Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 3 Exercice 3

Fonction dérivée : Sujet 

partie.3  Ex.3

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Tableau de variation sans graphique d'une fonction de 3ème degré :

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Etudie le sens de variation de la fonction ¦ définie sur l’intervalle [-6 ; 6] par :

f (x) = x3 - 6x²  + 4

a.    Calculer la dérivée  f’(x)  de la fonction :

f (x)= x3 - 6x²  + 4

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 b.    Résoudre : Voir fiche d'aide 👉  Fiche d'aide 1

·    f’(x) = 0 

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c.  Calculer :

 f’(0) = ……………….......................…….........................……………………………………

 f’(4) = ……………….......................…….........................……………………………………

Est ce normal qu'on trouve ce résultat?

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d.  Calculer :

 f(-6) = ………….......................…….........................……………………………………

  f(0) = ……………….......................…….........................……………………………………

 f(4) = ……………….......................…….........................……………………………………

 f(6) = ……………….......................…….........................……………………………………

e.  Tableau de variation:                                     

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Fonction dérivée en Botanique : Croissance des plantes, physiologie végétale

Les fonctions dérivées jouent un rôle central en botanique pour comprendre la croissance des plantes et la physiologie végétale. Ces outils mathématiques permettent d'analyser et de modéliser les taux de changement dans divers processus biologiques, fournissant des informations cruciales pour la recherche et la gestion des écosystèmes végétaux. Ce texte explore comment les fonctions dérivées sont utilisées pour étudier la croissance des plantes et la physiologie végétale, en incluant quelques formules mathématiques pertinentes pour illustrer ces applications.

Les fonctions dérivées sont essentielles pour modéliser la croissance des plantes. La croissance peut être analysée en termes de taux de croissance relative (RGR), qui est le changement de la biomasse de la plante par unité de temps et de biomasse initiale. La RGR peut être exprimée par la dérivée de la biomasse W par rapport au temps t :

​

Cette équation montre comment la biomasse de la plante change au fil du temps, et permet de comparer les taux de croissance de différentes plantes ou de différentes conditions de croissance.

Un autre modèle clé en botanique est le modèle de croissance exponentielle, utilisé pour décrire la phase initiale de la croissance des plantes lorsqu'elles disposent de ressources abondantes. Ce modèle peut être exprimé par l'équation différentielle suivante :

où r est le taux de croissance exponentielle. Cette équation indique que le taux de changement de la biomasse est proportionnel à la biomasse actuelle. En intégrant cette équation, on obtient une expression pour la biomasse en fonction du temps :

où W0 est la biomasse initiale. Cette formule permet de prédire la biomasse d'une plante à tout moment donné, en fonction de son taux de croissance exponentielle.

Pour modéliser la croissance des plantes à long terme, on utilise souvent le modèle de croissance logistique, qui prend en compte les limitations des ressources. Ce modèle est décrit par l'équation différentielle suivante :

où K est la capacité de charge, ou la biomasse maximale que l'environnement peut soutenir. Cette équation montre que le taux de croissance diminue à mesure que la biomasse approche de la capacité de charge, conduisant à une croissance en forme de sigmoïde.

Les dérivées sont également utilisées pour modéliser la photosynthèse, le processus par lequel les plantes convertissent la lumière en énergie chimique. Le modèle de Michaelis-Menten, couramment utilisé en enzymologie, est appliqué pour décrire la relation entre l'intensité lumineuse I et le taux de photosynthèse P :

​

où Pmax est le taux de photosynthèse maximal et Km​ est la constante de demi-saturation. La dérivée de cette fonction par rapport à I permet de déterminer comment le taux de photosynthèse change en réponse à des variations d'intensité lumineuse, ce qui est crucial pour optimiser les conditions de croissance des plantes.

En physiologie végétale, les dérivées sont utilisées pour étudier le transport des nutriments et de l'eau dans les plantes. Le modèle de transpiration de Darcy, basé sur la loi de Darcy, décrit le flux d'eau à travers le xylème d'une plante :

​

où J est le flux d'eau, K est la conductivité hydraulique, ψ est le potentiel hydrique, et x est la distance. Cette équation montre que le flux d'eau est proportionnel au gradient de potentiel hydrique, et permet de quantifier comment les variations du potentiel hydrique affectent le transport de l'eau dans les plantes.

Les dérivées sont également utilisées pour modéliser la dynamique des nutriments dans le sol et leur absorption par les racines des plantes. Le modèle de diffusion-réaction décrit la concentration des nutriments C en fonction du temps t et de la distance x :

où D est le coefficient de diffusion et ρ est le taux d'absorption des nutriments par les racines. Cette équation montre comment la concentration des nutriments change dans le temps et l'espace, et permet d'analyser l'efficacité de l'absorption des nutriments par les plantes.

En botanique, les dérivées sont également utilisées pour étudier les réponses des plantes aux stimuli environnementaux, tels que la lumière, la gravité et les variations de température. Par exemple, le phototropisme, la croissance directionnelle des plantes en réponse à la lumière, peut être modélisé en utilisant des équations différentielles pour décrire la distribution et l'action des hormones végétales comme l'auxine. Le modèle de transport de l'auxine peut être exprimé par :

où A est la concentration d'auxine, D est le coefficient de diffusion, et k$k$ est le taux de dégradation de l'auxine. En analysant cette équation, les chercheurs peuvent comprendre comment la distribution de l'auxine influence la croissance directionnelle des plantes.

Les fonctions dérivées sont également utilisées pour modéliser les interactions entre plantes et leurs réponses aux compétitions pour les ressources. Le modèle de Lotka-Volterra pour la compétition entre espèces est souvent utilisé pour décrire ces interactions :

où N1​ et N2​ sont les populations de deux espèces en compétition, r1​ et r2​ sont leurs taux de croissance respectifs, K1​ et K2​ sont leurs capacités de charge respectives, et α et β sont les coefficients de compétition. Ces équations permettent d’analyser comment la compétition pour les ressources affecte la croissance et la survie des espèces végétales.

En conclusion, les fonctions dérivées sont des outils mathématiques essentiels en botanique pour modéliser et analyser la croissance des plantes et la physiologie végétale. Elles permettent de quantifier les taux de changement dans divers processus biologiques, fournissant des informations cruciales pour les chercheurs et les gestionnaires des écosystèmes végétaux. En utilisant des équations différentielles pour modéliser la croissance des plantes, la photosynthèse, le transport de l'eau et des nutriments, les réponses aux stimuli environnementaux et les interactions entre plantes, les botanistes peuvent développer des stratégies efficaces pour la gestion et la conservation des ressources végétales. Grâce à ces analyses, il est possible de maintenir la santé et la productivité des écosystèmes végétaux tout en assurant leur durabilité à long terme.

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