Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 1 Exercice 4

Fonction dérivée : Sujet 
partie.1 : Ex.4

En utilisant le tableau de la fonction dérivée du cours ou de la fiche d’aide.
Calculer :
a.    la dérivée de la fonction :                     

b.    le nombre dérivé  "  f '(x_A)"  au point A d’abscisse : 
                                x_A =  -5  ;  3  et  8. 
c.    le coefficient directeur   "  a  "  de la tangente (y = ax+b) point A d’abscisse :   
                            x_A =  -5  ;  3  et  8   👉   a = f '(x_A)

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Fonction dérivée en Statistiques : Optimisation des fonctions de vraisemblance

En statistiques, l'optimisation des fonctions de vraisemblance est un processus central utilisé pour estimer les paramètres des modèles statistiques. Les fonctions dérivées, en particulier les dérivées premières et secondes, jouent un rôle crucial dans ce processus, permettant de trouver les valeurs des paramètres qui maximisent la vraisemblance d'observer les données données. Ce processus est souvent appelé estimation par maximum de vraisemblance (EMV).

Pour comprendre comment les dérivées sont utilisées dans l'optimisation des fonctions de vraisemblance, il est important de commencer par définir ce qu'est une fonction de vraisemblance. Supposons que nous ayons un ensemble de données $𝑋=\{{𝑥}_1,{𝑥}_2,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\}$ qui sont supposées être des réalisations indépendantes d'une variable aléatoire ayant une distribution de probabilité paramétrique avec une fonction de densité $𝑓(𝑥;𝜃)$, où $𝜃$ est un vecteur de paramètres inconnus. La fonction de vraisemblance $𝐿(𝜃;𝑋)$ est définie comme le produit des densités de probabilité de chaque observation :

$𝐿(𝜃;𝑋)={\prod }_{𝑖=1}^{𝑛}𝑓({𝑥}_{𝑖};𝜃)$

L'objectif de l'estimation par maximum de vraisemblance est de trouver la valeur du vecteur de paramètres $𝜃$ qui maximise cette fonction de vraisemblance. Cependant, il est souvent plus pratique de travailler avec la log-vraisemblance, $\mathrm{\ell }(𝜃;𝑋)$, qui est le logarithme naturel de la fonction de vraisemblance :

$\mathrm{\ell }(𝜃;𝑋)=\ln 𝐿(𝜃;𝑋)={\sum }_{𝑖=1}^{𝑛}\ln 𝑓({𝑥}_{𝑖};𝜃)$

La log-vraisemblance présente plusieurs avantages, notamment la transformation du produit en somme, ce qui simplifie les calculs et les analyses.

Pour maximiser la log-vraisemblance, nous cherchons les valeurs de $𝜃$ qui rendent sa dérivée première, appelée le score de vraisemblance, égale à zéro. Le score de vraisemblance est défini comme la dérivée de la log-vraisemblance par rapport à $𝜃$ :

Les points où $𝑈(𝜃;𝑋)=0$ sont appelés les estimateurs du maximum de vraisemblance (EMV). Cependant, il ne suffit pas de trouver les points où le score de vraisemblance est nul ; il faut également vérifier que ces points correspondent à un maximum local et non à un minimum ou un point d'inflexion. Pour cela, nous utilisons la dérivée seconde de la log-vraisemblance, appelée l'information observée ou matrice hessienne, qui est définie comme :

La condition pour un maximum local est que la matrice hessienne soit définie positive en ces points, c'est-à-dire que ses valeurs propres soient toutes positives.

Prenons un exemple concret pour illustrer ce processus. Considérons un échantillon $𝑋=\{{𝑥}_1,{𝑥}_2,\dots ,{𝑥}_{𝑛}\}$ tiré d'une distribution normale $𝑁(𝜇,{𝜎}^2)$ avec des paramètres $𝜇$ (moyenne) et ${𝜎}^2$ (variance). La fonction de densité de probabilité pour chaque observation est :

La fonction de vraisemblance pour l'ensemble des données est donc :

La log-vraisemblance correspondante est :

Pour maximiser cette log-vraisemblance, nous calculons les dérivées premières par rapport à

$𝜇$ et ${𝜎}^2$ et les égalisons à zéro. Pour $𝜇$ :

Ces équations nous donnent les EMV pour les paramètres

$𝜇$ et ${𝜎}^2$. En pratique, pour des modèles plus complexes ou pour des distributions non normales, ces dérivées peuvent devenir très complexes et nécessiter des méthodes numériques pour être résolues.

Les méthodes numériques, telles que la méthode de Newton-Raphson, sont souvent utilisées pour trouver les EMV lorsque les dérivées analytiques sont difficiles à résoudre. La méthode de Newton-Raphson utilise à la fois la dérivée première (le gradient) et la dérivée seconde (la hessienne) pour itérer vers le maximum de la fonction de vraisemblance. L'algorithme est donné par :

où ${𝜃}^{(𝑘)}$ est la valeur actuelle des paramètres, et ${𝜃}^{(𝑘+1)}$ est la valeur mise à jour après chaque itération. Ce processus est répété jusqu'à convergence.

L'optimisation des fonctions de vraisemblance est également utilisée dans l'estimation des modèles linéaires et non linéaires, les modèles de régression, les modèles à effets mixtes, et bien d'autres. Par exemple, dans les modèles de régression linéaire, les coefficients de régression sont souvent estimés en maximisant la vraisemblance sous l'hypothèse que les erreurs résiduelles suivent une distribution normale.

Les fonctions de dérivées sont des outils essentiels dans l'analyse de la robustesse des systèmes et des modèles en diverses disciplines, telles que l'ingénierie, la finance, et les sciences sociales. La robustesse d'un système se réfère à sa capacité à maintenir ses performances malgré les perturbations et les variations des conditions initiales. Les dérivées aident à comprendre comment un système réagit à de petites modifications, fournissant ainsi une mesure de sa sensibilité et de sa stabilité.

Compréhension des Sensibilités

L'utilisation des dérivées dans l'analyse de la robustesse permet de quantifier la sensibilité d'un système par rapport à ses paramètres d'entrée. La dérivée première, par exemple, indique comment une petite variation d'un paramètre influence directement la sortie du système. Si la dérivée est grande, cela signifie que le système est très sensible à ce paramètre, ce qui peut indiquer une faible robustesse.

Stabilité des Systèmes

Les dérivées jouent un rôle crucial dans l'évaluation de la stabilité des systèmes dynamiques. Dans l'ingénierie des contrôles, par exemple, les dérivées des fonctions de transfert ou des équations différentielles sont utilisées pour analyser la réponse du système aux perturbations. Un système est considéré comme stable si les petites perturbations diminuent avec le temps, ce qui peut être déterminé en examinant les dérivées du système.

Optimisation et Robustesse

Les dérivées sont également utilisées dans l'optimisation, où l'objectif est de trouver les paramètres qui maximisent ou minimisent une fonction objectif tout en assurant la robustesse de la solution. En utilisant les dérivées, on peut identifier les points critiques (maxima et minima) et analyser leur robustesse en évaluant la courbure de la fonction objective autour de ces points. Une courbure élevée peut indiquer une solution moins robuste, car de petites perturbations peuvent entraîner de grandes variations dans les résultats.

Analyse de Sensibilité

Dans les domaines comme la finance et l'économie, l'analyse de sensibilité utilise les dérivées pour comprendre comment les variations des variables clés affectent les résultats des modèles financiers. Par exemple, les dérivées des fonctions de coût ou de profit par rapport aux prix des matières premières, aux taux d'intérêt, ou à d'autres variables économiques peuvent indiquer la robustesse des stratégies d'investissement ou des décisions économiques.

Résilience des Écosystèmes

En écologie, les dérivées sont utilisées pour modéliser la dynamique des populations et la résilience des écosystèmes. Les modèles écologiques souvent comprennent des équations différentielles qui décrivent la croissance et le déclin des populations en fonction de divers facteurs environnementaux. En analysant les dérivées de ces équations, les écologistes peuvent prédire comment les écosystèmes réagiront aux changements environnementaux, tels que le changement climatique ou la pollution.

Les dérivées fournissent des informations cruciales pour l'analyse de la robustesse dans divers contextes. Elles permettent de quantifier la sensibilité, d'évaluer la stabilité, et d'optimiser les systèmes tout en garantissant des solutions robustes. Bien que les dérivées puissent parfois rendre l'analyse complexe, leur capacité à fournir des mesures précises et détaillées fait d'elles des outils indispensables pour assurer la résilience et la fiabilité des systèmes face aux perturbations et aux incertitudes.

En outre, les dérivées sont utilisées dans l'analyse de la robustesse et de la fiabilité des estimations par maximum de vraisemblance. L'information observée ou la matrice hessienne évaluée à l'EMV est utilisée pour calculer les variances asymptotiques des estimateurs, fournissant ainsi des intervalles de confiance et des tests d'hypothèses pour les paramètres estimés. La matrice d'information de Fisher, qui est l'espérance de l'information observée, joue un rôle clé dans cette analyse et est donnée par :

En somme, les fonctions dérivées sont des outils mathématiques essentiels en statistiques pour l'optimisation des fonctions de vraisemblance. Elles permettent de déterminer les paramètres qui maximisent la vraisemblance d'observer les données, de résoudre des systèmes d'équations complexes, et d'analyser la robustesse et la fiabilité des estimations. Que ce soit pour des modèles simples ou complexes, les dérivées facilitent l'application des méthodes statistiques et contribuent de manière significative à la compréhension et à l'interprétation des données.

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