Maths Terminal Bac Pro
Fonction dérivée : Partie 3 Exercice 10
Fonction dérivée : Sujet
partie.3 Ex.10
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Tableau de variation sans graphique d'une fonction de 3ème degré :
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Etudie le sens de variation de la fonction ¦ définie sur l’intervalle [0 ; 10 ] par :
f (x) = -6x3 - 9x² - 18x + 10
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b. Résoudre : Voir fiche d'aide 👉 Fiche d'aide 1
· f’(x) = 0
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f(10) = ……………….......................…….........................……………………………………
e. Tableau de variation:
..............................................................................................................Voir Cours 👉 Cours à trous 👉 Cours complétéVoir Fiche d'aide 👉 Fiche d'aide Voir correction partie 3 Ex.10 👉 Correction partie.3 Ex10Revenir à la page de choix de l'exercice 👉 Choix d'un exercice
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Fonction dérivée en Planétologie : Étude des planètes, processus géologiques planétaires
La planétologie, ou science des planètes, est une discipline qui étudie les planètes, leurs lunes et autres objets célestes du système solaire et au-delà. Les fonctions dérivées jouent un rôle crucial dans l'analyse et la modélisation des processus géologiques planétaires. Elles permettent de quantifier les taux de changement et de comprendre les mécanismes dynamiques à l'œuvre sur différentes planètes. Cet article explore comment les dérivées sont utilisées en planétologie pour étudier les processus géologiques planétaires, avec des exemples et quelques formules mathématiques pertinentes.
Les planètes présentent une diversité impressionnante de caractéristiques géologiques, notamment des volcans, des canyons, des cratères d'impact et des plaines de lave. Les dérivées permettent de modéliser ces processus et de comprendre comment ils évoluent dans le temps et l'espace.
Ces dérivées permettent de comprendre comment la surface d'une planète varie et de modéliser les processus d'érosion et de sédimentation qui modifient cette surface.
La formation des volcans et des plaines de lave est un autre processus géologique important. La dérivée de la hauteur de la lave par rapport au temps permet de modéliser le taux d'accumulation de la lave sur la surface d'une planète :
où R est le taux d'accumulation de la lave. Cette équation permet de comprendre comment les volcans se forment et évoluent avec le temps.
Les cratères d'impact sont des caractéristiques géologiques courantes sur de nombreuses planètes et lunes. La formation d'un cratère d'impact peut être modélisée en utilisant la dérivée de l'énergie d'impact par rapport à la distance du point d'impact :
La tectonique des plaques est un processus clé sur Terre et peut également se produire sur d'autres planètes. La dérivée de la position d'une plaque tectonique par rapport au temps permet de modéliser le mouvement des plaques :
où x est la position de la plaque et v est la vitesse de déplacement. Cette équation est fondamentale pour comprendre la dynamique interne des planètes et comment elles évoluent géologiquement.
Les processus d'érosion, similaires à ceux sur Terre, se produisent également sur d'autres planètes, en particulier celles avec des atmosphères significatives, comme Mars. La dérivée de l'altitude par rapport à la distance permet de modéliser les taux d'érosion causés par le vent, l'eau ou d'autres agents érosifs :
où E est le taux d'érosion. Cette équation est utilisée pour comprendre comment les paysages planétaires sont modifiés par les processus érosifs.
La modélisation des dunes sur des planètes comme Mars et Titan utilise également des dérivées pour comprendre les mouvements de sable. La dérivée de la hauteur de la dune par rapport au temps permet de modéliser la migration des dunes sous l'effet du vent :
où Q est le flux de sable transporté par le vent. Cette équation aide à prédire comment les champs de dunes évoluent au fil du temps.
Les calottes glaciaires sur Mars et certaines lunes de Jupiter et Saturne peuvent être modélisées en utilisant des dérivées pour comprendre leur croissance et leur régression. La dérivée de l'épaisseur de la glace par rapport au temps permet de modéliser les changements de volume des calottes glaciaires :
où A est le taux d'accumulation de la neige/glace et M est le taux de fonte. Cette équation aide à comprendre les dynamiques des glaces sur d'autres corps planétaires.
Les données topographiques obtenues par des missions spatiales telles que Mars Reconnaissance Orbiter (MRO), Cassini, et les missions de la NASA vers la Lune fournissent des informations précises sur les surfaces planétaires. Ces données sont souvent analysées en utilisant des dérivées pour calculer les pentes, les courbures et d'autres paramètres géomorphologiques. Par exemple, les systèmes d'information géographique (SIG) utilisent des dérivées pour analyser les données topographiques et modéliser les processus géologiques.
La modélisation numérique des processus géologiques planétaires utilise des équations différentielles partielles pour simuler l'évolution de la surface des planètes. L'équation de diffusion de la pente est un exemple courant utilisé pour modéliser l'érosion et la sédimentation sur les surfaces planétaires :
où D est le coefficient de diffusion et ∇²h est le laplacien de l'altitude. Cette équation aide à comprendre comment les paysages planétaires évoluent au fil du temps sous l'effet de divers processus géologiques.
La planétologie quantitative utilise également des dérivées pour modéliser les interactions entre les processus géologiques et atmosphériques. Par exemple, les modèles climatiques planétaires intègrent des dérivées pour représenter les interactions entre l'atmosphère et la surface, influençant ainsi les processus d'érosion et de sédimentation.
Les études de la dynamique interne des planètes, telles que le mouvement du magma et les tremblements de terre, utilisent également des dérivées pour modéliser ces phénomènes. La dérivée de la pression par rapport à la profondeur permet de comprendre comment la pression change à l'intérieur d'une planète et comment cela influence les processus géologiques internes :
où P est la pression, z est la profondeur, ρ est la densité du matériau, et g est l'accélération due à la gravité. Cette équation est essentielle pour comprendre les dynamiques internes des planètes et des lunes.
En conclusion, les fonctions dérivées jouent un rôle crucial en planétologie pour modéliser et comprendre les processus géologiques sur différentes planètes et lunes. Elles permettent de quantifier les taux de changement, de modéliser les interactions complexes entre les processus géologiques et atmosphériques, et de prédire l'évolution des surfaces planétaires. En utilisant les dérivées dans les études planétologiques, les chercheurs peuvent mieux comprendre les mécanismes dynamiques qui façonnent les planètes et développer des modèles précis pour prédire leur évolution future. Les dérivées sont donc des outils essentiels pour l'analyse et la modélisation des processus géologiques planétaires.