Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 3 Correction Ex.7

Fonction dérivée :
 Correction partie.3  Ex.7

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Tableau de variation sans graphique d'une fonction de 3ème degré :

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Etudie le sens de variation de la fonction ¦ définie sur l’intervalle [-8 ; 0 ] par :

f (x) = 4x3 + 72x² + 432x + 1000

a.    Calculer la dérivée  f’(x)  de la fonction :

f (x) = 4x3 + 72x² + 432x + 1000  

Réponse

f (x) = 4x3 + 72x² + 432x + 1000

f’(x) = 4×3x² + 72×2x + 432  + 0   ;   f’(x) = 12x² + 144x + 432 

 b.    Résoudre ·    f’(x)  = 0 : 

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Réponse

f’(x) = 12x² + 144x + 432

f’(x) = 0    ;   12x² + 144x + 432 = 0  est une équation du second degré, donc de la forme :  ax² + bx + c = 0.

12x² + 144x + 432  = 0  correspond à  ax² + bx + c = 0

            a = 12   ;   b = 144   ;   c = 432

Δ  =  b² - 4ac =  144² - 4×12×432 = 0

Δ  = 0     ;     1    Solution :     

c.  Calculer :

   f’(-6) = ……………….......................…….........................……………………………………

Réponse

 f’(x) = 12x² + 144x + 432

f’(-6) = 12×(-6)² + 144×(-6) + 432 = 0

Oui c’est normal qu’on trouve se résultat car d’après la question précédentes : 

f’(x) = 0    pour  x1 = - 6  

d.  Calculer :

f(-8) = ……………….......................…….........................……………………………………

 f(-6) = ……………….......................…….........................……………………………………

f(0) = ……………….......................…….........................……………………………………

Réponse

f (x) = 4x3 + 72x² + 432x + 1000

f (-8) = 4×(-8)³ + 72×(-8)² + 432×(-8) +1000 = 104

f (-6) = 4×(-6)³ + 72×(-6)² + 432×(-6) +1000= 136

f (0) = 4×0³ + 72×0² + 432×0 +1000= 1000

e.  Tableau de variation:                                        

Réponse

 f’(x) = 12x² + 144x + 432

     a  =  12  donc le a est positif « + »  d’où   signe de a « + » .

      

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Fonction dérivée en Océanographie physique : Modélisation des vagues, interactions océan-atmosphère

L'océanographie physique est une branche des sciences marines qui étudie les propriétés physiques et les processus dynamiques des océans. Les fonctions dérivées jouent un rôle central dans la modélisation des vagues et des interactions océan-atmosphère, permettant de comprendre et de prédire les comportements complexes des masses d'eau. Cet article explore l'application des dérivées en océanographie physique, en se concentrant sur la modélisation des vagues et les interactions entre l'océan et l'atmosphère.

Les vagues sont des perturbations périodiques à la surface des océans, générées principalement par le vent. Pour modéliser les vagues, il est nécessaire de comprendre la dynamique des fluides, ce qui implique l'utilisation des équations différentielles. La célèbre équation de dispersion des vagues pour une profondeur d'eau h est donnée par :

où ω est la fréquence angulaire, g est l'accélération due à la gravité,k

 est le nombre d'onde, et tanh est la fonction tangente hyperbolique. La dérivée de cette équation par rapport au nombre d'onde k permet de déterminer la relation entre la vitesse de phase des vagues c et leur longueur d'onde :

Les dérivées sont également utilisées pour modéliser la croissance des vagues sous l'effet du vent. Le modèle de croissance des vagues de Phillips décrit la génération des vagues par les rafales de vent, où la dérivée de la hauteur des vagues par rapport au temps:

est proportionnelle à la force du vent et à la fréquence des vagues :

​

où U est la vitesse du vent. L'analyse de cette dérivée aide à comprendre comment les vagues augmentent en hauteur et en énergie sous l'effet continu du vent.

Les interactions océan-atmosphère sont des processus complexes qui jouent un rôle crucial dans la régulation du climat mondial. Ces interactions incluent l'échange de chaleur, de masse et de quantité de mouvement entre l'océan et l'atmosphère. Les équations de Navier-Stokes, qui sont les équations fondamentales de la dynamique des fluides, sont utilisées pour modéliser ces interactions. Pour un fluide incompressible, les équations de Navier-Stokes sont :

où u est le vecteur vitesse, ρ est la densité du fluide, p est la pression, ν est la viscosité cinématique, et f représente les forces externes (comme la force de Coriolis). La dérivée temporelle:

et les dérivées spatiales ∇u et ∇²u sont utilisées pour décrire les variations de la vitesse du fluide dans le temps et l'espace.

Les échanges de chaleur entre l'océan et l'atmosphère sont modélisés à l'aide de l'équation de transfert de chaleur, qui implique des dérivées temporelles et spatiales de la température T :

où κ est la diffusivité thermique. Cette équation décrit comment la température change en fonction du temps et de l'espace, en tenant compte de la diffusion thermique et de l'advection par les courants océaniques.

La modélisation des courants océaniques est également une application importante des dérivées en océanographie physique. Les courants océaniques sont principalement entraînés par le vent, les gradients de pression et les différences de densité. Les dérivées des équations de Navier-Stokes sont utilisées pour modéliser ces courants. Par exemple, la composante zonale du courant océanique u peut être modélisée par l'équation de continuité et les équations de moment :

où u,v,w sont les composantes de la vitesse dans les directions x,y,z respectivement, et f est le paramètre de Coriolis. Les dérivées temporelles et spatiales dans cette équation permettent de décrire les variations des courants océaniques en fonction du temps et de l'espace.

Les dérivées sont également cruciales pour la modélisation des marées, qui sont des oscillations périodiques des niveaux de la mer causées par les forces gravitationnelles de la lune et du soleil. Les équations des marées incluent des termes dérivés pour décrire les variations des niveaux de la mer et des courants associés. L'équation de Laplace des marées est l'une des principales équations utilisées pour modéliser ces variations :

où η représente la hauteur de la marée. Les dérivées temporelles:

et spatiales ∇²η sont essentielles pour comprendre les dynamiques des marées.

Dans le contexte des interactions océan-atmosphère, les dérivées sont également utilisées pour modéliser les phénomènes climatiques à grande échelle, tels que le phénomène El Niño-Southern Oscillation (ENSO). Les équations couplées océan-atmosphère, qui incluent des dérivées temporelles et spatiales, permettent de simuler les anomalies de température de surface de la mer et les variations de pression atmosphérique associées à l'ENSO.

où Ts​ est la température de surface de la mer, u et v sont les composantes de la vitesse du courant de surface, κ est la diffusivité thermique, et Q représente les sources de chaleur. Les dérivées temporelles et spatiales de cette équation permettent de modéliser les variations des températures de surface de la mer en réponse aux interactions océan-atmosphère.

Les dérivées sont également employées pour étudier les interactions entre les courants océaniques et les formations géologiques sous-marines, telles que les monts sous-marins et les dorsales océaniques. Les variations de la vitesse et de la direction des courants en présence de ces obstacles peuvent être modélisées à l'aide des dérivées des équations de Navier-Stokes, permettant de comprendre les effets des formations géologiques sur les dynamiques océaniques.

Enfin, les fonctions dérivées sont essentielles pour la modélisation des effets anthropiques sur les océans, tels que le réchauffement climatique et l'acidification des océans. Les dérivées des équations de bilan de chaleur et de concentration de CO2 permettent de quantifier les impacts des activités humaines sur les températures et les compositions chimiques des océans.

En conclusion, les fonctions dérivées sont indispensables en océanographie physique pour modéliser et analyser les vagues, les courants océaniques, les marées et les interactions océan-atmosphère. Elles permettent de comprendre les dynamiques complexes des masses d'eau et leurs interactions avec l'atmosphère, fournissant des outils mathématiques essentiels pour la prédiction et la gestion des phénomènes océaniques et climatiques. Ces modèles mathématiques sont cruciaux pour la recherche océanographique, la prévision météorologique et la gestion des ressources marines, contribuant ainsi à une meilleure compréhension et protection de notre environnement marin.

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