Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 3 Exercice 1

Fonction dérivée : Sujet 

partie.3  Ex.1

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Tableau de variation sans graphique d'une fonction de 3ème degré :

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Etudie le sens de variation de la fonction ¦ définie sur l’intervalle [-10 ;10] par :

f (x) = 2x3 + 9x² - 60x + 4

a.    Calculer la dérivée  f’(x)  de la fonction :

f (x)= 2x3 + 9x² - 60x + 4

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 b.    Résoudre : Voir fiche d'aide 👉  Fiche d'aide 1

·    f’(x) = 0 

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c.  Calculer :

 f’(-5) = ……………….......................…….........................……………………………………

 f’(2) = ……………….......................…….........................……………………………………

Est ce normal qu'on trouve ce résultat?

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d.  Calculer :

 f(-10) = ………….......................…….........................……………………………………

  f(-5) = ……………….......................…….........................……………………………………

 f(2) = ……………….......................…….........................……………………………………

 f(10) = ……………….......................…….........................……………………………………

e.  Tableau de variation:                                     

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Fonction dérivée en Science des matériaux : Étude des propriétés des matériaux

Les fonctions dérivées jouent un rôle crucial en science des matériaux, en particulier pour l'étude des propriétés des matériaux. En utilisant des concepts mathématiques avancés, les chercheurs peuvent modéliser et prédire le comportement des matériaux sous diverses conditions. Cette analyse est essentielle pour développer de nouveaux matériaux et améliorer ceux existants. Les propriétés mécaniques, thermiques et électriques des matériaux peuvent toutes être explorées à l'aide de fonctions dérivées, permettant ainsi une compréhension approfondie de leur comportement.

Pour commencer, considérons l'application des fonctions dérivées à l'étude des propriétés mécaniques des matériaux. Les dérivées sont souvent utilisées pour analyser les déformations et les contraintes dans les matériaux. Par exemple, la loi de Hooke, qui décrit le comportement élastique des matériaux, utilise la dérivée de la déformation par rapport à la contrainte :

où σ est la contrainte, ϵ est la déformation, et E est le module de Young du matériau. La dérivée de la contrainte par rapport à la déformation donne le module de Young, qui est une mesure de la rigidité du matériau. En pratique, la relation entre contrainte et déformation peut être plus complexe, et l'utilisation de dérivées permet d'analyser les comportements non linéaires et viscoélastiques.

En science des matériaux, les propriétés mécaniques telles que la dureté, la ténacité et la résilience sont également étudiées à l'aide de dérivées. Par exemple, la ténacité d'un matériau, qui est une mesure de sa capacité à absorber de l'énergie avant de se fracturer, peut être déterminée en intégrant la courbe contrainte-déformation jusqu'à la rupture. La pente de cette courbe en tout point est la dérivée de la contrainte par rapport à la déformation, et l'analyse de cette dérivée fournit des informations sur les points de transition entre les différents régimes de déformation, comme l'élasticité, la plasticité et la rupture.

Passons aux propriétés thermiques des matériaux. Les fonctions dérivées sont essentielles pour modéliser la conductivité thermique et la capacité calorifique des matériaux. La loi de Fourier de la conduction thermique est une équation différentielle partielle qui utilise les dérivées pour décrire la distribution de la température dans un matériau. La loi est donnée par :

où T est la température, t est le temps, et α est la diffusivité thermique du matériau. Cette équation montre comment les dérivées secondes de la température par rapport à l'espace (représentées par le laplacien ∇²T) déterminent la distribution de la température au fil du temps.

Les propriétés thermiques des matériaux, telles que la conductivité thermique, peuvent également être déterminées expérimentalement en utilisant des techniques de dérivation. Par exemple, la méthode du fil chaud implique de mesurer la température en fonction du temps après avoir appliqué une impulsion de chaleur. La pente de la courbe de température en fonction du logarithme du temps est proportionnelle à la conductivité thermique du matériau. De cette manière, les fonctions dérivées permettent d'extraire des informations cruciales sur la manière dont les matériaux conduisent la chaleur.

En ce qui concerne les propriétés électriques des matériaux, les dérivées jouent également un rôle crucial. La loi d'Ohm, qui décrit la relation entre le courant, la tension et la résistance, peut être étendue pour analyser les matériaux avec des comportements électriques non linéaires. Par exemple, pour les matériaux semi-conducteurs, la relation entre le courant et la tension peut être décrite par une équation exponentielle :

où I est le courant, V est la tension, I0​ est le courant de saturation inverse, q est la charge de l'électron, k est la constante de Boltzmann, et T est la température. La dérivée de cette équation par rapport à la tension donne la conductance différentielle, qui est une mesure de la réponse du matériau à des variations de la tension. Cette analyse est cruciale pour le développement de dispositifs électroniques tels que les diodes et les transistors.

Un autre exemple d'application des dérivées en science des matériaux est l'étude des transitions de phase. Les matériaux peuvent changer de phase en réponse à des variations de température, de pression ou d'autres conditions externes. Ces transitions de phase sont souvent caractérisées par des discontinuités dans les propriétés physiques du matériau, telles que la chaleur spécifique ou la conductivité thermique. Les dérivées de ces propriétés par rapport à la température peuvent révéler des points critiques où ces transitions se produisent. Par exemple, la capacité calorifique 

$C$

 d'un matériau, qui est la dérivée de l'énergie interne par rapport à la température, montre des pics caractéristiques à des températures de transition de phase.

Les fonctions dérivées sont également essentielles pour modéliser la diffusion des espèces chimiques dans les matériaux. L'équation de diffusion de Fick est une équation différentielle partielle qui décrit la diffusion des particules dans un matériau :

où C est la concentration des particules, t est le temps, et D est le coefficient de diffusion. Les dérivées secondes de la concentration par rapport à l'espace (représentées par le laplacien ∇²C) déterminent comment la concentration des particules évolue dans le matériau au fil du temps. Cette analyse est cruciale pour comprendre des phénomènes tels que la corrosion, la diffusion des dopants dans les semi-conducteurs et la diffusion des impuretés dans les matériaux métalliques.

En science des matériaux, les techniques de caractérisation avancées utilisent également des concepts de dérivées. Par exemple, la microscopie à force atomique (AFM) et la microscopie électronique à balayage (SEM) fournissent des images détaillées de la surface des matériaux. L'analyse des dérivées des profils de surface obtenus permet de quantifier la rugosité et les imperfections de la surface. Cette information est cruciale pour des applications telles que le polissage de surface, l'adhésion des revêtements et la performance tribologique des matériaux.

Les fonctions dérivées sont également utilisées pour modéliser les comportements des matériaux sous des charges dynamiques. La théorie de la dynamique des structures utilise des équations différentielles pour décrire les vibrations et les ondes de contrainte dans les matériaux. Par exemple, l'équation de l'onde, qui décrit la propagation des ondes de contrainte dans un matériau, est donnée par :

où u est le déplacement, t est le temps, et v est la vitesse de propagation des ondes. Cette équation montre comment les dérivées secondes du déplacement par rapport au temps et à l'espace déterminent la propagation des ondes dans le matériau.

En résumé, les fonctions dérivées sont des outils mathématiques puissants et indispensables en science des matériaux. Elles permettent de modéliser et d'analyser les propriétés mécaniques, thermiques et électriques des matériaux, de comprendre les transitions de phase et de décrire la diffusion des espèces chimiques. Les dérivées jouent également un rôle crucial dans les techniques de caractérisation avancées et dans la modélisation des comportements des matériaux sous des charges dynamiques. Grâce à ces outils, les chercheurs peuvent développer de nouveaux matériaux avec des propriétés optimisées pour des applications spécifiques, améliorant ainsi les technologies et les produits que nous utilisons au quotidien.

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