Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 3 Correction Ex.2

Fonction dérivée :
 Correction partie.3  Ex.2

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Tableau de variation sans graphique d'une fonction de 3ème degré :

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Etudie le sens de variation de la fonction ¦ définie sur l’intervalle [-10 ;10] par :

f (x) = -3x3 + 36x  + 9

a.    Calculer la dérivée   f’(x)   de la fonction :

f (x) = -3x3 + 36x  + 9  

Réponse

f (x) = -3x3 + 36x  + 9

f’(x) = -3×3x² + 36 + 0    ;   f’(x) = -9x² + 36 

 

 b.    Résoudre ·    f’(x)  = 0 : 

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Réponse

f’(x) = -9x² + 36  

f’(x) = 0    ;   -9x² + 36  = 0  est une équation du second degré, donc de la forme :  ax² + bx + c = 0.

-9x² + 36  = 0  correspond à  ax² + bx + c = 0

            a = -9   ;   b = 0   ;   c = 36

Δ  =  b² - 4ac =  0² - 4×(-9)×36 = 1296

Δ  > 0     ;     2    Solutions :     

c.  Calculer :

   f’(-2) = ……………….......................…….........................……………………………………

  f’(2) = ……………….......................…….........................……………………………………

Réponse

 f’(x) = -9x² + 36 

f’(-2) = -9×(-2)² + 36 = 0

f’(2) = -9×2² + 36 = 0

Oui c’est normal qu’on trouve se résultat car d’après la question précédentes : 

f’(x) = 0    pour x1 = -2  et x2 = 2 

d.  Calculer :

f(-10) = ……………….......................…….........................……………………………………

 f(-2) = ……………….......................…….........................……………………………………

f(2) = ……………….......................…….........................……………………………………

f(10) = ……………….......................…….........................……………………………………

Réponse

f (x) = -3x3 + 36x  + 9 

f (-10) = -3×(-10)³ +  36×(-10) + 9 = 2649

f (-2) =  -3×(-2)³ +  36×(-2) + 9 = -39

f (2) =  -3×2³ +  36×2 + 9 = 57

f (10) =  -3×10³ +  36×10 + 9 = -2631

e.  Tableau de variation:                                        

Réponse

f’(x) = -9x² + 36  

     a  =  -9  donc le a est négatif « - »  d’où   signe de a « - » et  signe de -a « + »

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Fonction dérivée en Zoologie : Comportement animal, dynamiques des populations

Les fonctions dérivées jouent un rôle crucial en zoologie pour comprendre le comportement animal et les dynamiques des populations. En analysant les taux de changement dans ces domaines, les chercheurs peuvent faire des prédictions précises et élaborer des stratégies de gestion et de conservation plus efficaces. Ce texte explore comment les fonctions dérivées sont utilisées pour modéliser et analyser divers aspects du comportement animal et des dynamiques des populations, en incluant quelques formules mathématiques pertinentes pour illustrer ces applications.

Les fonctions dérivées permettent de modéliser les mouvements et les comportements des animaux. Par exemple, le modèle de mouvement brownien, utilisé pour décrire le déplacement aléatoire d’un animal, peut être exprimé par l'équation différentielle stochastique :

où x(t) représente la position de l'animal à un temps t, μ est la dérive (vitesse moyenne), σ est le coefficient de diffusion, et W(t) est un processus de Wiener représentant le bruit blanc. Cette équation montre comment la position d'un animal change en fonction du temps sous l'influence de mouvements aléatoires.

Pour modéliser le comportement de recherche de nourriture chez les animaux, on utilise souvent des modèles d’optimisation basés sur des dérivées. Par exemple, le modèle de recherche de nourriture optimal propose que les animaux maximisent leur taux de gain énergétique net, E, défini par :

​​

où Egain est l'énergie gagnée, Ecoût est l'énergie dépensée, et Ttotal

​ est le temps total passé à chercher de la nourriture. La dérivée de cette fonction par rapport au temps ou à l'énergie peut être utilisée pour déterminer les stratégies de recherche optimales.

Les fonctions dérivées sont également essentielles pour étudier les dynamiques des populations animales. Les équations différentielles permettent de modéliser les changements dans la taille des populations en fonction du temps et des interactions entre différentes espèces. Par exemple, le modèle de croissance logistique est souvent utilisé pour décrire la croissance d’une population en tenant compte des ressources limitées :

où N est la taille de la population, r est le taux de croissance intrinsèque, et K est la capacité de charge de l’environnement. Cette équation montre comment le taux de croissance de la population diminue à mesure que la population approche de la capacité de charge de l’environnement.

Le modèle proie-prédateur de Lotka-Volterra est un autre exemple clé de l'utilisation des dérivées pour modéliser les interactions entre espèces. Ce modèle se compose de deux équations différentielles couplées :

​

où $N_{\text{proie}}$ et $N_{\text{prédateur}}$ sont les tailles des populations de proies et de prédateurs, respectivement, $r_{\text{proie}}$ est le taux de croissance des proies, $a$ est le taux de prédation, $b$ est l'efficacité de conversion des proies en nouveaux prédateurs, et $d_{\text{prédateur}}$ est le taux de mortalité des prédateurs. Ces équations décrivent les cycles de population typiques des interactions proie-prédateur.

Les dérivées permettent également de modéliser la dispersion et la colonisation des habitats par les populations animales. Par exemple, pour modéliser la dispersion d'une espèce dans un nouvel habitat, on peut utiliser une équation de réaction-diffusion :

où N est la densité de la population, D est le coefficient de diffusion, x est la position spatiale, et les autres paramètres sont définis comme précédemment. Cette équation montre comment la population se disperse spatialement tout en croissant de manière logistique.

En zoologie, les dérivées sont également utilisées pour étudier les comportements sociaux complexes des animaux, tels que la formation de groupes et les interactions au sein de ces groupes. Par exemple, pour modéliser la dynamique des interactions sociales dans un groupe animal, on peut utiliser des équations différentielles qui décrivent les taux de formation et de dissolution des liens sociaux :

où L est le nombre de liens sociaux, α est le taux de formation des liens, β est le taux de dissolution des liens, et N est la taille de la population. Cette équation montre comment les liens sociaux changent au fil du temps en fonction des comportements sociaux des individus.

Les fonctions dérivées permettent également d’étudier l’impact des perturbations environnementales sur les populations animales. Par exemple, pour modéliser l’effet d’une catastrophe naturelle sur une population animale, on peut utiliser une équation différentielle avec un terme de perturbation :

où P(t) représente l'impact temporel de la perturbation. En analysant cette équation, les chercheurs peuvent comprendre comment les catastrophes affectent la taille des populations et élaborer des stratégies de conservation pour atténuer ces impacts.

L’utilisation des dérivées est également essentielle pour modéliser les effets des interventions humaines, telles que la gestion des populations et la conservation. Par exemple, pour modéliser l’effet de la chasse sur une population animale, on peut utiliser une équation différentielle avec un terme de prélèvement :

où H est le taux de prélèvement par la chasse. En utilisant cette équation, les gestionnaires de la faune peuvent déterminer les niveaux durables de prélèvement pour assurer la viabilité à long terme des populations.

Les dérivées sont également utilisées pour étudier les dynamiques des maladies au sein des populations animales. Le modèle SIR (Susceptibles-Infectés-Récupérés) est un modèle épidémiologique classique qui utilise des équations différentielles pour décrire la propagation des maladies infectieuses :

où S est le nombre d'individus susceptibles, I est le nombre d'individus infectés, R est le nombre d'individus récupérés, β est le taux de transmission, et γ est le taux de récupération. Ces équations permettent de modéliser comment une maladie se propage dans une population animale et d’évaluer l'impact des mesures de contrôle.

Les dérivées jouent également un rôle dans l’étude des dynamiques de migration animale. Les modèles de migration peuvent être formulés en utilisant des équations différentielles pour décrire les taux de départ et d'arrivée des individus dans différentes régions :

où Ni est la population dans la région i, et Mij est le taux de migration de la région i à la région j En utilisant ces équations, les chercheurs peuvent analyser les patterns migratoires et comprendre les facteurs qui influencent la migration des animaux.

En conclusion, les fonctions dérivées sont des outils mathématiques essentiels en zoologie pour modéliser et analyser les comportements animaux et les dynamiques des populations. Elles permettent de quantifier les taux de changement dans divers processus écologiques et comportementaux, fournissant des informations cruciales pour les chercheurs et les gestionnaires de la faune. En utilisant des équations différentielles pour modéliser le mouvement, le comportement de recherche de nourriture, les interactions sociales, la dispersion, la dynamique des populations, les impacts des perturbations, et la propagation des maladies, les zoologistes peuvent développer des stratégies efficaces pour la gestion et la conservation des populations animales. Grâce à ces analyses, il est possible de maintenir la santé et la viabilité des écosystèmes tout en assurant leur durabilité à long terme.

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