Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 3 Correction Ex.5

Fonction dérivée :

 Correction partie.3  Ex.5

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Tableau de variation sans graphique d'une fonction de 3ème degré :

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Etudie le sens de variation de la fonction ¦ définie sur l’intervalle [-5 ; 5 ] par :

f (x) = 2x3 - 12x² + 24x + 1

a.    Calculer la dérivée  f’(x)  de la fonction :

f (x) = 2x3 - 12x² + 24x + 1  

Réponse

f (x) = 2x3 - 12x² + 24x + 1

f’(x) = 2×3x² - 12×2x + 24  + 0   ; f’(x) = 6x² - 24x + 24 

 b.    Résoudre ·    f’(x)  = 0 : 

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Réponse

f’(x) = 6x² - 24x + 24  

f’(x) = 0    ;   6x² - 24x + 24  = 0  est une équation du second degré, donc de la forme :  ax² + bx + c = 0.

6x² - 24x + 24  = 0  correspond à  ax² + bx + c = 0

            a = 6   ;   b = -24   ;   c = 24

Δ  =  b² - 4ac =  (-24)² - 4×6×24 = 0

Δ  = 0     ;     1    Solution :     

c.  Calculer :

   f’(2) = ……………….......................…….........................……………………………………

Réponse

f’(x) = 6x² - 24x + 24  

f’(2) = 6×2² - 24×2 + 24 = 0

Oui c’est normal qu’on trouve se résultat car d’après la question précédentes : 

f’(x) = 0    pour x1 = 2  

d.  Calculer :

f(-5) = ……………….......................…….........................……………………………………

 f(2) = ……………….......................…….........................……………………………………

f(5) = ……………….......................…….........................……………………………………

Réponse

f (x) = 2x3 - 12x² + 24x + 1

f (-5) = 2×(-5)³ - 12×(-5)² + 24×(-5) + 1 = -669

f (2) =  2×2³ - 12×2² + 24×2 + 1= 17

f (5) =  2×5³ - 12×5² + 24×5 + 1= 71

e.  Tableau de variation:                                        

Réponse

f’(x) = 6x² - 24x + 24 

     a  =  6  donc le a est positif « + »  d’où   signe de a « + » .      

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Fonction dérivée en Génétique : Héritabilité des traits, mutations génétiques

Les fonctions dérivées jouent un rôle crucial en génétique, particulièrement dans l'étude de l'héritabilité des traits et des mutations génétiques. En utilisant des dérivées, les généticiens peuvent modéliser les taux de changement et la transmission des caractéristiques génétiques au fil des générations. Cela permet d'approfondir la compréhension des mécanismes sous-jacents de l'hérédité et des mutations, ainsi que de prédire et d'interpréter les variations génétiques observées dans les populations.

La génétique est une branche de la biologie qui étudie les gènes, l'hérédité et la variation des traits chez les organismes vivants. Elle explore comment les traits sont transmis des parents aux descendants et comment les mutations génétiques peuvent influencer ces traits. L'héritabilité et les mutations génétiques sont des concepts centraux dans cette discipline, jouant un rôle crucial dans notre compréhension de l'évolution, de la médecine et de la biodiversité.

Héritabilité des Traits

L'héritabilité est une mesure de la proportion de la variation d'un trait au sein d'une population qui est due à des différences génétiques entre les individus. Cela aide à comprendre dans quelle mesure les gènes influencent un trait particulier par rapport aux facteurs environnementaux.

1. Traits Monogéniques et Polygéniques : Certains traits sont déterminés par un seul gène (traits monogéniques), comme la couleur des yeux ou certaines maladies génétiques. D'autres traits, comme la taille, l'intelligence ou la susceptibilité à certaines maladies, sont influencés par de nombreux gènes (traits polygéniques) et des facteurs environnementaux.

2. Études de Jumeaux : Les études sur les jumeaux sont souvent utilisées pour estimer l'héritabilité. En comparant les similarités des traits entre les jumeaux identiques (qui partagent tous leurs gènes) et les jumeaux fraternels (qui partagent environ la moitié de leurs gènes), les chercheurs peuvent déterminer l'importance relative des gènes et de l'environnement.

3. Cartographie des Gènes : La génétique moderne utilise des techniques avancées pour identifier les gènes spécifiques associés à des traits complexes. La cartographie des gènes implique l'analyse de grandes populations pour trouver des associations entre des variations génétiques et des traits particuliers.

Mutations Génétiques

Les mutations génétiques sont des changements dans la séquence d'ADN d'un organisme. Elles peuvent se produire spontanément ou être induites par des facteurs environnementaux comme les radiations ou les produits chimiques. Les mutations jouent un rôle clé dans la diversité génétique et l'évolution, mais elles peuvent aussi être la cause de nombreuses maladies génétiques.

1. Types de Mutations : Les mutations peuvent être classées en plusieurs types, y compris les mutations ponctuelles (changement d'une seule base dans l'ADN), les insertions, les délétions et les duplications. Chacune de ces mutations peut avoir des effets différents sur la fonction des gènes et les traits qu'ils contrôlent.

2. Effets des Mutations : Les mutations peuvent être neutres, bénéfiques ou délétères. Les mutations neutres n'ont aucun effet perceptible sur l'organisme. Les mutations bénéfiques peuvent conférer un avantage adaptatif, tandis que les mutations délétères peuvent causer des maladies ou des dysfonctionnements.

3. Détection et Étude des Mutations : Les avancées technologiques, telles que le séquençage de l'ADN, permettent aux scientifiques de détecter et d'étudier les mutations avec une précision sans précédent. Ces techniques sont utilisées pour identifier les mutations responsables des maladies génétiques et pour comprendre leur mécanisme d'action.

Applications Pratiques

La compréhension de l'héritabilité des traits et des mutations génétiques a de nombreuses applications pratiques. En médecine, elle permet le développement de traitements génétiques personnalisés et de thérapies géniques pour corriger les mutations responsables des maladies. En agriculture, la génétique aide à la sélection de plantes et d'animaux avec des traits désirables, améliorant ainsi les rendements et la résistance aux maladies. En conservation, elle contribue à la gestion des populations animales et végétales en danger en préservant leur diversité génétique.

Conclusion

La génétique est une science fascinante qui éclaire les mécanismes de l'hérédité et les effets des mutations. En étudiant comment les traits sont transmis et modifiés, les scientifiques peuvent mieux comprendre la diversité de la vie sur Terre, développer de nouvelles technologies médicales et agricoles, et améliorer la conservation des espèces. Les avancées continues dans ce domaine promettent de révolutionner notre compréhension et notre manipulation des systèmes biologiques pour le bénéfice de l'humanité et de l'environnement.

L'héritabilité des traits est un concept central en génétique quantitative, qui quantifie la proportion de la variation phénotypique dans une population attribuable aux variations génétiques entre individus. Mathématiquement, l'héritabilité au sens large (H²) peut être exprimée comme le rapport de la variance génétique totale (VG​) à la variance phénotypique totale (VP​) :

​​

Cette formule montre que l'héritabilité est une mesure de l'importance relative des facteurs génétiques par rapport aux facteurs environnementaux dans la détermination des traits observés. Pour des traits fortement héritables, H² se rapproche de 1, indiquant que la plupart de la variation observée est due aux différences génétiques. À l'inverse, pour des traits faiblement héritables, H² se rapproche de 0, signifiant que les facteurs environnementaux jouent un rôle prépondérant.

Les dérivées sont également utilisées pour modéliser la sélection naturelle et artificielle. Par exemple, le changement attendu dans la moyenne d'un trait phénotypique dû à la sélection (ΔZ) peut être décrit par l'équation de réponse à la sélection de Lush :

où h² est l'héritabilité au sens étroit (une mesure de la transmission additive des gènes) et S est la pression de sélection, définie comme la différence entre la moyenne du trait des individus sélectionnés pour la reproduction et la moyenne du trait de la population entière. Cette équation montre que la réponse à la sélection est proportionnelle à l'héritabilité et à la force de la sélection.

Pour illustrer comment les dérivées sont utilisées dans la modélisation des mutations génétiques, considérons une population d'organismes où la fréquence d'un allèle mutant est suivie au fil du temps. Si p(t) représente la fréquence de l'allèle mutant à un instant t, le taux de changement de p au cours du temps peut être décrit par une équation différentielle. Par exemple, dans le cas de la mutation neutre (où le mutant n'a pas d'effet sélectif), l'équation différentielle peut prendre la forme :

où μ est le taux de mutation d'un allèle sauvage vers l'allèle mutant, et ν est le taux de mutation inverse. Cette équation montre comment la fréquence de l'allèle mutant change en fonction des taux de mutation directe et inverse.

Pour des mutations soumises à sélection, l'équation devient plus complexe, intégrant des termes de sélection naturelle. Par exemple, si s$s$ est le coefficient de sélection en faveur du mutant, l'équation différentielle pourrait être :

Cette équation décrit comment la fréquence de l'allèle mutant évolue sous l'influence de la sélection et des mutations. Les dérivées permettent de comprendre la dynamique de la fréquence allélique dans une population, fournissant des informations essentielles sur la stabilité et l'évolution des traits génétiques.

Les fonctions dérivées sont également fondamentales pour modéliser la diffusion des gènes dans les populations spatialement structurées. Par exemple, dans le contexte de la génétique des populations, la diffusion génétique peut être modélisée par une équation de réaction-diffusion. Si p(x,t) représente la fréquence d'un allèle à une position spatiale x et à un instant t, l'équation de réaction-diffusion pourrait être :

où D est le coefficient de diffusion et r est le taux de croissance relatif de l'allèle. Cette équation décrit comment la fréquence de l'allèle change à la fois dans le temps et l'espace, sous l'influence de la diffusion géographique et de la sélection.

Les dérivées peuvent aussi être appliquées pour modéliser les effets épigénétiques, où les modifications chimiques de l'ADN affectent l'expression des gènes sans changer la séquence génétique. Par exemple, les taux de changement des niveaux de méthylation de l'ADN (un marqueur épigénétique) peuvent être modélisés par des équations différentielles pour comprendre comment les facteurs environnementaux influencent l'expression des gènes au fil du temps.

L'étude des interactions gène-environnement (GxE) est un autre domaine où les fonctions dérivées sont cruciales. Les modèles GxE cherchent à quantifier comment différents génotypes réagissent à des environnements variés, et ces interactions peuvent être décrites par des équations différentielles. Par exemple, la dérivée de la réponse phénotypique Z par rapport au changement environnemental E pour un génotype donné peut être exprimée comme :

où g(E) est une fonction qui décrit la sensibilité du génotype aux changements environnementaux. Cette approche permet de modéliser comment différents génotypes réagissent différemment à des variations environnementales, fournissant des insights précieux pour l'agriculture, la médecine et la conservation.

En résumé, les fonctions dérivées sont des outils puissants en génétique pour modéliser l'héritabilité des traits, les mutations génétiques et les interactions complexes entre les gènes et l'environnement. En utilisant des dérivées pour décrire les taux de changement et les dynamiques génétiques, les chercheurs peuvent approfondir leur compréhension des mécanismes évolutifs et développer des stratégies pour gérer les ressources génétiques dans divers contextes. Ces modèles mathématiques jouent un rôle crucial dans l'avancement de la génétique moderne et offrent des perspectives importantes pour l'amélioration des cultures, la santé humaine et la conservation des espèces.

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