Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 3 Exercice 2

Fonction dérivée : Sujet 

partie.3  Ex.2

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Tableau de variation sans graphique d'une fonction de 3ème degré :

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Etudie le sens de variation de la fonction ¦ définie sur l’intervalle [-10 ;10] par :

f (x) = -3x3 + 36x  + 9

a.    Calculer la dérivée  f’(x)  de la fonction :

f (x)= -3x3 + 36x  + 9

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 b.    Résoudre : Voir fiche d'aide 👉  Fiche d'aide 1

·    f’(x) = 0 

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c.  Calculer :

 f’(-2) = ……………….......................…….........................……………………………………

 f’(2) = ……………….......................…….........................……………………………………

Est ce normal qu'on trouve ce résultat?

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d.  Calculer :

 f(-10) = ………….......................…….........................……………………………………

  f(-2) = ……………….......................…….........................……………………………………

 f(2) = ……………….......................…….........................……………………………………

 f(10) = ……………….......................…….........................……………………………………

e.  Tableau de variation:                                     

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Fonction dérivée en Agronomie forestière : Croissance des forêts, gestion des ressources forestières

La fonction dérivée est un concept mathématique essentiel utilisé en agronomie forestière pour modéliser la croissance des forêts et gérer les ressources forestières de manière durable. Les dérivées permettent de quantifier les taux de changement dans divers processus écologiques et de gestion, fournissant des outils puissants pour les chercheurs et les gestionnaires forestiers. Ce texte explore comment les fonctions dérivées sont appliquées à divers aspects de la croissance des forêts et de la gestion des ressources forestières, en utilisant des formules mathématiques pertinentes pour illustrer ces applications.

La modélisation de la croissance des arbres est une application clé des dérivées en agronomie forestière. Les arbres croissent en hauteur, en diamètre et en volume, et cette croissance peut être décrite par des équations différentielles qui expriment les taux de croissance en fonction du temps et d'autres variables environnementales. Par exemple, la croissance en hauteur d'un arbre peut être modélisée par l'équation de croissance logistique :

où $H$ est la hauteur de l'arbre, $r$ est le taux de croissance intrinsèque, et $K$ est la hauteur maximale asymptotique que l'arbre peut atteindre. Cette équation montre que le taux de croissance de l'arbre diminue à mesure qu'il approche de sa hauteur maximale. En intégrant cette équation, on obtient une courbe de croissance qui peut être utilisée pour prédire la hauteur future de l'arbre en fonction du temps.

Un autre modèle couramment utilisé pour décrire la croissance des arbres est le modèle de croissance de von Bertalanffy, souvent appliqué pour modéliser la croissance en volume des arbres :

où $V$ est le volume de l'arbre, $k$ est un coefficient de croissance, et $V_{\mathrm{\infty }}$ est le volume asymptotique. Cette équation montre que le taux de croissance en volume est proportionnel à la différence entre le volume actuel et le volume asymptotique. En utilisant ce modèle, les forestiers peuvent estimer la production de bois et planifier les opérations de récolte.

Les dérivées sont également cruciales pour la gestion des ressources forestières. La modélisation des écosystèmes forestiers implique souvent des équations différentielles pour décrire la dynamique de la biomasse forestière, la régénération des arbres et les interactions entre les espèces. Par exemple, un modèle de dynamique de la biomasse peut être décrit par :

où $B$ est la biomasse forestière, $P$ est la production primaire nette, $R$ est la respiration des arbres, et $H$ est la biomasse récoltée. Cette équation permet de comprendre comment la biomasse change au fil du temps en fonction des processus de croissance, de respiration et de récolte. En analysant ces dérivées, les gestionnaires forestiers peuvent évaluer l'impact des pratiques de gestion sur la biomasse forestière et ajuster les stratégies pour maintenir la durabilité des forêts.

L'optimisation des pratiques de gestion forestière, telles que la détermination des rotations de coupe et l'allocation des ressources, repose également sur l'utilisation des dérivées. Par exemple, la maximisation du rendement soutenu des forêts peut être formulée comme un problème d'optimisation où l'objectif est de maximiser le volume de bois récolté tout en assurant la régénération et la santé de la forêt. La fonction objectif peut être représentée par :

sous les contraintes décrites par des équations différentielles de la dynamique forestière. En utilisant les techniques de dérivées, on peut trouver les points optimaux où la récolte doit être effectuée pour maximiser le rendement sur une période donnée.

Les dérivées jouent également un rôle crucial dans la modélisation de l'impact des facteurs environnementaux sur la croissance des forêts. Par exemple, l'effet du changement climatique sur les forêts peut être étudié en incorporant des variables climatiques telles que la température et les précipitations dans les modèles de croissance des arbres. Un modèle de croissance dépendant de la température pourrait être formulé comme suit :

où $G$ est la croissance, $r$ est le taux de croissance qui dépend de la température $T$, et $K$ est la capacité de charge. En analysant cette équation, les chercheurs peuvent évaluer comment les variations de température influencent le taux de croissance et ajuster les stratégies de gestion en conséquence.

En agronomie forestière, les dérivées sont également utilisées pour modéliser la dynamique des populations d'animaux forestiers. Les interactions entre les arbres et les populations animales, telles que les herbivores, peuvent être décrites par des équations différentielles couplées. Par exemple, le modèle proie-prédateur de Lotka-Volterra peut être adapté pour décrire la dynamique entre les populations d'herbivores et la biomasse forestière :

où $B$ est la biomasse forestière, $H$ est la population d'herbivores, $r$ est le taux de croissance de la biomasse, $K$ est la capacité de charge, $a$ est le taux de consommation de biomasse par les herbivores, $b$ est le taux de conversion de la biomasse en population d'herbivores, et $m$ est le taux de mortalité des herbivores. En utilisant ces équations, les chercheurs peuvent comprendre comment les populations d'herbivores affectent la croissance forestière et vice versa, et élaborer des stratégies pour maintenir l'équilibre écologique.

Les fonctions dérivées sont également employées pour analyser les impacts des pratiques de sylviculture, telles que l'éclaircie et la coupe sélective, sur la croissance des forêts. Par exemple, l'effet de l'éclaircie sur la croissance des arbres résiduels peut être modélisé en ajustant les paramètres de croissance dans les équations différentielles de la croissance des arbres. Un modèle simple pourrait être :

où $r(H,D)$ est un taux de croissance qui dépend de la hauteur $H$ et de la densité $D$ de la forêt. En analysant les dérivées de cette équation, les forestiers peuvent déterminer les niveaux optimaux d'éclaircie pour maximiser la croissance des arbres résiduels tout en assurant la santé et la régénération de la forêt.

Les fonctions dérivées sont également essentielles pour modéliser les processus de régénération naturelle des forêts. La dynamique de la régénération peut être décrite par des équations différentielles qui tiennent compte de la germination des graines, de la survie des plantules et de la croissance des jeunes arbres. Un modèle simple de régénération pourrait être :

où $R$ est la densité des plantules, $s$ est le taux de germination, et $d$ est le taux de mortalité. En utilisant cette équation, les forestiers peuvent évaluer les taux de régénération naturelle et ajuster les pratiques de gestion, telles que la scarification du sol et la protection des plantules, pour favoriser la régénération.

Les fonctions dérivées sont également utilisées pour modéliser les impacts des perturbations, telles que les incendies de forêt, les tempêtes et les infestations d'insectes, sur la croissance et la dynamique des forêts. Les modèles de perturbation intègrent souvent des termes de dérivée pour représenter les effets immédiats et à long terme des perturbations sur la biomasse et la structure de la forêt. Par exemple, l'impact d'un incendie de forêt sur la biomasse peut être modélisé par :

où $\alpha$ est le taux de perte de biomasse due à l'incendie. En analysant ces modèles, les gestionnaires forestiers peuvent développer des stratégies de restauration et de prévention des perturbations pour minimiser les impacts négatifs sur les forêts.

Les fonctions dérivées jouent également un rôle dans l'étude des flux de nutriments et de l'eau dans les écosystèmes forestiers. Par exemple, la dynamique de l'eau dans le sol et sa disponibilité pour les arbres peut être modélisée en utilisant des équations différentielles qui décrivent l'infiltration, la percolation et l'évapotranspiration. Une équation simple pour le bilan hydrique du sol pourrait être :

où $W$ est le contenu en eau du sol, $I$ est l'infiltration, $E$ est l'évapotranspiration, et $P$ est la percolation. En utilisant cette équation, les gestionnaires peuvent évaluer la disponibilité en eau pour la croissance des arbres et planifier des interventions, telles que l'irrigation ou la gestion des sols, pour améliorer la santé des forêts.

Les dérivées sont également utilisées pour étudier la dispersion des graines et la colonisation des espaces forestiers. La dispersion des graines peut être modélisée en utilisant des équations différentielles qui décrivent les taux de dispersion en fonction des distances et des conditions environnementales. Par exemple, un modèle de dispersion des graines pourrait être formulé comme suit :

où $N$ est la densité des graines, $D$ est le coefficient de dispersion, et $\mu$ est le taux de mortalité des graines. En analysant cette équation, les chercheurs peuvent comprendre comment les graines se dispersent dans l'environnement et comment les conditions environnementales influencent la colonisation des espaces forestiers.

En conclusion, les fonctions dérivées sont des outils mathématiques essentiels en agronomie forestière pour la modélisation de la croissance des forêts et la gestion des ressources forestières. Elles permettent de quantifier les taux de changement dans divers processus écologiques et de gestion, fournissant des informations cruciales pour les chercheurs et les gestionnaires forestiers. En utilisant des équations différentielles pour modéliser la croissance des arbres, la dynamique des populations animales, l'impact des perturbations et les flux de nutriments et d'eau, les forestiers peuvent développer des stratégies efficaces pour la gestion et la conservation des ressources forestières. Grâce à ces analyses, il est possible de maintenir la santé et la productivité des écosystèmes forestiers tout en assurant leur durabilité à long terme.

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