Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 3 Correction Ex.

Fonction dérivée :

 Correction partie.3  Ex.3

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Tableau de variation sans graphique d'une fonction de 3ème degré :

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Etudie le sens de variation de la fonction ¦ définie sur l’intervalle [-6 ; 6] par :

f (x) = x3 - 6x²  + 4

a.    Calculer la dérivée  f’(x)  de la fonction :

f (x)= x3 - 6x²  + 4  

Réponse

f (x) = x3 - 6x²  + 4

f’(x) = 3x² - 6×2x + 0    ;   f’(x) = 3x² - 12x 

 

 b.    Résoudre ·    f’(x)  = 0 : 

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Réponse

 f’(x) = 3x² - 12x   

f’(x) = 0    ;   3x² - 12x  = 0  est une équation du second degré, donc de la forme :  ax² + bx + c = 0.

3x² - 12x  = 0  correspond à  ax² + bx + c = 0

            a = 3   ;   b = -12   ;   c = 0

Δ  =  b² - 4ac =  (-12)² - 4×3×0 = 144

Δ  > 0     ;     2    Solutions :     

c.  Calculer :

   f’(0) = ……………….......................…….........................……………………………………

  f’(4) = ……………….......................…….........................……………………………………

Réponse

 f’(x) = 3x² - 12x  

f’(0) = 3×0² -12×0 = 0

f’(4) = 3×4² -12×4 = 0

Oui c’est normal qu’on trouve se résultat car d’après la question précédentes : 

f’(x) = 0    pour x1 = 0  et x2 = 4 

d.  Calculer :

f(-6) = ……………….......................…….........................……………………………………

 f(0) = ……………….......................…….........................……………………………………

f(4) = ……………….......................…….........................……………………………………

f(6) = ……………….......................…….........................……………………………………

Réponse

f (x) = x3 - 6x²  + 4

f (-6) = (-6)³ - 6×(-6)² + 4 = -428

f (0) =  0³ - 6×0² + 4 = 4

f (4) =  4³ - 6×4² + 4 = -28

f (6) =  6³ - 6×6² + 4 = 4

e.  Tableau de variation:                                        

Réponse

 f’(x) = 3x² - 12x   

     a  =  3  donc le a est positif « + »  d’où   signe de a « + » et  signe de -a « - »

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Fonction dérivée en Entomologie : Étude des insectes, modélisation des populations d'insectes

Les fonctions dérivées jouent un rôle crucial en entomologie, la branche de la zoologie qui étudie les insectes. Elles permettent d'analyser et de modéliser les dynamiques des populations d'insectes, leurs interactions avec l'environnement, ainsi que les effets des facteurs biotiques et abiotiques sur leur croissance et leur survie. Ce texte explore l'application des fonctions dérivées dans l'étude des insectes et la modélisation des populations d'insectes, avec quelques formules mathématiques pour illustrer ces concepts.

La modélisation des populations d'insectes commence souvent par des équations différentielles simples qui décrivent la croissance exponentielle. Cette approche est utile pour les populations en phase de colonisation, où les ressources sont abondantes et les taux de croissance élevés. L'équation différentielle de base pour la croissance exponentielle est :

où N est la taille de la population, t est le temps, et r est le taux de croissance intrinsèque. Cette équation montre que le taux de changement de la population est proportionnel à la taille de la population elle-même. En intégrant cette équation, on obtient la formule :

où N0​ est la taille initiale de la population. Cette formule permet de prédire la taille de la population à tout moment donné, en fonction du taux de croissance exponentielle.

Pour des populations d'insectes en phase de stabilisation, où les ressources deviennent limitées, le modèle de croissance logistique est plus approprié. Ce modèle prend en compte la capacité de charge de l'environnement, notée K, qui représente la taille maximale de la population que l'environnement peut soutenir. L'équation différentielle logistique est :

Cette équation montre que le taux de croissance de la population diminue à mesure que la population approche de la capacité de charge, conduisant à une courbe de croissance en forme de S. L'intégration de cette équation donne :

​

Cette formule permet de modéliser la croissance d'une population d'insectes en tenant compte des limitations environnementales.

Les fonctions dérivées sont également essentielles pour modéliser les interactions entre populations d'insectes et d'autres espèces, notamment les prédateurs, les parasites et les compétiteurs. Le modèle proie-prédateur de Lotka-Volterra est un exemple classique. Il décrit les dynamiques entre une population de proies (les insectes) et une population de prédateurs. Les équations de ce modèle sont :

où N est la taille de la population de proies, P est la taille de la population de prédateurs, r est le taux de croissance des proies, a est le taux de prédation, b est le taux de conversion des proies en nouveaux prédateurs, et m est le taux de mortalité des prédateurs. Ces équations montrent comment les populations de proies et de prédateurs s'influencent mutuellement, conduisant à des oscillations dans leurs tailles respectives.

En entomologie appliquée, notamment dans la gestion des nuisibles, les fonctions dérivées sont utilisées pour modéliser les effets des interventions humaines, comme l'application de pesticides. Par exemple, l'effet d'un pesticide sur la population d'insectes peut être modélisé par une équation différentielle incluant un terme de mortalité induite par le pesticide :

où d est le taux de mortalité induit par le pesticide. Cette équation permet de quantifier l'impact du pesticide sur la population et d'optimiser les stratégies de gestion pour minimiser les dommages écologiques.

Les dérivées sont également utilisées pour étudier les dynamiques saisonnières des populations d'insectes. Les modèles phénologiques, qui prédisent les événements saisonniers biologiques, sont essentiels pour comprendre et gérer les populations d'insectes. Par exemple, le développement des insectes est souvent lié à la température, et les modèles phénologiques peuvent inclure des termes dérivés pour modéliser la croissance en fonction de la température. Une formule courante est le modèle de développement basé sur le cumul des degrés-jours :

où D(T) est le cumul des degrés-jours, Ti est la température journalière, et Tbase est la température seuil en dessous de laquelle le développement des insectes est nul. En utilisant des dérivées pour analyser les variations de température, les entomologistes peuvent prédire les périodes d'émergence et d'activité des insectes.

En écologie des insectes, les fonctions dérivées permettent de modéliser les dispersions et les migrations. Les équations de diffusion sont souvent utilisées pour décrire le mouvement des populations d'insectes dans l'espace. L'équation de diffusion la plus simple est :

​

où D est le coefficient de diffusion et N est la densité de la population d'insectes. Cette équation montre comment les individus se dispersent dans l'espace au fil du temps. Les solutions de cette équation fournissent des informations sur les schémas de dispersion et peuvent être utilisées pour planifier des interventions de contrôle des populations nuisibles.

Les fonctions dérivées sont également utilisées pour modéliser les interactions entre insectes et plantes. Les insectes herbivores affectent les plantes en les consommant, et ces interactions peuvent être modélisées par des équations différentielles couplées. Par exemple, un modèle simple pourrait inclure une équation pour la biomasse des plantes P et une pour la population d'insectes herbivores H :

où r est le taux de croissance des plantes, K est la capacité de charge des plantes, c est le taux de consommation des plantes par les insectes, b est le taux de conversion des plantes consommées en nouveaux insectes, et m est le taux de mortalité des insectes. Ces équations montrent comment les populations de plantes et d'insectes interagissent et s'influencent mutuellement.

Enfin, les fonctions dérivées sont utilisées en entomologie pour modéliser les réponses des populations d'insectes aux changements environnementaux. Les modèles de niche écologique, qui décrivent les conditions environnementales favorables à une espèce, utilisent des dérivées pour analyser les impacts des variations climatiques sur les distributions géographiques des insectes. Par exemple, les modèles de distribution des espèces peuvent inclure des termes de dérivées pour décrire la sensibilité des populations aux changements de température et de précipitation.

En conclusion, les fonctions dérivées sont des outils mathématiques indispensables en entomologie pour l'étude des insectes et la modélisation des populations d'insectes. Elles permettent d'analyser les dynamiques de population, les interactions avec d'autres espèces et les réponses aux facteurs environnementaux. En utilisant des équations différentielles pour modéliser la croissance, la dispersion, les interactions proies-prédateurs, les effets des pesticides et les réponses aux changements climatiques, les entomologistes peuvent développer des stratégies de gestion efficaces pour la conservation des espèces utiles et le contrôle des espèces nuisibles. Ces analyses mathématiques contribuent à une meilleure compréhension des écosystèmes et à la préservation de la biodiversité.

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