Maths Terminal Bac Pro
Fonction dérivée : Partie 3 Correction Ex.8
Correction partie.3 Ex.8
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Tableau de variation sans graphique d'une fonction de 3ème degré :
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Etudie le sens de variation de la fonction ¦ définie sur l’intervalle [0 ; 20] par :
f (x) = -0,5x3 + 15x² - 150x + 900
Réponse
f (x) = -0,5x3 + 15x² - 150x + 900
f’(x) = -0,5×3x² + 15×2x -150 + 0 ; f’(x) = -1,5x² + 30x -150
b. Résoudre · f’(x) = 0 :
Voir fiche d'aide 👉 Fiche d'aide 1
Réponse
f’(x) = -1,5x² + 30x -150
f’(x) = 0 ; -1,5x² + 30x -150 = 0 est une équation du second degré, donc de la forme : ax² + bx + c = 0.
-1,5x² + 30x -150 = 0 correspond à ax² + bx + c = 0
a = -1,5 ; b = 30 ; c = -150
Δ = b² - 4ac = 30² - 4×(-1,5)×(-150) = 0
Δ = 0 ; 1 Solution :
f’(10) = ……………….......................…….........................……………………………………
Réponse
f’(x) = -1,5x² + 30x -150
f’(-10) = -1,5×10² + 30×10 -150 = 0
Oui c’est normal qu’on trouve se résultat car d’après la question précédentes :
f’(x) = 0 pour x1 = 10
f(10) = ……………….......................…….........................……………………………………
f(20) = ……………….......................…….........................……………………………………
Réponse
f (x) = -0,5x3 + 15x² - 150x + 900
f (0) = -0,5×03 + 15×0² - 150×0 + 900 = 900
f (10) = -0,5×103 + 15×10² - 150×10 +900 = 400
f (20) = -0,5×203 + 15×20² - 150×20 +900 = -100
e. Tableau de variation:
Réponse
f’(x) = -1,5x² + 30x -150
a = -1,5 donc le a est négatif « - » d’où signe de a « - » .
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Fonction dérivée en Sismologie : Analyse des séismes, prévision des tremblements de terre
La sismologie est l'étude des tremblements de terre et de la propagation des ondes sismiques à travers la Terre. Les dérivées jouent un rôle crucial dans cette discipline pour analyser les séismes et prévoir les tremblements de terre. Cet article explore l'utilisation des fonctions dérivées en sismologie, en se concentrant sur l'analyse des séismes et la prévision des tremblements de terre.
La sismologie est la science qui étudie les tremblements de terre et la propagation des ondes sismiques à travers la Terre. C'est une discipline essentielle pour comprendre la structure interne de notre planète, prévoir les séismes et atténuer leurs effets dévastateurs sur les populations et les infrastructures.
Origine des Tremblements de Terre
Les tremblements de terre se produisent principalement en raison des mouvements des plaques tectoniques qui composent la lithosphère terrestre. Ces plaques se déplacent lentement mais régulièrement, et les tremblements de terre surviennent lorsque l'énergie accumulée par les mouvements des plaques est brusquement libérée. Cette libération d'énergie se produit généralement le long des failles, des fractures dans la croûte terrestre où les plaques glissent les unes contre les autres.
Ondes Sismiques
Lors d'un tremblement de terre, l'énergie est libérée sous forme d'ondes sismiques. Il existe plusieurs types d'ondes sismiques, notamment les ondes P (primaires) et les ondes S (secondaires), ainsi que les ondes de surface comme les ondes de Love et de Rayleigh. Les ondes P sont les plus rapides et se propagent à travers les solides, les liquides et les gaz, tandis que les ondes S sont plus lentes et ne se propagent qu'à travers les solides. Les ondes de surface, qui se déplacent le long de la surface terrestre, sont généralement responsables des dommages observés lors d'un séisme.
Mesure et Analyse des Séismes
Les sismologues utilisent des instruments appelés sismomètres pour détecter et enregistrer les ondes sismiques. Ces enregistrements, appelés sismogrammes, permettent d'analyser la magnitude, la durée et l'épicentre des tremblements de terre. La magnitude d'un séisme, mesurée sur l'échelle de Richter ou l'échelle de magnitude de moment, quantifie l'énergie libérée. L'épicentre est le point à la surface de la Terre directement au-dessus de l'origine du séisme.
Prévision et Prévention
Prévoir les tremblements de terre avec précision reste un défi majeur en sismologie. Bien que les scientifiques puissent identifier les zones à haut risque sismique en étudiant les failles actives et les historiques des séismes, prédire précisément quand et où un tremblement de terre se produira est extrêmement difficile. Cependant, les systèmes de détection précoce peuvent fournir des secondes cruciales d'alerte avant que les ondes sismiques les plus destructrices n'atteignent les zones habitées.
Applications et Importance
La sismologie a des applications pratiques importantes. Elle permet de concevoir des bâtiments et des infrastructures résistants aux séismes, d'améliorer les plans d'évacuation et de secours, et de sensibiliser le public aux risques sismiques. En outre, l'étude des ondes sismiques aide les scientifiques à comprendre la composition et la structure interne de la Terre, fournissant des informations précieuses sur la dynamique du noyau, du manteau et de la croûte terrestre.
Sismologie et Autres Sciences
La sismologie interagit avec plusieurs autres disciplines scientifiques. En géologie, elle fournit des données sur les processus tectoniques et volcaniques. En ingénierie, elle influence la conception des structures résistantes aux tremblements de terre. En géophysique, elle contribue à l'exploration des ressources naturelles comme le pétrole et le gaz.
Conclusion
La sismologie est une science cruciale pour comprendre et atténuer les impacts des tremblements de terre. Grâce aux avancées technologiques et à la recherche continue, les sismologues peuvent mieux prédire les zones à risque, concevoir des systèmes de détection précoce et développer des stratégies pour minimiser les dommages causés par ces catastrophes naturelles. En fin de compte, la sismologie joue un rôle vital dans la protection des vies humaines et des infrastructures contre les ravages des tremblements de terre.
Les tremblements de terre sont causés par la libération soudaine d'énergie accumulée dans la croûte terrestre, ce qui provoque la propagation des ondes sismiques. Ces ondes sont décrites par des équations différentielles partielles, qui incluent des dérivées temporelles et spatiales pour modéliser leur comportement à travers différents types de matériaux.
Les équations fondamentales de la sismologie sont les équations de mouvement pour un milieu élastique. Pour un milieu isotrope, elles peuvent être écrites comme :
L'analyse des séismes implique l'étude des sismogrammes, qui sont des enregistrements des ondes sismiques détectées par des sismomètres. Les sismogrammes fournissent des informations sur le moment d'origine, la magnitude, et la localisation du tremblement de terre. Les dérivées des déplacements enregistrés, par rapport au temps, permettent de déterminer la vitesse et l'accélération des ondes sismiques.
De même, l'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps :
Ces dérivées sont cruciales pour interpréter les données des sismogrammes et pour modéliser le comportement des ondes sismiques.
Pour la prévision des tremblements de terre, les sismologues utilisent des modèles statistiques et des analyses de séries temporelles pour identifier les patterns dans l'occurrence des séismes. Les dérivées sont utilisées pour analyser les variations temporelles des taux de sismicité et pour détecter des anomalies qui pourraient indiquer un séisme imminent.
Un outil couramment utilisé en prévision sismique est l'analyse de la loi d'Omori, qui décrit le décroissement du taux de répliques après un tremblement de terre principal. La loi d'Omori est donnée par :
où n(t) est le taux de répliques à un temps après le séisme principal, K, c, et p sont des constantes. La dérivée de cette équation par rapport au temps permet de comprendre comment le taux de répliques change au fil du temps et de modéliser la décroissance de l'activité sismique.
Les modèles numériques, tels que les méthodes des éléments finis, sont souvent utilisés pour simuler le comportement des ondes sismiques et des champs de contrainte dans des structures géologiques complexes. Ces modèles impliquent la résolution d'équations différentielles partielles à l'aide de dérivées temporelles et spatiales, permettant ainsi de prédire les effets des tremblements de terre sur les infrastructures et l'environnement.
Enfin, les dérivées jouent un rôle crucial dans l'inversion sismique, qui est la technique utilisée pour déduire les propriétés internes de la Terre à partir des données sismiques. En utilisant les dérivées des équations de mouvement et de l'onde sismique, les sismologues peuvent estimer les variations de densité, de vitesse sismique, et d'autres propriétés géologiques en profondeur.
En résumé, les fonctions dérivées sont essentielles en sismologie pour analyser les séismes et prévoir les tremblements de terre. Elles permettent de modéliser la propagation des ondes sismiques, d'interpréter les données des sismogrammes, et de comprendre les variations des champs de contrainte et de déformation dans la croûte terrestre. Les dérivées sont utilisées dans les équations de mouvement pour les milieux élastiques, les relations de magnitude, les analyses statistiques des séismes, et les modèles numériques, contribuant ainsi à une meilleure compréhension des phénomènes sismiques et à la réduction des risques associés aux tremblements de terre.