Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

   Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 3 Correction Ex.1

Fonction dérivée :

 Correction partie.3  Ex.1

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Tableau de variation sans graphique d'une fonction de 3ème degré :

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Etudie le sens de variation de la fonction ¦ définie sur l’intervalle [-10 ;10] par :

f (x)  = 2x3 + 9x² - 6x + 4

a.    Calculer la dérivée   f’(x)   de la fonction :

f (x)  = 2x3 + 9x² - 6x + 4  

Réponse

f (x) = 2x³ + 9x² - 60x + 4

f’(x) = 2×3x² + 9×2x - 60 + 0    ;   f’(x) = 6x² + 18x - 60  

 b.    Résoudre ·    f’(x)  = 0 : 

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Réponse

f’(x) = 6x² + 18x - 60 

f’(x) = 0    ;   6x² + 18x - 60 = 0  est une équation du second degré, donc de la forme :  f’(x) = ax² + bx + c .

6x^² +18x – 60 = 0  correspond à  ax² + bx + c = 0

            a = 6   ;   b = 18   ;   c =  -60

Δ  =  b² - 4ac =  18² - 4×6×(-60) = 1764

Δ  > 0     ;     2    Solutions :     

c.  Calculer :

   f’(-5) = ……………….......................…….........................……………………………………

  f’(2) = ……………….......................…….........................……………………………………

Réponse

f’(x) = 6x² + 18x - 60 

f’(-5) = 6×(-5)² + 18×(-5)  - 60 = 0

f’(2) = 6×2² + 18×2  - 60 = 0

Oui c’est normal qu’on trouve se résultat car d’après la question précédentes : 

f’(x) = 0    pour x1 = -5  et x2 = 2 

d.  Calculer :

f(-10) = ……………….......................…….........................……………………………………

 f(-5) = ……………….......................…….........................……………………………………

f(2) = ……………….......................…….........................……………………………………

f(10) = ……………….......................…….........................……………………………………

Réponse

f (x) = 2x³ + 9x² - 60x + 4  

f (-10) = 2×(-10)³ + 9×(-10)² - 60×(-10) + 4 = -496

f (-5) = 2×(-5)³ + 9×(-5)² - 60×(-5) + 4 = 279

f (2) = 2×2³ + 9×2² - 60×2 + 4 = -64

f (10) = 2×10³ + 9×10² - 60×10 + 4 = 2304

e.  Tableau de variation:                                        

Réponse

     a  =  6  donc le a est positif « + »  d’où   signe de a « + » et  signe de -a « - »

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Fonction dérivée en Médecine vétérinaire : Étude des maladies animales, croissance des populations animales

Les fonctions dérivées jouent un rôle crucial en médecine vétérinaire, en particulier pour l'étude des maladies animales et la croissance des populations animales. En utilisant des concepts mathématiques avancés, les vétérinaires et les chercheurs peuvent modéliser et prédire le comportement des populations animales et la dynamique des maladies. Cela permet de développer des stratégies efficaces pour la gestion de la santé animale et l'optimisation de la production animale. Les dérivées permettent de comprendre comment les populations animales changent au fil du temps et comment les maladies se propagent et évoluent.

Pour commencer, considérons l'application des fonctions dérivées à l'étude des maladies animales. Les modèles épidémiologiques utilisent souvent des équations différentielles pour décrire la dynamique des maladies au sein des populations animales. Un modèle couramment utilisé est le modèle SIR (Susceptibles, Infectés, Récupérés), qui divise la population en trois catégories : les individus susceptibles d'être infectés (S), les individus infectés (I), et les individus récupérés (R). Les équations différentielles du modèle SIR sont les suivantes :

où β est le taux de transmission de la maladie et γ est le taux de récupération. Ces équations montrent comment les dérivées des fractions de la population dans chaque catégorie par rapport au temps déterminent la dynamique de la maladie. En analysant ces dérivées, les vétérinaires peuvent comprendre comment la maladie se propage et identifier les interventions nécessaires pour contrôler l'épidémie.

Les fonctions dérivées sont également utilisées pour modéliser la croissance des populations animales. Le modèle de croissance exponentielle, qui décrit une population croissant à un taux constant, est donné par l'équation différentielle suivante :

où N est la taille de la population et r est le taux de croissance. Cependant, ce modèle ne prend pas en compte les limites environnementales, telles que la disponibilité des ressources. Pour une modélisation plus réaliste, on utilise souvent le modèle logistique, qui inclut une capacité de charge K :

Cette équation montre comment le taux de croissance de la population diminue à mesure que la population approche de la capacité de charge de l'environnement. En utilisant ce modèle, les vétérinaires peuvent prévoir la croissance des populations animales dans des environnements contrôlés, tels que les fermes d'élevage, et optimiser les conditions pour maximiser la production tout en maintenant la santé et le bien-être des animaux.

En outre, les fonctions dérivées peuvent être utilisées pour analyser les données de croissance individuelle des animaux. Par exemple, la courbe de croissance de Gompertz, couramment utilisée pour modéliser la croissance de nombreux organismes, est décrite par l'équation suivante :

où W est le poids de l'animal, r$r$ est le taux de croissance initial, et K est le poids asymptotique ou la capacité de charge. Cette équation montre comment le taux de croissance dépend du poids actuel de l'animal et de la différence entre ce poids et le poids asymptotique. En analysant ces dérivées, les vétérinaires peuvent comprendre les schémas de croissance des animaux et ajuster les régimes alimentaires et les conditions environnementales pour favoriser une croissance optimale.

Les fonctions dérivées sont également essentielles pour étudier la propagation des maladies dans les populations animales. Par exemple, le modèle SEIR (Susceptibles, Exposés, Infectés, Récupérés) est une extension du modèle SIR qui inclut une période d'incubation pendant laquelle les individus sont exposés à la maladie mais ne sont pas encore infectieux. Les équations différentielles du modèle SEIR sont les suivantes :

où E est la fraction de la population exposée et σ est le taux de progression de l'exposition à l'infection. En analysant ces dérivées, les vétérinaires peuvent mieux comprendre la dynamique des maladies avec des périodes d'incubation et planifier des stratégies de contrôle plus efficaces, telles que la quarantaine et la vaccination.

En médecine vétérinaire, les fonctions dérivées sont également utilisées pour modéliser la diffusion des médicaments dans le corps des animaux. Les modèles pharmacocinétiques, qui décrivent comment les médicaments sont absorbés, distribués, métabolisés et excrétés, utilisent des équations différentielles pour représenter ces processus. Par exemple, un modèle à un compartiment pour la concentration du médicament dans le sang est donné par :

où C est la concentration du médicament et k est le taux d'élimination. Cette équation montre comment la dérivée de la concentration par rapport au temps est proportionnelle à la concentration actuelle. En résolvant cette équation, les vétérinaires peuvent déterminer la demi-vie du médicament et planifier des régimes de dosage appropriés pour maintenir des niveaux thérapeutiques dans le corps de l'animal.

Les fonctions dérivées sont également utilisées pour modéliser la réponse immunitaire des animaux aux infections et aux vaccinations. Les modèles immunologiques utilisent des équations différentielles pour décrire les interactions complexes entre les agents pathogènes, les cellules immunitaires et les anticorps. Par exemple, un modèle simple de la dynamique des cellules T peut être décrit par :

où T est la concentration de cellules T, s$s$ est le taux de production, r est le taux de prolifération, K est la capacité de charge, et d est le taux de mortalité. En analysant ces dérivées, les vétérinaires peuvent mieux comprendre la dynamique des réponses immunitaires et développer des stratégies pour améliorer l'efficacité des vaccins et des traitements immunitaires.

En résumé, les fonctions dérivées sont des outils mathématiques puissants et indispensables en médecine vétérinaire. Elles permettent de modéliser et d'analyser la dynamique des maladies animales, la croissance des populations animales, la diffusion des médicaments et la réponse immunitaire. En utilisant ces outils, les vétérinaires peuvent développer des stratégies efficaces pour la gestion de la santé animale, optimiser les conditions de production animale et améliorer le bien-être des animaux. Grâce à ces analyses, les chercheurs et les vétérinaires peuvent contribuer à la santé et à la productivité des populations animales, tout en minimisant les impacts des maladies et en favorisant des pratiques de gestion durable.

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