Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 2 Exercice 7

Fonction dérivée : Sujet 
partie.2  Ex.7

Tableau de variation sans graphique :

Fonction dérivée

Etudie   le   sens de variation de la fonction ¦ définie sur   l’intervalle   

[-10 ; 10] par :  ¦(x) = 0,5x² - 6x + 12

a.    Calculer la dérivée ¦¢(x)  de la fonction :

        ¦(x) = 0,5x² - 6x + 12

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b.    Résoudre :

·       ¦¢(x) = 0 

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 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………...                                                                                                    

 ·       ¦¢(x) < 0  

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 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………...    

 ·       ¦¢(x) > 0 

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 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………... 

  c.  Tableau de variation 

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Fonction dérivée en Paléontologie : Modélisation des changements évolutionnaires

Les fonctions dérivées sont des outils mathématiques puissants utilisés dans divers domaines scientifiques, y compris la paléontologie, pour modéliser et analyser les changements évolutionnaires. La paléontologie, en tant que science qui étudie les fossiles pour comprendre les formes de vie passées et leur évolution, utilise des fonctions dérivées pour modéliser les taux de changement dans les caractéristiques biologiques et les populations au fil du temps. Cet essai explore comment les fonctions dérivées sont appliquées à l'étude des changements évolutionnaires, en se concentrant sur la modélisation des tendances évolutives, l'analyse des taux de diversification, et l'interprétation des données fossiles.

La modélisation des tendances évolutives implique souvent l'analyse des données temporelles pour identifier les modèles de changement dans les traits morphologiques ou génétiques d'une espèce. Par exemple, si x(t) représente une caractéristique morphologique d'une espèce à un moment donné t, la dérivée:

indique le taux de changement de cette caractéristique au fil du temps. Considérons un exemple où la taille corporelle moyenne d'une espèce de dinosaure est étudiée sur une période donnée. Si la taille corporelle moyenne suit un modèle exponentiel de croissance ou de décroissance, la fonction pourrait être modélisée par:

où x0​ est la taille initiale et k est le taux de croissance ou de décroissance. La dérivée de cette fonction est:

Cette dérivée montre comment la taille corporelle change à chaque instant, permettant aux paléontologues de quantifier les taux de changement et de comprendre les pressions évolutives qui pourraient avoir influencé ces changements.

Les fonctions dérivées sont également essentielles pour analyser les taux de diversification des espèces. La diversification évolutive, qui inclut la spéciation (formation de nouvelles espèces) et l'extinction, peut être modélisée en utilisant des équations différentielles pour décrire la dynamique des populations d'espèces au fil du temps. Si N(t) représente le nombre d'espèces à un moment donné t, la dérivée:

représente le taux de changement du nombre d'espèces. Un modèle simple pour la diversification, où s est le taux de spéciation et e est le taux d'extinction, peut être formulé comme suit:

Ce modèle montre que le taux de changement du nombre d'espèces dépend de la différence entre le taux de spéciation et le taux d'extinction. Si s > e, le nombre d'espèces augmente, indiquant une diversification nette, tandis que si e > s, le nombre d'espèces diminue, indiquant une extinction nette. La résolution de cette équation peut donner une fonction exponentielle de la forme:

où N0 est le nombre initial d'espèces. L'analyse de cette fonction et de sa dérivée aide les paléontologues à comprendre les périodes de diversification rapide ou d'extinction massive dans l'histoire évolutive.

L'interprétation des données fossiles est une autre application clé des fonctions dérivées en paléontologie. Les fossiles fournissent des enregistrements discrets des caractéristiques morphologiques des organismes passés à différents moments. En utilisant des dérivées, les paléontologues peuvent estimer les taux de changement entre ces points de données discrets. Par exemple, si xi représente une mesure morphologique à un temps ti et xi+1 représente la même mesure à un temps ti+1​, la dérivée discrète (ou différence finie) peut être approximée par:

​​

Cette approximation donne une estimation du taux de changement de la caractéristique morphologique entre deux moments dans le temps. En appliquant cette méthode à une série de fossiles, les paléontologues peuvent reconstruire les trajectoires évolutives des caractéristiques morphologiques et inférer les pressions sélectives qui ont agi sur les espèces.

Les fonctions dérivées sont également utilisées dans la modélisation des traits phénotypiques au fil du temps. Par exemple, dans l'étude des gradients de taille, les paléontologues peuvent utiliser des modèles dérivés pour comprendre comment les traits morphologiques évoluent sous différentes pressions sélectives. Si un trait morphologique suit une trajectoire évolutive influencée par la sélection naturelle, cette dynamique peut être modélisée par une équation différentielle de la forme:

où f(x,t) est une fonction qui décrit comment le trait x change en fonction du temps t et de ses propres valeurs antérieures. Cette fonction peut inclure des termes qui représentent des pressions sélectives, telles que la sélection stabilisante, directionnelle ou disruptive. Par exemple, pour un trait soumis à une sélection directionnelle constante, la fonction pourrait être:

où k est une constante représentant la force de la sélection et x0​ est la valeur optimale du trait. La résolution de cette équation montre comment le trait évolue vers sa valeur optimale sous l'influence de la sélection.

En outre, les fonctions dérivées sont utilisées pour modéliser les processus macroévolutifs, tels que les changements à grande échelle dans les structures écologiques et les interactions entre espèces. Par exemple, les modèles de coévolution, où deux ou plusieurs espèces évoluent en réponse mutuelle, peuvent être formulés en utilisant des systèmes d'équations différentielles. Si x(t) et y(t) représentent les traits évolutifs de deux espèces en interaction, les équations différentielles couplées peuvent être écrites comme suit:

où f et g sont des fonctions qui décrivent comment les traits des espèces changent en réponse aux traits de l'autre espèce et à leur propre état. Ces modèles permettent d'explorer des dynamiques complexes telles que les bras de course évolutifs (où chaque espèce développe des adaptations en réponse aux adaptations de l'autre) et les cycles prédateur-proie.

Un exemple concret de l'application des dérivées en paléontologie est l'étude des taux de croissance des organismes fossiles. En analysant les anneaux de croissance dans les os ou les coquilles fossilisées, les paléontologues peuvent estimer les taux de croissance en utilisant des dérivées. Si L(t) représente la longueur ou la taille d'un organisme à un moment donné, la dérivée:

fournit le taux de croissance. Un modèle typique de croissance sigmoïdale, tel que le modèle logistique, peut être exprimé par:

​​

où Lmax​ est la taille maximale, k est le taux de croissance, et t0​ est le temps auquel la croissance est la plus rapide. La dérivée de cette fonction est:

​

Cette dérivée décrit la vitesse de croissance à chaque instant, permettant aux paléontologues de reconstruire les trajectoires de croissance des organismes fossiles et de comparer les stratégies de croissance entre différentes espèces ou environnements.

En conclusion, les fonctions dérivées sont des outils mathématiques essentiels en paléontologie pour modéliser et analyser les changements évolutionnaires. En utilisant des dérivées pour étudier les taux de changement, les paléontologues peuvent mieux comprendre les dynamiques évolutives des caractéristiques morphologiques et des populations d'espèces. Les dérivées permettent également de modéliser les processus de diversification, d'interpréter les données fossiles, et de reconstruire les trajectoires évolutives. Grâce à ces outils mathématiques, la paléontologie peut fournir des insights précieux sur les mécanismes et les modèles de l'évolution, contribuant ainsi à une compréhension plus approfondie de l'histoire de la vie sur Terre.

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