Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 3 Correction Ex.10

Fonction dérivée :
 Correction partie.3  Ex.10

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Tableau de variation sans graphique d'une fonction de 3ème degré :

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Etudie le sens de variation de la fonction ¦ définie sur l’intervalle [0 ; 10 ] par :

f (x) = -6x3 - 9x² - 18x + 10

a.    Calculer la dérivée  f’(x)  de la fonction :

f (x) = -6x3 - 9x² - 18x + 10  

Réponse

f (x) = -6x3 - 9x² - 18x + 10

f’(x) = -6×3x²  -9×2x - 18  + 0   ;   f’(x) = -18x² -18x -18 

 b.    Résoudre ·    f’(x)  = 0 : 

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Réponse

f’(x) = -18x² -18x -18

f’(x) = 0    ;   -18x² -18x -18= 0  est une équation du second degré, donc de la forme :  ax² + bx + c = 0.

 -18x² -18x -18= 0  correspond à  ax² + bx + c = 0

            a = -18   ;   b = -18   ;   c = -18

Δ  =  b² - 4ac =  (-18)² - 4×(-18)×(-18) = -972

Δ  < 0     ;     pas de  Solution :     

c.  Calculer :

f(0) = ……………….......................…….........................……………………………………

 f(10) = ……………….......................…….........................……………………………………

Réponse

f (x) = -6x3 - 9x² - 18x + 10

f (0) = -6×0³ - 9×0² -18×0 + 10 = 10

f (10) = -6×10³ - 9×10² -18×10 + 10 = -7070

d.  Tableau de variation:                                        

Réponse

f’(x) = -18x² -18x -18

     a  =  -18  donc le a est négatif « - »  d’où   signe de a « - » .

   

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Fonction dérivée en Cosmologie : Expansion de l'univers, structure à grande échelle de l'univers

La cosmologie est la branche de l'astrophysique qui étudie l'origine, l'évolution et le destin de l'univers. Les fonctions dérivées jouent un rôle essentiel en cosmologie pour modéliser et comprendre divers aspects de l'univers, notamment son expansion et la structure à grande échelle. Les dérivées permettent de quantifier les taux de changement, d'analyser les variations spatiales et temporelles et de formuler des théories mathématiques qui décrivent l'univers. Cet article explore l'utilisation des dérivées en cosmologie, avec des exemples et des formules mathématiques pertinentes.

L'un des concepts fondamentaux en cosmologie est l'expansion de l'univers. La loi de Hubble, formulée par Edwin Hubble, décrit l'expansion de l'univers en relation avec la vitesse de récession des galaxies et leur distance. La loi de Hubble est exprimée par l'équation :

où v est la vitesse de récession de la galaxie, d est la distance à la galaxie et H0

 est la constante de Hubble. La dérivée de la distance par rapport au temps donne la vitesse de récession, et cette relation linéaire est une manifestation de l'expansion de l'univers. La constante de Hubble peut être utilisée pour déterminer l'âge de l'univers, en prenant l'inverse de H0.

Pour comprendre l'expansion de l'univers dans un contexte plus dynamique, les cosmologistes utilisent l'équation de Friedmann, dérivée de la relativité générale. L'équation de Friedmann relie le taux d'expansion de l'univers à sa densité d'énergie et à sa courbure spatiale :

où $a(t)$ est le facteur d'échelle de l'univers, $\dot{a}$ est la dérivée de $a$ par rapport au temps, $G$ est la constante gravitationnelle, $\rho$ est la densité d'énergie de l'univers et $k$ est le paramètre de courbure spatiale.

Cette équation est fondamentale pour modéliser l'évolution temporelle de l'univers.

Un autre aspect crucial de la cosmologie est l'étude de la structure à grande échelle de l'univers. La distribution des galaxies et des amas de galaxies forme une structure en filament qui ressemble à une toile cosmique. Pour analyser cette structure, les cosmologistes utilisent la fonction de corrélation à deux points, qui mesure la probabilité d'observer une paire de galaxies à une certaine distance l'une de l'autre, par rapport à une distribution aléatoire. La dérivée de cette fonction de corrélation permet d'analyser les variations de densité à différentes échelles spatiales.

L'équation de Poisson est également utilisée pour modéliser le potentiel gravitationnel causé par la distribution de masse dans l'univers. L'équation de Poisson est donnée par :

où Φ est le potentiel gravitationnel, ρ est la densité de masse, et ∇² est le laplacien, qui représente la dérivée seconde par rapport aux coordonnées spatiales. Cette équation permet de relier la distribution de masse à la courbure de l'espace-temps et de comprendre comment la gravité façonne la structure de l'univers.

En cosmologie, la dérivée temporelle de la densité d'énergie joue un rôle crucial dans l'étude de l'évolution de différentes composantes de l'univers, comme la matière, le rayonnement et l'énergie noire. La conservation de l'énergie dans un univers en expansion est exprimée par l'équation de continuité :

où $\dot{\rho}$ est la dérivée de la densité d'énergie par rapport au temps, $p$ est la pression, et le terme $3 \frac{\dot{a}}{a}$ représente l'expansion de l'univers. Cette équation décrit comment la densité d'énergie de chaque composante change avec le temps.

Un phénomène observé dans l'univers en expansion est le décalage vers le rouge des galaxies, qui se produit en raison de l'étirement des longueurs d'onde de la lumière à mesure que l'univers s'étend. Le décalage vers le rouge z est relié au facteur d'échelle par la relation :

​

où a(t0) est le facteur d'échelle actuel et a(t) est le facteur d'échelle à l'époque où la lumière a été émise. La dérivée du décalage vers le rouge par rapport au temps peut fournir des informations sur le taux d'expansion de l'univers à différentes époques.

L'énergie noire, une composante mystérieuse de l'univers responsable de l'accélération de l'expansion, est souvent modélisée en utilisant la dérivée de l'équation d'état, qui relie la pression et la densité d'énergie. L'équation d'état de l'énergie noire est souvent paramétrée par :

​

où w est le paramètre d'équation d'état. La dérivée de ce paramètre par rapport au temps ou au facteur d'échelle permet de comprendre comment l'énergie noire évolue et influence l'expansion de l'univers.

Les simulations numériques jouent un rôle important en cosmologie pour étudier la formation et l'évolution des structures à grande échelle. Ces simulations utilisent des dérivées pour résoudre les équations différentielles qui décrivent la dynamique des particules et des champs gravitationnels. Par exemple, la méthode des différences finies est souvent utilisée pour approximer les dérivées spatiales et temporelles dans les simulations numériques.

La cosmologie observationnelle repose sur l'analyse des données provenant de diverses sources, telles que les relevés de galaxies, les observations de fond diffus cosmologique (CMB) et les lentilles gravitationnelles. Les dérivées jouent un rôle crucial dans le traitement et l'interprétation de ces données. Par exemple, l'analyse des anisotropies du CMB utilise la dérivée des fluctuations de température pour comprendre la physique des premiers instants de l'univers.

En conclusion, les fonctions dérivées sont des outils essentiels en cosmologie pour modéliser et comprendre l'expansion de l'univers et la structure à grande échelle. Elles permettent de quantifier les taux de changement, d'analyser les variations spatiales et temporelles et de formuler des théories mathématiques qui décrivent l'univers. En utilisant les dérivées dans les études cosmologiques, les chercheurs peuvent mieux comprendre les mécanismes dynamiques qui façonnent l'univers et développer des modèles précis pour prédire son évolution future. Les dérivées sont donc des outils indispensables pour l'analyse et la modélisation des processus cosmologiques.

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