Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 2 Ex.2

Fonction dérivée : Sujet 
partie.2  Ex.2

Tableau de variation sans graphique :

Fonction dérivée

Etudie le sens de variation de la fonction ¦ définie sur l’intervalle [-8 ; 8] par :

 ¦(x) = 5x² - 30x + 9

a.    Calculer la dérivée ¦¢(x)  de la fonction ¦(x) = 5x² - 30x + 9

 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

 b.    Résoudre :

·       ¦¢(x) = 0 

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………...                                                                                                  

 ·       ¦¢(x) < 0  

 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………...    

 ·       ¦¢(x) > 0 

 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………...   

c.  Tableau de variation 

..............................................................................................................

Voir  Cours    👉 Cours à trous      👉  Cours complété

Voir  Fiche d'aide    👉 Fiche d'aide 

Voir correction partie 2 Ex.2    👉 Correction partie.2 Ex2

Revenir à la page de choix de l'exercice   👉 Choix d'un exercice

Passer à la partie 2 Ex.3   👉   Sujet partie 2 Ex3

..............................................................................................................

Fonction dérivée en Mécanique quantique : Modélisation des systèmes quantiques

La mécanique quantique est un domaine fascinant de la physique qui décrit le comportement des particules à l'échelle atomique et subatomique. Les fonctions dérivées jouent un rôle crucial dans la modélisation des systèmes quantiques, notamment par l'intermédiaire de l'équation de Schrödinger, qui est l'équation fondamentale régissant la dynamique des systèmes quantiques. Cet essai explore l'utilisation des fonctions dérivées en mécanique quantique, en intégrant quelques formules mathématiques pour illustrer les concepts clés.

La mécanique quantique est une branche fondamentale de la physique qui décrit le comportement des particules à une échelle très petite, comme les électrons, les protons et les photons. Contrairement à la physique classique, qui décrit le monde macroscopique de manière déterministe, la mécanique quantique introduit une nature probabiliste dans la description des phénomènes physiques.

Principes de la Mécanique Quantique

La mécanique quantique repose sur plusieurs concepts clés :

1. Dualité Onde-Particule : Les particules peuvent exhiber des propriétés à la fois de particules et d'ondes. Par exemple, les électrons peuvent former des motifs d'interférence lorsqu'ils passent à travers une double fente, montrant leur nature ondulatoire.

2. Quantification : Les quantités physiques comme l'énergie sont quantifiées, c'est-à-dire qu'elles ne peuvent prendre que des valeurs discrètes. Par exemple, un électron dans un atome ne peut occuper que des niveaux d'énergie spécifiques.

3. Principe d'Incertitude d'Heisenberg : Il est impossible de connaître simultanément et avec précision la position et la quantité de mouvement d'une particule. Plus on connaît l'une avec précision, moins on connaît l'autre.

4. Superposition : Une particule peut exister dans plusieurs états en même temps jusqu'à ce qu'elle soit observée, moment où elle "choisit" un état spécifique.

Équation de Schrödinger

L'équation de Schrödinger, proposée par le physicien autrichien Erwin Schrödinger en 1925, est une des pierres angulaires de la mécanique quantique. Elle décrit comment l'état quantique d'un système évolue dans le temps.

Description Conceptuelle

L'équation de Schrödinger utilise une fonction d'onde pour représenter l'état quantique d'une particule. Cette fonction d'onde contient toutes les informations nécessaires pour décrire le comportement de la particule. La probabilité de trouver une particule dans une région donnée de l'espace est proportionnelle au carré de la valeur absolue de cette fonction d'onde.

Importance

1. Dynamique des Particules : L'équation de Schrödinger permet de prédire comment la fonction d'onde d'une particule évolue dans le temps sous l'influence de divers potentiels. Cela est essentiel pour comprendre des phénomènes comme la diffusion, la réflexion et la transmission des particules.

2. Structures Atomiques et Moléculaires : En résolvant l'équation de Schrödinger pour différents systèmes, on peut déterminer les niveaux d'énergie des électrons dans les atomes et les molécules, ce qui explique la structure des spectres atomiques et moléculaires.

3. Chimie Quantique : L'équation de Schrödinger est fondamentale en chimie quantique pour comprendre les liaisons chimiques et les réactions. Elle permet de calculer les orbites des électrons et de prédire les propriétés chimiques des molécules.

Applications Pratiques

1. Technologie : Les principes de la mécanique quantique et l'équation de Schrödinger sont à la base de nombreuses technologies modernes, comme les transistors, les lasers et les dispositifs de résonance magnétique nucléaire (RMN).

2. Recherche en Physique : La mécanique quantique est essentielle pour les recherches en physique des particules, en physique des solides et en cosmologie, permettant de comprendre les propriétés fondamentales de la matière et de l'univers.

3. Informatique Quantique : La mécanique quantique et l'équation de Schrödinger sont au cœur du développement de l'informatique quantique, qui promet des capacités de calcul exponentiellement plus puissantes que les ordinateurs classiques.

La mécanique quantique et l'équation de Schrödinger ont révolutionné notre compréhension du monde microscopique. Elles offrent un cadre théorique puissant pour décrire et prédire le comportement des particules subatomiques. Ces concepts ont non seulement profondément influencé la physique théorique, mais ont aussi conduit à des innovations technologiques majeures qui façonnent notre monde moderne

L'équation de Schrödinger est une équation différentielle partielle qui décrit comment l'état quantique d'un système évolue dans le temps. Pour une particule de masse m dans un potentiel V(x), l'équation de Schrödinger dépendante du temps est donnée par :

où Ψ(x,t) est la fonction d'onde de la particule, ℏ est la constante de Planck réduite, i$i$ est l'unité imaginaire, et 

est la dérivée seconde par rapport à la position x. La fonction d'onde Ψ(x,t) contient toute l'information sur le système quantique et sa dérivée partielle par rapport au temps indique comment l'état quantique évolue.

L'équation de Schrödinger peut être séparée en une partie dépendante du temps et une partie indépendante du temps lorsque le potentiel V(x) est indépendant du temps. Dans ce cas, la fonction d'onde peut être écrite comme :

où ψ(x) est la partie spatiale de la fonction d'onde et E est l'énergie de la particule. L'équation de Schrödinger indépendante du temps devient alors :

Cette équation est une équation aux valeurs propres, où E représente les valeurs propres (énergies) et ψ(x) les fonctions propres (états stationnaires) du système. La dérivée seconde de ψ(x) par rapport à x est essentielle pour déterminer les états d'énergie quantifiés du système.

Prenons l'exemple d'une particule dans un puits de potentiel infini, un problème classique en mécanique quantique. Le potentiel V(x) est nul à l'intérieur du puits (entre x=0 et x=a) et infini à l'extérieur. L'équation de Schrödinger indépendante du temps à l'intérieur du puits est :

Cette équation différentielle, avec les conditions aux limites ψ(0)=ψ(a)=0, a pour solutions les fonctions sinusoïdales :

Les énergies correspondantes sont quantifiées et données par :

​

où n est un entier positif. Les dérivées secondes de ψn(x) par rapport à x sont cruciales pour obtenir ces solutions.

Un autre concept important en mécanique quantique est le principe d'incertitude de Heisenberg, qui stipule qu'il est impossible de connaître simultanément et avec précision la position et la quantité de mouvement d'une particule. Mathématiquement, ce principe est exprimé par l'inégalité :

où Δx est l'incertitude sur la position et Δp l'incertitude sur la quantité de mouvement. Cette relation découle directement des propriétés des fonctions d'onde et de leurs dérivées. Par exemple, la transformée de Fourier relie la fonction d'onde en espace des positions ψ(x) et en espace des moments ϕ(p), et les largeurs des distributions en position et en moment sont liées par cette inégalité.

Les opérateurs en mécanique quantique, comme l'opérateur Hamiltonien $\hat{H}$, jouent également un rôle crucial. L'opérateur Hamiltonien est défini comme :

Cet opérateur agit sur la fonction d'onde pour déterminer les états d'énergie du système. Les dérivées secondes par rapport à la position sont essentielles dans la définition de l'opérateur Hamiltonien, soulignant encore l'importance des fonctions dérivées.

En mécanique quantique, les états quantiques peuvent être représentés par des vecteurs dans un espace de Hilbert, et les observables par des opérateurs linéaires sur cet espace. La valeur moyenne d'une observable $\hat{A}$ dans un état $\psi$ est donnée par :

où $\psi^*(x)$ est le conjugué complexe de $\psi(x)$. Les dérivées des fonctions d'onde par rapport à la position apparaissent souvent dans le calcul des valeurs moyennes, en particulier pour les opérateurs comme le moment cinétique.

Les fonctions dérivées sont également essentielles dans la mécanique quantique des systèmes à plusieurs particules, où les interactions entre les particules sont prises en compte. Par exemple, dans le cas des électrons dans un atome, les interactions entre les électrons et le noyau sont modélisées par des potentiels dépendant de la position. L'équation de Schrödinger pour un système à N particules est une équation différentielle partielle en 3N dimensions :

où ri​ représente la position de la i-ème particule et ∇²i est le laplacien par rapport à ri. Les dérivées spatiales dans cette équation sont cruciales pour comprendre les interactions entre les particules.

La mécanique quantique s'étend également aux champs quantiques, où les champs sont quantifiés et décrits par des équations différentielles partielles. Par exemple, l'équation de Klein-Gordon pour un champ scalaire $\phi$ est :

Cette équation utilise des dérivées secondes par rapport au temps et à l'espace pour décrire l'évolution du champ.

En conclusion, les fonctions dérivées sont essentielles en mécanique quantique pour modéliser les systèmes quantiques, déterminer les états d'énergie, analyser les incertitudes et décrire les interactions entre les particules. De l'équation de Schrödinger aux opérateurs et aux champs quantiques, les dérivées jouent un rôle central dans la compréhension et la prédiction du comportement des systèmes quantiques. En maîtrisant ces concepts mathématiques, les physiciens peuvent explorer les mystères du monde quantique et développer des technologies avancées telles que l'informatique quantique et les matériaux quantiques.

..............................................................................................................

Voir  Cours    👉 Cours à trous      👉  Cours complété

Voir  Fiche d'aide    👉 Fiche d'aide 

Voir correction partie 2 Ex.2    👉 Correction partie.2 Ex2

Revenir à la page de choix de l'exercice   👉 Choix d'un exercice

Passer à la partie 2 Ex.3   👉   Sujet partie 2 Ex3

..............................................................................................................

Modifier l'article