Maths Terminal Bac Pro
Fonction dérivée : Partie 3 Correction Ex.9
Fonction dérivée :
Correction partie.3 Ex.9
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Tableau de variation sans graphique d'une fonction de 3ème degré :
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Etudie le sens de variation de la fonction ¦ définie sur l’intervalle [-10 ; 10 ] par :
f (x) = 4x3 + 20x + 5
Réponse
f (x) = 4x3 + 20x + 5
f’(x) = 4×3x² + 20 + 0 ; f’(x) = 12x² + 20
b. Résoudre · f’(x) = 0 :
Voir fiche d'aide 👉 Fiche d'aide 1
Réponse
f’(x) = 12x² + 20
f’(x) = 0 ; 12x² + 20= 0 est une équation du second degré, donc de la forme : ax² + bx + c = 0.
12x² + 20= 0 correspond à ax² + bx + c = 0
a = 12 ; b = 0 ; c = 20
Δ = b² - 4ac = 0² - 4×12×20 = -960
Δ < 0 ; pas de Solution :
f(10) = ……………….......................…….........................……………………………………
Réponse
f (x) = 4x3 + 20x + 5
f (10) = 4×(-10)3 + 20×(-10) + 5 = -4195
f (-10) = 4×103 + 20×10 + 5= 4205
e. Tableau de variation:
Réponse
f’(x) = 12x² + 20
a = 12 donc le a est positif « + » d’où signe de a « + » .
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Fonction dérivée en Géomorphologie : Formation des paysages, érosion
La géomorphologie est la science qui étudie les formes du relief terrestre et les processus qui les façonnent. Les fonctions dérivées jouent un rôle essentiel dans la modélisation de la formation des paysages et des processus d’érosion. Cet article explore comment les dérivées sont utilisées en géomorphologie pour analyser et prédire les transformations du paysage terrestre, en mettant en avant des exemples et en introduisant quelques formules mathématiques pertinentes.
L'érosion par les glaciers est un autre processus géomorphologique important. Les glaciers érodent le sol par abrasion et arrachement, modifiant ainsi les vallées et créant des formations glaciaires distinctives. La vitesse d'érosion glaciaire peut être modélisée par la dérivée de l'altitude par rapport à la distance le long du glacier :
où Eg est le taux d'érosion glaciaire. Cette formule aide à comprendre comment les glaciers modifient le paysage en déplaçant des matériaux et en sculptant des vallées en forme de U.
Les processus éoliens, causés par le vent, jouent également un rôle dans la formation des paysages, en particulier dans les régions arides. L'érosion éolienne peut être modélisée par la dérivée de l'altitude par rapport à la distance :
où Ee est le taux d'érosion éolienne. Cette équation montre comment le vent peut transporter des particules et modifier la surface terrestre, créant des dunes et d'autres formations caractéristiques des déserts.
La modélisation numérique des paysages utilise souvent des dérivées pour simuler l'évolution topographique sur de longues périodes. Un modèle couramment utilisé est l'équation de diffusion de la pente, qui décrit la manière dont les pentes se lissent avec le temps en raison des processus d'érosion et de sédimentation :
où D est un coefficient de diffusion et ∇²h est le laplacien de l'altitude, représentant la courbure de la surface. Cette équation indique que les régions de forte courbure (pentes raides) s'érodent plus rapidement que les régions plates, conduisant à une uniformisation progressive du paysage.
En plus de ces équations différentielles partielles, les dérivées sont également utilisées pour analyser les profils longitudinaux des rivières, qui sont les courbes représentant l'altitude d'une rivière en fonction de la distance de sa source à son embouchure. Le profil longitudinal d'une rivière peut être modélisé à l'aide de la dérivée de l'altitude par rapport à la distance le long de la rivière :
où Sr est la pente de la rivière. Cette équation montre comment la pente d'une rivière change le long de son cours, influençant la vitesse de l'eau et la capacité de la rivière à transporter des sédiments.
La géomorphologie quantitative utilise également des modèles numériques pour simuler les processus de formation des paysages sur de grandes échelles temporelles et spatiales. Les modèles numériques de terrain (MNT) sont des représentations tridimensionnelles de la surface terrestre, basées sur des données topographiques. Les dérivées partielles des MNT permettent de calculer des paramètres géomorphologiques tels que la pente, la courbure et l'exposition :
Ces paramètres sont essentiels pour analyser les processus géomorphologiques et prédire l'évolution future des paysages.
En géomorphologie, les dérivées sont également utilisées pour étudier les interactions entre les processus géologiques et les facteurs climatiques. Par exemple, les variations climatiques influencent les taux d'érosion et de sédimentation, affectant ainsi la formation des paysages. Les modèles couplés, qui intègrent des dérivées pour représenter les interactions entre les processus climatiques et géomorphologiques, permettent de mieux comprendre ces dynamiques complexes.
La dérivée est également un outil essentiel pour l’analyse des données géospatiales et la cartographie des processus géomorphologiques. Les systèmes d'information géographique (SIG) utilisent des dérivées pour calculer les gradients et les pentes à partir des données de terrain, facilitant ainsi la visualisation et l'analyse des processus d'érosion et de sédimentation.
En conclusion, les fonctions dérivées jouent un rôle fondamental en géomorphologie pour modéliser la formation des paysages et les processus d'érosion. Elles permettent de quantifier les taux de changement des variables géomorphologiques et d'analyser les interactions complexes entre les processus géologiques et climatiques. Les dérivées sont utilisées dans une variété de modèles mathématiques et numériques pour prédire l'évolution des paysages et optimiser la gestion des ressources naturelles. En intégrant les dérivées dans les études géomorphologiques, les chercheurs peuvent mieux comprendre les mécanismes qui façonnent la surface terrestre et développer des stratégies efficaces pour la conservation et la gestion des environnements naturels.