Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 2 Exercice 3

Fonction dérivée : Sujet 

partie.2  Ex.3

Tableau de variation sans graphique :

Fonction dérivée

Etudie le sens de variation de la fonction ¦ définie sur l’intervalle [-9 ; 9] par :

 ¦(x) = -x² - 8x - 8

a.    Calculer la dérivée ¦¢(x)  de la fonction   ¦(x) = -x² - 8x - 8

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b.    Résoudre :

·       ¦¢(x) = 0 

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 ·        ¦¢(x) < 0  

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 ·       ¦¢(x) > 0 

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c.  Tableau de variation

 

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Fonction dérivée  en Robotique : Conception et contrôle des robots

La robotique, une discipline qui combine ingénierie mécanique, électronique, informatique et intelligence artificielle, utilise intensivement les fonctions dérivées pour la conception et le contrôle des robots. Ces fonctions permettent de modéliser et d'analyser le mouvement, la dynamique et les interactions des robots avec leur environnement, assurant ainsi des performances optimales et sécurisées.

La robotique est une discipline multidisciplinaire qui intègre l'ingénierie mécanique, l'électronique, l'informatique et l'intelligence artificielle pour concevoir, construire et contrôler des robots. Ces machines peuvent exécuter une variété de tâches, souvent avec un niveau de précision et d'efficacité supérieur à celui des humains.

Ingénierie Mécanique

L'ingénierie mécanique est la base de la construction physique des robots. Elle implique la conception et l'assemblage des composants structurels et des mécanismes de mouvement. Cela comprend la création de châssis, d'articulations et d'actionneurs (comme les moteurs et les systèmes hydrauliques) qui permettent aux robots de se déplacer et de manipuler des objets. Les ingénieurs mécaniques doivent également tenir compte de la durabilité et de la fiabilité des matériaux et des composants utilisés dans des environnements variés.

Électronique

L'électronique joue un rôle crucial dans la robotique, fournissant les circuits et les systèmes nécessaires pour alimenter les robots et contrôler leurs mouvements. Les capteurs sont un élément clé, permettant aux robots de percevoir leur environnement en mesurant des variables telles que la lumière, la température, la pression et le son. Les systèmes électroniques incluent également des dispositifs de communication pour permettre l'interaction entre le robot et les opérateurs humains ou d'autres machines.

Informatique

L'informatique est au cœur de la robotique, fournissant les algorithmes et les logiciels qui contrôlent les robots. Les programmes informatiques déterminent comment un robot interprète les données de ses capteurs, prend des décisions et exécute des actions. Les systèmes embarqués, qui sont des ordinateurs spécialement conçus pour gérer les tâches en temps réel, sont souvent utilisés pour assurer des performances efficaces et fiables.

Intelligence Artificielle (IA)

L'intelligence artificielle est essentielle pour permettre aux robots d'exécuter des tâches complexes et d'interagir de manière autonome avec leur environnement. L'IA comprend des techniques telles que l'apprentissage automatique, la vision par ordinateur, la reconnaissance vocale et la planification. Ces technologies permettent aux robots d'apprendre de leurs expériences, de reconnaître des objets et des personnes, et de planifier des actions en fonction des données reçues. Par exemple, dans l'industrie manufacturière, des robots dotés d'IA peuvent ajuster leurs actions en fonction des variations des pièces qu'ils manipulent, améliorant ainsi la flexibilité et l'efficacité de la production.

Applications de la Robotique

La robotique trouve des applications dans de nombreux domaines. En médecine, les robots assistent dans les chirurgies, fournissant une précision et une stabilité accrues. Dans l'industrie, les robots automatisent des tâches répétitives et dangereuses, améliorant la sécurité et l'efficacité. Les robots de service, comme ceux utilisés dans la logistique et la livraison, révolutionnent la manière dont les biens sont transportés et distribués. De plus, les robots de recherche et de sauvetage interviennent dans des situations dangereuses, comme les catastrophes naturelles, pour aider à sauver des vies.

La robotique est une discipline fascinante et en constante évolution, qui combine ingénierie mécanique, électronique, informatique et intelligence artificielle pour créer des machines capables de performances extraordinaires. Les avancées dans chacun de ces domaines continuent d'améliorer les capacités des robots, ouvrant de nouvelles possibilités pour leur utilisation dans divers secteurs de la société. Alors que la technologie progresse, les robots deviennent de plus en plus sophistiqués et autonomes, promettant de transformer notre façon de vivre et de travailler.

La conception d’un robot commence par la modélisation cinématique, qui décrit les mouvements du robot sans considérer les forces. Les fonctions dérivées jouent un rôle clé dans cette phase en permettant de relier les variables de position, de vitesse et d'accélération. Considérons un bras robotisé à deux articulations. La position de l'extrémité du bras dans un plan peut être exprimée par :

où l1​ et l2​ sont les longueurs des segments du bras, et θ1​ et θ2​ sont les angles des articulations. Pour contrôler le mouvement, il est nécessaire de déterminer la vitesse et l'accélération de l'extrémité du bras. En utilisant les dérivées par rapport au temps, les vitesses sont obtenues comme :

Les points indiqués sur les angles θ1​ et θ2 désignent les vitesses angulaires:

respectivement. Les accélérations peuvent ensuite être dérivées de ces expressions pour obtenir des termes de deuxième ordre, nécessaires pour une modélisation complète du mouvement dynamique.

La dynamique des robots, qui considère les forces et les torques, repose sur les équations de mouvement dérivées des lois de Newton et de Lagrange. Pour un système robotique, les équations de Lagrange sont souvent utilisées en raison de leur efficacité dans les systèmes complexes à multiples degrés de liberté. L’énergie cinétique T et l’énergie potentielle V du système sont déterminées, et les équations de Lagrange sont formulées comme :

​

où L=T−V est la fonction de Lagrange, qi sont les coordonnées généralisées, et Qi sont les forces généralisées appliquées. Pour un bras robotique, cela permet de déterminer les torques nécessaires à chaque articulation pour obtenir le mouvement désiré.

Une fois les modèles cinématiques et dynamiques établis, le contrôle des robots devient l’étape suivante cruciale. Le contrôle en boucle fermée utilise des algorithmes qui prennent en compte les dérivées pour ajuster les actions du robot en temps réel. Un contrôleur PID (Proportionnel-Intégral-Dérivé) est un exemple classique, où la sortie du contrôleur est basée sur l'erreur e(t) entre la position souhaitée et la position réelle du robot :

​

où Kp​, Ki, et Kd sont les gains proportionnel, intégral, et dérivé, respectivement. Ce contrôleur utilise la dérivée de l'erreur pour prédire et corriger rapidement les écarts de trajectoire.

Les robots modernes, surtout ceux impliqués dans des tâches complexes ou interactives, utilisent des algorithmes de contrôle avancés comme les contrôleurs adaptatifs et robustes, les contrôleurs de retour d’état, et les algorithmes d’optimisation basés sur la programmation dynamique. Par exemple, dans la commande de retour d’état, les dérivées des variables d’état sont utilisées pour stabiliser le système et minimiser les erreurs :

$\mathbf{u}(t) = -\mathbf{K}\mathbf{x}(t)$

où K est une matrice de gains et x(t) est le vecteur des états du système. Les états peuvent inclure les positions, vitesses, et accélérations des parties du robot, et leurs dérivées sont essentielles pour calculer les contrôles optimaux.

En plus de la modélisation et du contrôle, les fonctions dérivées sont utilisées pour la planification des trajectoires, qui implique la génération de trajectoires de mouvement lisses et efficaces pour les robots. Les algorithmes de planification de trajectoire, tels que le planificateur de trajectoire quintique, utilisent des polynômes de cinquième ordre pour définir des trajectoires continues jusqu'à la dérivée de cinquième ordre. Cela garantit que les robots se déplacent avec des accélérations et des vitesses continues, réduisant ainsi les chocs et les vibrations.

Par exemple, une trajectoire quintique pour une seule variable de mouvement q(t) peut être formulée comme :

$q(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3 + a_4 t^4 + a_5 t^5$

Les coefficients $a_i$ sont déterminés en imposant des conditions aux valeurs initiales et finales de $q(t)$, $\dot{q}(t)$, et $\ddot{q}(t)$.

En robotique mobile, où les robots se déplacent dans des environnements dynamiques, les dérivées sont utilisées dans la modélisation des systèmes non holonomes et le contrôle des trajectoires. Les robots non holonomes, comme les voitures autonomes, ont des contraintes de mouvement qui dépendent de leurs vitesses et orientations actuelles. Les équations dérivées des contraintes non holonomes aident à définir les chemins réalisables et les contrôles nécessaires pour suivre ces chemins.

Les algorithmes de localisation et de cartographie simultanées (SLAM) utilisent également les fonctions dérivées pour estimer la position du robot et construire une carte de l’environnement en temps réel. Les filtres de Kalman étendus (EKF) et les filtres de particules, qui sont couramment utilisés dans SLAM, reposent sur les dérivées pour mettre à jour les estimations de l'état du robot et de la carte à chaque étape.

En conclusion, les fonctions dérivées sont des outils mathématiques fondamentaux dans la conception et le contrôle des robots. Elles permettent de modéliser les mouvements, analyser la dynamique, concevoir des contrôleurs efficaces, planifier des trajectoires optimales et réaliser des tâches complexes en robotique. De la cinématique à la dynamique, en passant par le contrôle et la planification, les dérivées fournissent les bases mathématiques nécessaires pour garantir que les robots fonctionnent de manière sûre, précise et efficace dans des environnements variés et souvent imprévisibles.

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