Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 3 Correction Ex.4

Fonction dérivée :
 Correction partie.3  Ex.4

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Tableau de variation sans graphique d'une fonction de 3ème degré :

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Etudie le sens de variation de la fonction ¦ définie sur l’intervalle [-10 ; 0 ] par :

f (x) = -2x3 - 15x² - 36x + 3

a.    Calculer la dérivée  f’(x)  de la fonction :

f (x) = -2x3 - 15x² - 36x + 3  

Réponse

f (x) = -2x3 - 15x² - 36x + 3

f’(x) = -2×3x² - 15×2x - 36  + 0   ;   f’(x) = -6x² - 30x - 36

 

 b.    Résoudre ·    f’(x)  = 0 : 

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Réponse

 f’(x) = -6x² - 30x - 36  

f’(x) = 0    ;   -6x² - 30x - 36   = 0  est une équation du second degré, donc de la forme :  ax² + bx + c = 0.

-6x² - 30x - 36   = 0  correspond à  ax² + bx + c = 0

            a = -6   ;   b = -30   ;   c = -36

Δ  =  b² - 4ac =  (-30)² - 4×(-6)×(-36) = 36

Δ  > 0     ;     2    Solutions :     

c.  Calculer :

   f’(-2) = ……………….......................…….........................……………………………………

  f’(-3) = ……………….......................…….........................……………………………………

Réponse

 f’(x) = -6x² - 30x - 36  

f’(-3) = -6×(-3)² -30×(-3) -36= 0

f’(-2) = -6×(-2)² -30×(-2) -36 = 0

Oui c’est normal qu’on trouve se résultat car d’après la question précédentes : 

f’(x) = 0    pour x1 = -2  et x2 = -3 

d.  Calculer :

f(-10) = ……………….......................…….........................……………………………………

 f(-3) = ……………….......................…….........................……………………………………

f(-2) = ……………….......................…….........................……………………………………

f(0) = ……………….......................…….........................……………………………………

Réponse

f (x) = -2x3 - 15x² - 36x + 3

f (-10) = -2×(-10)³ - 15×(-10)² -36×(-10) + 3 = 863

f (-3) =  -2×(-3)³ - 15×(-3)² -36×(-3) + 3 = 30

f (-2) =  -2×(-2)³ - 15×(-2)² -36×(-2) + 3 = 31

f (0) =  -2×0³ - 15×0² -36×0 + 3 = 3

e.  Tableau de variation:                                        

Réponse

 f’(x) = -6x² - 30x - 36  

     a  =  -6  donc le a est négatif « - »  d’où   signe de a « - » et  signe de -a « + »

      

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Fonction dérivée en Mycologie : Croissance des champignons, interaction avec les plantes

Les fonctions dérivées jouent un rôle crucial en mycologie pour modéliser et comprendre la croissance des champignons et leurs interactions avec les plantes. Les champignons, avec leurs structures complexes et leurs comportements écologiques variés, offrent un riche domaine d'application pour les mathématiques. En utilisant les dérivées, les mycologues peuvent analyser les taux de croissance, prédire la dynamique des populations de champignons et évaluer l'impact des champignons sur les plantes. Ce texte explore ces applications en intégrant des formules mathématiques pour illustrer les concepts.

En premier lieu, considérons la modélisation de la croissance des champignons. La croissance des champignons peut être décrite par des modèles de croissance exponentielle ou logistique, en fonction des conditions environnementales et des ressources disponibles. La fonction exponentielle est souvent utilisée pour décrire la croissance initiale des champignons dans des conditions optimales. Elle peut être exprimée par l'équation suivante :

où N(t) est la biomasse fongique à un temps t, N0​ est la biomasse initiale, r est le taux de croissance exponentielle et e$e$ est la base des logarithmes naturels. La dérivée de cette fonction par rapport au temps t$t$ donne le taux de croissance instantané :

Cette équation montre que le taux de croissance des champignons à tout moment est proportionnel à la biomasse présente à ce moment-là. Cependant, dans des environnements réels, la croissance des champignons est souvent limitée par la disponibilité des ressources, ce qui conduit à l'utilisation du modèle de croissance logistique :

​

où K est la capacité de charge de l'environnement, c'est-à-dire la biomasse maximale que l'environnement peut supporter. La dérivée de cette fonction donne le taux de croissance logistique :

Cette équation montre que le taux de croissance est maximal au début, lorsqu'il y a peu de biomasse, et qu'il diminue à mesure que la biomasse approche de la capacité de charge K.

L'interaction entre les champignons et les plantes est une autre domaine d'étude important en mycologie. Les champignons mycorhiziens, par exemple, forment des associations symbiotiques avec les racines des plantes, ce qui améliore l'absorption des nutriments et de l'eau par les plantes. La dynamique de cette interaction peut être modélisée en utilisant des équations différentielles pour décrire les taux de croissance des champignons et des plantes. Un modèle simple pour cette interaction est le modèle Lotka-Volterra, qui est utilisé pour modéliser les interactions prédateur-proie et peut être adapté pour les interactions symbiotiques :

où P est la biomasse des plantes, C est la biomasse des champignons, rp​ et rc​ sont les taux de croissance respectifs des plantes et des champignons, Kp​ et Kc sont leurs capacités de charge respectives, et α et β sont les coefficients de bénéfice mutuel. Ces équations montrent comment la croissance des plantes et des champignons est influencée par leur interaction symbiotique.

Les champignons pathogènes, qui causent des maladies chez les plantes, peuvent également être étudiés à l'aide de modèles mathématiques. Par exemple, la propagation d'une maladie fongique dans une population de plantes peut être modélisée à l'aide de l'équation de Fisher-KPP, qui est une équation de réaction-diffusion :

où N est la densité des plantes infectées, D est le coefficient de diffusion, r$r$ est le taux de croissance de l'infection, et K est la capacité de charge de la population de plantes. Cette équation combine la diffusion spatiale de l'infection avec la dynamique de croissance logistique pour modéliser la propagation de la maladie dans un champ de plantes.

En plus des modèles de croissance et d'interaction, les fonctions dérivées sont utilisées pour analyser les effets des facteurs environnementaux sur la croissance des champignons. Par exemple, la température, l'humidité et la disponibilité des nutriments sont des facteurs critiques qui influencent la croissance des champignons. En utilisant des modèles mathématiques, les chercheurs peuvent quantifier l'effet de ces facteurs et prédire les conditions optimales pour la croissance des champignons. Un modèle simple pour l'effet de la température sur le taux de croissance des champignons est donné par une équation de type Arrhenius :

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où r(T) le taux de croissance à la température T, r0 est le taux de croissance de base, Ea est l'énergie d'activation, et R est la constante des gaz parfaits. La dérivée de cette fonction par rapport à la température T montre comment le taux de croissance change en réponse aux variations de température.

Les fonctions dérivées sont également utilisées pour modéliser la dispersion des spores fongiques. La dispersion des spores est un processus clé dans le cycle de vie des champignons, permettant leur propagation dans de nouveaux environnements. La dispersion peut être modélisée à l'aide d'équations de diffusion, telles que l'équation de diffusion simple :

​

où C est la concentration des spores fongiques, D est le coefficient de diffusion, et x est la distance. Cette équation décrit comment les spores se dispersent dans l'environnement au fil du temps.

Enfin, les fonctions dérivées sont utilisées pour analyser les interactions complexes entre les champignons, les plantes et d'autres organismes dans un écosystème. Par exemple, les champignons peuvent interagir avec les bactéries du sol, les insectes et d'autres champignons, influençant ainsi la structure et la dynamique de l'écosystème. En utilisant des modèles mathématiques, les chercheurs peuvent explorer ces interactions et prédire leurs effets sur la santé et la productivité des écosystèmes.

En conclusion, les fonctions dérivées sont des outils mathématiques puissants en mycologie pour modéliser la croissance des champignons, analyser leurs interactions avec les plantes et étudier les effets des facteurs environnementaux. En utilisant des équations différentielles pour représenter ces processus complexes, les mycologues peuvent mieux comprendre les dynamiques des populations de champignons et élaborer des stratégies pour gérer les interactions fongiques dans les écosystèmes agricoles et naturels. Ces analyses mathématiques contribuent à une meilleure gestion des ressources biologiques et à la protection de la santé des plantes.

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