Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

  Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 2 Exercice 4

Fonction dérivée : Sujet 

partie.2  Ex.4

Tableau de variation sans graphique :

Fonction dérivée

Etudie le sens de variation de la fonction ¦ définie sur l’intervalle

 [0 ; 10] par : ¦(x) = 1,5x² - 18x + 14

a.    Calculer la dérivée ¦¢(x)  de la fonction (x) = 1,5x² - 18x + 14

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 b.    Résoudre :

·       ¦¢(x) = 0  

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 ·       ¦¢(x) < 0  

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 ·       ¦¢(x) > 0 

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 c.  Tableau de variation

 

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Fonction dérivée en Analyse des risques : Modélisation des risques financiers

L’analyse des risques financiers est une discipline essentielle pour comprendre, évaluer et gérer les incertitudes qui peuvent affecter les investissements, les portefeuilles, et les institutions financières. Les fonctions dérivées jouent un rôle crucial dans cette analyse, permettant de modéliser et d'optimiser les risques associés à différents actifs financiers. Cet essai explore comment les fonctions dérivées sont utilisées dans la modélisation des risques financiers, en mettant en lumière des concepts clés tels que la volatilité, la sensibilisation des portefeuilles et la gestion des risques.

La volatilité est l’une des mesures les plus importantes du risque financier. Elle représente la variabilité des rendements d’un actif financier sur une période donnée. La dérivée seconde du prix de l'actif par rapport au temps, souvent notée σ², est une mesure couramment utilisée pour évaluer cette volatilité. Considérons une série temporelle de prix d’un actif P(t). La volatilité σ peut être calculée en utilisant la dérivée première du logarithme des prix :

où rt​ représente le rendement logarithmique à l’instant t. La volatilité est alors la racine carrée de la variance de rt sur une période donnée. En utilisant la dérivée seconde pour modéliser les fluctuations des prix, les analystes peuvent estimer le risque associé à l'actif et prendre des décisions éclairées.

Les fonctions dérivées sont également essentielles pour mesurer la sensibilité des portefeuilles financiers aux changements des variables de marché. L’un des concepts fondamentaux dans ce domaine est celui des « grecs » en finance, qui sont des dérivées partielles des prix des options par rapport à diverses variables. Par exemple, le delta (Δ) mesure la sensibilité du prix d'une option par rapport aux variations du prix du sous-jacent :

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où V est le prix de l'option et S est le prix du sous-jacent. Le gamma (Γ) mesure la sensibilité du delta par rapport au prix du sous-jacent, et il est défini comme la dérivée seconde du prix de l'option par rapport au prix du sous-jacent :

​

Ces dérivées permettent aux gestionnaires de portefeuille de comprendre comment les changements dans les prix des actifs sous-jacents affecteront la valeur de leurs options, et de mettre en place des stratégies de couverture appropriées pour gérer les risques.

La gestion des risques financiers utilise également les dérivées pour l’optimisation des portefeuilles. Un cadre théorique fondamental dans ce domaine est le modèle d’évaluation des actifs financiers (CAPM). Le CAPM utilise la dérivée du rendement attendu d’un portefeuille par rapport à la volatilité (mesurée par l’écart type des rendements) pour optimiser la combinaison des actifs dans un portefeuille. La dérivée de la fonction d’utilité U, qui représente la satisfaction ou l’utilité d’un investisseur en fonction de son rendement et de son risque, peut être utilisée pour trouver le portefeuille optimal :

où σ est la volatilité du portefeuille. En résolvant cette équation, les gestionnaires peuvent déterminer la composition optimale du portefeuille qui maximise l'utilité de l'investisseur tout en minimisant le risque.

Un autre outil analytique crucial en gestion des risques financiers est la Value at Risk (VaR), qui mesure la perte maximale probable sur un portefeuille sur un horizon temporel donné à un niveau de confiance spécifié. La dérivée de la VaR par rapport à divers facteurs de risque peut être utilisée pour comprendre la sensibilité de la VaR et pour optimiser les stratégies de gestion des risques. Par exemple, si X représente la valeur du portefeuille et f une fonction des facteurs de risque, la VaR peut être exprimée comme :

où α est le niveau de confiance. En prenant les dérivées partielles de la VaR par rapport à chaque facteur de risque, les analystes peuvent identifier les facteurs qui contribuent le plus au risque du portefeuille et prendre des mesures pour atténuer ces risques.

La modélisation stochastique des risques financiers utilise également des fonctions dérivées pour comprendre et prédire les mouvements des prix des actifs. Les modèles comme le modèle de Black-Scholes pour le prix des options utilisent des équations différentielles pour décrire l'évolution des prix des actifs. L'équation de Black-Scholes est une équation différentielle partielle qui peut être exprimée comme :

où V est le prix de l'option, t est le temps, S est le prix de l'actif sous-jacent, σ est la volatilité, et r est le taux d'intérêt sans risque. La solution de cette équation fournit le prix théorique des options, permettant aux traders de mieux évaluer et gérer les risques associés.

En outre, les fonctions dérivées sont utilisées dans l’analyse des scénarios de stress, où les portefeuilles sont évalués sous des conditions de marché extrêmes. En utilisant des modèles de dérivées partielles pour simuler des chocs de marché, les gestionnaires de risques peuvent estimer les impacts potentiels sur les portefeuilles et développer des stratégies de résilience.

Un autre domaine d'application des dérivées en gestion des risques financiers est la modélisation des risques de crédit. Les modèles de risque de crédit, tels que le modèle de Merton, utilisent les dérivées pour évaluer la probabilité de défaut d'un emprunteur. Le modèle de Merton traite la dette d'une entreprise comme une option sur les actifs de l'entreprise. La probabilité de défaut est alors liée à la distance entre la valeur des actifs de l'entreprise et le seuil de défaut. En utilisant des dérivées pour modéliser les mouvements des valeurs des actifs, les analystes peuvent estimer les risques de crédit plus précisément et prendre des décisions informées pour gérer ces risques.

Enfin, les fonctions dérivées sont également utilisées dans l'évaluation et la gestion des risques de liquidité. Les risques de liquidité surviennent lorsque les investisseurs sont incapables de vendre leurs actifs rapidement sans provoquer une baisse significative des prix. La dérivée du prix des actifs par rapport au volume des transactions peut fournir des informations cruciales sur la sensibilité des prix aux conditions de liquidité. En analysant ces dérivées, les gestionnaires de risques peuvent évaluer les impacts potentiels des chocs de liquidité et mettre en place des stratégies pour gérer ces risques.

En conclusion, les fonctions dérivées sont des outils mathématiques indispensables dans l’analyse et la gestion des risques financiers. Elles permettent de modéliser la volatilité, de mesurer la sensibilité des portefeuilles aux variables de marché, d’optimiser la composition des portefeuilles, de comprendre les impacts des scénarios de stress, de modéliser les risques de crédit et de liquidité, et de développer des stratégies de gestion des risques robustes. En utilisant les dérivées pour analyser les variations infinitésimales des variables financières, les analystes et les gestionnaires de risques peuvent prendre des décisions plus éclairées et efficaces, assurant ainsi la stabilité et la résilience des systèmes financiers face aux incertitudes du marché.

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