de variation

 ¦(-10) = 0,5×(-10)² - 6×(-10) + 12 = 122

¦(6) = 0,5×6² - 6×6 + 12  = - 6

¦(10) = 0,5×10² - 6×10 + 12 = 2

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Fonction dérivée en Systèmes dynamiques : Analyse des systèmes non linéaires.

Les fonctions dérivées jouent un rôle crucial dans l'analyse des systèmes dynamiques, en particulier lorsqu'il s'agit de comprendre les systèmes non linéaires. Les systèmes dynamiques non linéaires apparaissent dans de nombreux domaines de la science et de l'ingénierie, notamment la physique, la biologie, l'économie et l'écologie. Cet essai explore l'utilisation des fonctions dérivées dans l'analyse de ces systèmes, en mettant en lumière la modélisation, l'analyse de la stabilité, les bifurcations et le chaos.

Les systèmes dynamiques sont des modèles mathématiques utilisés pour décrire l'évolution de systèmes complexes au fil du temps. Ils sont largement appliqués dans divers domaines tels que la physique, la biologie, l'économie, et l'ingénierie. Un système dynamique peut être défini par un ensemble de règles ou d'équations qui dictent comment l'état du système change en réponse à ses conditions initiales et aux influences extérieures.

Caractéristiques des Systèmes Dynamiques

1. État et Évolution : Un système dynamique est caractérisé par son état, qui est une collection de variables représentant les propriétés du système à un instant donné. L'évolution du système est déterminée par des règles spécifiques, souvent sous forme d'équations différentielles, qui décrivent comment ces variables changent dans le temps.

2. Comportements Linéaires et Non Linéaires : Les systèmes dynamiques peuvent être linéaires ou non linéaires. Les systèmes linéaires ont des relations proportionnelles et sont plus faciles à analyser et à prédire. En revanche, les systèmes non linéaires, où les relations ne sont pas proportionnelles, peuvent exhiber des comportements complexes comme le chaos, où des changements infimes dans les conditions initiales peuvent conduire à des résultats radicalement différents.

3. Attracteurs et Points d'Équilibre : Un point d'équilibre est un état du système où, une fois atteint, le système reste stable et ne change plus. Les attracteurs sont des états ou des ensembles d'états vers lesquels le système tend à évoluer au fil du temps, malgré les perturbations.

Applications des Systèmes Dynamiques

1. Physique : En physique, les systèmes dynamiques décrivent des phénomènes tels que le mouvement des planètes, le comportement des fluides, et la dynamique des particules. Par exemple, la théorie du chaos, qui est une branche des systèmes dynamiques, a été utilisée pour comprendre des phénomènes imprévisibles comme les conditions météorologiques et les turbulences.

2. Biologie : En biologie, les systèmes dynamiques modélisent la croissance des populations, la propagation des maladies, et les interactions entre espèces. Ces modèles aident à prévoir les dynamiques des écosystèmes et à développer des stratégies pour la conservation de la biodiversité.

3. Économie : Les économistes utilisent des systèmes dynamiques pour modéliser et prévoir des comportements économiques comme les cycles d'affaires, les fluctuations des marchés financiers, et les impacts des politiques économiques. Ces modèles permettent de comprendre comment différentes variables économiques interagissent et influencent l'économie globale.

4. Ingénierie : En ingénierie, les systèmes dynamiques sont essentiels pour concevoir et contrôler des systèmes mécaniques, électriques, et électroniques. Par exemple, les ingénieurs utilisent des modèles dynamiques pour concevoir des systèmes de contrôle automatique, comme ceux utilisés dans les avions, les voitures autonomes, et les robots.

Méthodes d'Analyse

L'analyse des systèmes dynamiques implique plusieurs méthodes, dont la simulation numérique, qui permet de prédire le comportement du système sous différentes conditions initiales et paramètres. Les diagrammes de phase et les bifurcations sont des outils visuels pour analyser les comportements et les transitions des systèmes.

Les systèmes dynamiques offrent un cadre puissant pour comprendre et prédire le comportement de systèmes complexes dans divers domaines. Leur capacité à modéliser les interactions et les évolutions au fil du temps les rend indispensables pour la recherche scientifique, le développement technologique, et la prise de décision stratégique. À mesure que les outils mathématiques et les capacités de calcul progressent, l'étude des systèmes dynamiques continue de se développer, ouvrant de nouvelles perspectives pour la compréhension du monde qui nous entoure.

Pour commencer, considérons la modélisation des systèmes dynamiques. Un système dynamique peut être décrit par un ensemble d'équations différentielles, où les fonctions dérivées représentent les taux de changement des variables d'état du système. Par exemple, un système dynamique en temps continu peut être modélisé par une équation différentielle ordinaire (EDO) de la forme:

où x est un vecteur représentant les variables d'état du système, t$t$ est le temps, et f est une fonction non linéaire décrivant la dynamique du système. Un exemple classique de système non linéaire est le pendule simple, dont l'équation du mouvement est donnée par:

où θ est l'angle de déviation, g est l'accélération due à la gravité, et l est la longueur du pendule. En posant :

cette équation peut être reformulée en un système d'équations de premier ordre:

L'analyse de la stabilité des systèmes non linéaires est une application clé des fonctions dérivées. La stabilité d'un point d'équilibre x∗ d'un système dynamique est déterminée en linéarisant le système autour de ce point. 

Si f(x∗) = 0, on considère les perturbations x = x∗+δx. En utilisant une approximation linéaire, on obtient:

où A est la matrice jacobienne de f évaluée en x∗. Les valeurs propres de la matrice A déterminent la stabilité du point d'équilibre: si toutes les valeurs propres ont des parties réelles négatives, le point d'équilibre est stable; sinon, il est instable.

Prenons un exemple simple avec le système dynamique non linéaire suivant:

Le point d'équilibre x∗ est obtenu en résolvant f(x) = 0, soit x(1−x) = 0, ce qui donne x∗ = 0 et x∗ = 1. 

La matrice jacobienne en ces points est:

En évaluant A en x∗=0 et x∗=1, on obtient respectivement A=1 et A=−1. Le point x∗=0 est instable (valeur propre positive) tandis que x∗=1 est stable (valeur propre négative).

Les bifurcations sont des phénomènes où de petits changements dans les paramètres du système provoquent des changements qualitatifs dans son comportement. L'étude des bifurcations utilise les dérivées pour identifier les points critiques où de tels changements se produisent. Considérons l'équation différentielle non linéaire:

Le chaos est un autre comportement complexe des systèmes dynamiques non linéaires, caractérisé par une sensibilité extrême aux conditions initiales. Les fonctions dérivées jouent un rôle crucial dans l'analyse des systèmes chaotiques, notamment à travers l'exposant de Lyapunov, qui quantifie cette sensibilité. Si δx(0) est une petite perturbation initiale, l'exposant de Lyapunov λ est défini par:

Un système est chaotique si λ > 0, indiquant que les perturbations initiales croissent de manière exponentielle. Par exemple, le système de Lorenz, un système non linéaire en trois dimensions, est célèbre pour son comportement chaotique. Ses équations sont:

où σ, r, et β sont des paramètres. Ce système montre une dynamique complexe et chaotique pour certaines valeurs de paramètres.

Un autre exemple de système chaotique est l'oscillateur de Van der Pol, une équation différentielle non linéaire avec une dépendance quadratique non linéaire du type:

où μ est un paramètre d'amplitude de non-linéarité. Pour μ > 0, le système présente des oscillations auto-entretenues avec une amplitude et une fréquence dépendantes de μ. La réécriture en système d'équations de premier ordre est:

L'étude des points d'équilibre et la linéarisation de ce système permettent de comprendre ses comportements stables et instables, tout en dévoilant des propriétés chaotiques pour certaines valeurs de μ.

Les systèmes dynamiques non linéaires apparaissent également dans la modélisation biologique. Par exemple, le modèle prédateur-proie de Lotka-Volterra est un système d'équations différentielles non linéaires utilisé pour décrire les interactions entre deux espèces, les prédateurs et les proies. Les équations sont:

où x est la population de proies, y est la population de prédateurs, et α, β, δ, et γ sont des paramètres positifs. La dynamique de ce système dépend fortement des valeurs de ces paramètres et peut afficher des comportements oscillatoires complexes.

Un autre exemple est le modèle de population logistique avec une capacité de charge K, modifié pour inclure des effets non linéaires, tel que:

​

où r est le taux de croissance, α est un coefficient de mortalité par compétition, et β est un paramètre de saturation. La linéarisation autour des points d'équilibre et l'analyse de la stabilité permettent de comprendre comment les populations évoluent sous différentes pressions écologiques.

En conclusion, les fonctions dérivées sont fondamentales pour l'analyse des systèmes dynamiques non linéaires. Elles permettent de modéliser la dynamique des systèmes, d'analyser la stabilité des points d'équilibre, d'étudier les bifurcations et de comprendre les comportements chaotiques. En utilisant des équations différentielles et des dérivées, les scientifiques et les ingénieurs peuvent explorer et prédire le comportement de systèmes complexes dans divers domaines, offrant ainsi des insights précieux sur la nature des phénomènes non linéaires.

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