Maths Terminal Bac Pro
Fonction dérivée : Partie 1 Exercice 3
Fonction dérivée : Sujet
partie.1 : Ex.3
En utilisant le tableau de la fonction dérivée du cours ou de la fiche d’aide.
Calculer :
a. la dérivée de la fonction :
b. le nombre dérivé " f '(xA)" au point A d’abscisse :
xA = 0 ; 4 et 9.
c. le coefficient directeur " a " de la tangente (y = ax+b) point A d’abscisse :
xA = 0 ; 4 et 9 👉 a = f '(xA)
Calculer :
a. la dérivée de la fonction :
xA = 0 ; 4 et 9.
c. le coefficient directeur " a " de la tangente (y = ax+b) point A d’abscisse :
xA = 0 ; 4 et 9 👉 a = f '(xA)
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Fonction dérivée en Biologie : Modélisation de la croissance des populations
En biologie, la modélisation de la croissance des populations est une thématique centrale pour comprendre la dynamique des espèces et leurs interactions avec l'environnement. Les fonctions dérivées jouent un rôle crucial dans ces modélisations, permettant de décrire comment les populations changent au fil du temps. En utilisant des modèles mathématiques, les biologistes peuvent prédire la croissance ou le déclin des populations, évaluer l'impact des facteurs environnementaux, et développer des stratégies de conservation.
L'un des modèles les plus fondamentaux de la croissance des populations est le modèle exponentiel. Ce modèle suppose que la population croît à un taux constant, c'est-à-dire que le taux de croissance est proportionnel à la taille de la population. Si représente la taille de la population à un moment donné , alors la dérivée de par rapport à , notée , est proportionnelle à : où est le taux de croissance exponentiel.
La solution de cette équation différentielle est : où est la taille initiale de la population au temps . Ce modèle décrit une croissance exponentielle, où la population augmente de manière continue et à un rythme de plus en plus rapide, tant que est positif.
Le modèle logistique modifie l'équation de croissance pour inclure cette limitation :
Dans ce modèle, lorsque la population est petite (), le terme est proche de 1, et la population croît presque exponentiellement. Cependant, à mesure que se rapproche de , le terme diminue, ralentissant la croissance. Lorsque atteint , la croissance s'arrête, et la population se stabilise à la capacité de charge.
La solution de l'équation logistique est :
Ce modèle est plus réaliste pour de nombreuses populations, car il montre une croissance rapide au début, suivie d'un ralentissement à mesure que les ressources deviennent limitées.
Les dérivées sont également utilisées dans des modèles plus complexes, intégrant plusieurs espèces et leurs interactions. Par exemple, le modèle prédateur-proie de Lotka-Volterra décrit les interactions dynamiques entre une population de prédateurs et une population de proies. Les équations de Lotka-Volterra sont :
où représente la population de proies, la population de prédateurs, est le taux de croissance des proies en l'absence de prédateurs, est le taux de prédation (la fréquence à laquelle les prédateurs capturent les proies), est le taux de conversion des proies en nouveaux prédateurs, et est le taux de mortalité des prédateurs en l'absence de proies.
Ces équations montrent comment la population de proies augmente de manière exponentielle en l'absence de prédateurs, mais diminue à mesure que les prédateurs consomment les proies. Inversement, la population de prédateurs diminue en l'absence de proies, mais augmente lorsque les proies sont abondantes.
Les solutions de ces équations produisent des cycles oscillatoires typiques des dynamiques prédateur-proie observées dans la nature. Les dérivées aident à comprendre comment les populations fluctuent et à prédire les périodes de croissance et de déclin.
En plus des modèles déterministes comme ceux-ci, les dérivées sont également utilisées dans les modèles stochastiques, qui prennent en compte les variations aléatoires et les incertitudes inhérentes aux systèmes biologiques. Par exemple, le modèle de diffusion de Fisher-KPP est une équation différentielle partielle qui décrit la propagation spatiale d'une population dans un habitat hétérogène. Elle est donnée par :
où est le coefficient de diffusion représentant le taux de dispersion de la population.
Ce modèle combine la croissance logistique locale avec la diffusion spatiale, décrivant ainsi comment une population colonise de nouveaux habitats. Les dérivées partielles montrent comment la densité de population change à la fois dans le temps et l'espace.
Les fonctions dérivées sont également cruciales pour l'analyse de la stabilité des populations. Par exemple, les points d'équilibre d'un modèle de population sont les valeurs de où . En déterminant la dérivée seconde et en analysant le signe de cette dérivée, les biologistes peuvent déterminer si un point d'équilibre est stable (la population revient à cet équilibre après une perturbation) ou instable (la population s'éloigne de cet équilibre après une perturbation).
Les modèles de croissance des populations sont également appliqués à des questions pratiques de gestion et de conservation. Par exemple, dans la gestion des pêches, les modèles de croissance des populations de poissons permettent de déterminer des taux de capture durables qui ne conduisent pas à la surexploitation. Les dérivées aident à calculer les taux maximaux de capture compatibles avec la préservation à long terme des stocks de poissons.
De même, en conservation de la faune, les modèles de croissance des populations sont utilisés pour évaluer l'impact des actions humaines, comme la fragmentation de l'habitat ou l'introduction d'espèces invasives, sur les populations d'espèces menacées. Les dérivées permettent de quantifier ces impacts et de développer des stratégies pour atténuer les effets négatifs.
Les épidémiologistes utilisent également les dérivées pour modéliser la propagation des maladies au sein des populations. Les modèles SIR (Susceptible-Infectious-Recovered) utilisent des équations différentielles pour décrire la dynamique des épidémies. Par exemple, dans un modèle SIR de base, les équations sont : où est le nombre d'individus susceptibles d'être infectés, est le nombre d'individus infectés, est le nombre d'individus récupérés et immunisés, est le taux de transmission de la maladie, et est le taux de récupération.
Ces modèles aident à comprendre comment une maladie se propage, à estimer le nombre de cas futurs, et à évaluer l'efficacité des interventions de santé publique, telles que la vaccination et la quarantaine.
En résumé, les fonctions dérivées sont des outils mathématiques indispensables en biologie pour modéliser la croissance des populations. Elles permettent de décrire les taux de changement, de résoudre des équations différentielles pour obtenir des solutions explicites, et d'analyser la stabilité des systèmes biologiques. Que ce soit pour des applications théoriques ou pratiques, les dérivées fournissent des insights précieux sur la dynamique des populations et les interactions écologiques, contribuant ainsi à une meilleure compréhension et gestion des écosystèmes naturels.