Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 1 Exercice 1

Fonction dérivée : Sujet 
partie.1 : Ex.1

En utilisant le tableau de la fonction dérivée du cours ou de la fiche d’aide.
Calculer :
a.    la dérivée de la fonction : 

b.    le nombre dérivé  "  f '(x_A)"  au point A d’abscisse : 
                                x_A =  –5  ;  3  et  8. 
c.    le coefficient directeur   "  a  "  de la tangente (y = ax+b) point A d’abscisse :   
                            x_A =  –5  ;  3  et  8     👉   a = f '(x_A)

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La notion de fonction dérivée

La notion de fonction dérivée est fondamentale en analyse mathématique et en calcul différentiel. Une fonction dérivée permet d'analyser le comportement des fonctions et de comprendre comment elles changent par rapport à leurs variables indépendantes. Dans cette exploration, nous nous concentrerons non seulement sur la dérivée première, mais aussi sur les dérivées supérieures et leurs applications variées dans différents domaines des mathématiques et des sciences appliquées.

Pour commencer, considérons une fonction $𝑓(𝑥)$ définie et différentiable sur un intervalle donné. La dérivée première de $𝑓$, notée ${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)$, mesure le taux de variation de $𝑓$ par rapport à $𝑥$. En d'autres termes, ${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)$ représente la pente de la tangente à la courbe de $𝑓$ en un point donné. Cette dérivée première est obtenue par le processus de différentiation, qui, de manière formelle, est défini comme la limite suivante :

${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)={\lim }_{\mathrm{\Delta }𝑥\to 0}\frac{𝑓(𝑥+\mathrm{\Delta }𝑥)-𝑓(𝑥)}{\mathrm{\Delta }𝑥}$

La dérivée première fournit une première approximation linéaire de la fonction autour d'un point et est souvent utilisée pour déterminer les points critiques où la fonction atteint ses extrema (maximums ou minimums locaux).

Au-delà de la dérivée première, on peut également considérer la dérivée seconde, notée ${𝑓}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(𝑥)$. Cette dérivée mesure la concavité ou la convexité de la fonction. Si ${𝑓}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(𝑥)>0$ sur un intervalle, la fonction est concave vers le haut sur cet intervalle, indiquant que la pente de la tangente augmente. Inversement, si ${𝑓}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(𝑥)<0$, la fonction est concave vers le bas, ce qui signifie que la pente de la tangente diminue. La dérivée seconde est particulièrement utile dans l'analyse des points d'inflexion, où la courbure de la fonction change de signe.

Les dérivées supérieures, c'est-à-dire les dérivées d'ordre $𝑛$ pour $𝑛\ge 3$, continuent ce processus de différentiation. La dérivée $𝑛$-ième de $𝑓$, notée ${𝑓}^{(𝑛)}(𝑥)$, est obtenue en différentiant $𝑓$ $𝑛$ fois successivement. Ces dérivées supérieures fournissent des informations de plus en plus fines sur la fonction, telles que la façon dont les courbes de la fonction évoluent et changent de forme.

L'une des applications les plus courantes des dérivées supérieures se trouve dans l'expansion en série de Taylor. Cette méthode permet d'approximer une fonction $𝑓(𝑥)$ autour d'un point $𝑎$ en une somme infinie de termes polynomiaux basés sur les dérivées de la fonction en ce point. La série de Taylor de $𝑓$ centrée en $𝑎$ est donnée par :

$𝑓(𝑥)={\sum }_{𝑛=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{𝑓}^{(𝑛)}(𝑎)}{𝑛!}(𝑥-𝑎{)}^{𝑛}$

Cette formule est particulièrement puissante car elle permet de représenter des fonctions complexes en termes de polynômes, ce qui simplifie les calculs et les analyses. En pratique, les séries de Taylor sont souvent tronquées après un certain nombre de termes pour fournir une approximation utile de la fonction.

Les dérivées supérieures trouvent également des applications dans la mécanique classique, en particulier dans l'analyse des mouvements des corps. Par exemple, la dérivée première de la position d'un objet par rapport au temps est sa vitesse, et la dérivée seconde est son accélération. La dérivée troisième, appelée la jerk, mesure le taux de variation de l'accélération, fournissant une description plus détaillée des mouvements complexes.

En ingénierie et en physique, les dérivées supérieures sont utilisées pour modéliser et analyser les systèmes dynamiques. Les équations différentielles, qui sont des équations impliquant des dérivées, décrivent de nombreux phénomènes naturels et technologiques, tels que les oscillations, la diffusion de la chaleur, et les circuits électriques. Les solutions de ces équations permettent de prédire le comportement des systèmes au fil du temps.

Les dérivées supérieures jouent également un rôle crucial en géométrie différentielle, une branche des mathématiques qui utilise les concepts de dérivation pour étudier les courbes et les surfaces. Par exemple, la courbure d'une courbe dans l'espace peut être décrite à l'aide de ses dérivées première et seconde. De manière similaire, les propriétés géométriques des surfaces, telles que la courbure gaussienne, impliquent des dérivées partielles de fonctions définissant ces surfaces.

En économie, les dérivées supérieures sont utilisées pour analyser les fonctions de coût, de production et d'utilité. La dérivée première d'une fonction de coût, par exemple, représente le coût marginal, c'est-à-dire le coût additionnel de produire une unité supplémentaire. La dérivée seconde, quant à elle, peut indiquer la présence de rendements d'échelle croissants ou décroissants.

Une autre application importante des dérivées supérieures est trouvée dans la théorie de l'approximation et l'analyse numérique. Les méthodes numériques pour résoudre des équations différentielles ou pour intégrer des fonctions utilisent souvent des polynômes de Taylor et des dérivées pour obtenir des solutions approximatives avec une précision contrôlée. Par exemple, les méthodes de Runge-Kutta, couramment utilisées pour résoudre des équations différentielles ordinaires, s'appuient sur des expansions en série pour améliorer la précision des solutions approximatives.

En statistique, les dérivées supérieures sont utilisées dans l'analyse des moments d'une distribution de probabilité. Les moments d'ordre supérieur, tels que la variance, le skewness (asymétrie) et la kurtosis (applatissement), sont liés aux dérivées de la fonction génératrice des moments de la distribution. Ces moments fournissent des informations essentielles sur la forme et les caractéristiques de la distribution, aidant à la modélisation et à l'interprétation des données statistiques.

En somme, les dérivées supérieures sont des outils mathématiques puissants et polyvalents, avec des applications étendues dans de nombreux domaines scientifiques et techniques. Leur capacité à fournir des informations détaillées sur les variations et les comportements des fonctions en fait un élément central de l'analyse mathématique et de ses applications pratiques. Que ce soit dans la modélisation des systèmes dynamiques, l'approximation des fonctions complexes, ou l'analyse des données économiques et statistiques, les dérivées supérieures jouent un rôle crucial dans l'avancement des connaissances et des technologies.

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