Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

   Fonction dérivée  : Sujet partie.3 Ex4 

Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Sujet 

partie.3  Ex.4

.............................................................................................................................................................

Tableau de variation sans graphique d'une fonction de 3ème degré :

..............................................................................................................................................................

Etudie le sens de variation de la fonction ¦ définie sur l’intervalle [-10 ; 0 ] par :

f (x) = -2x3 - 15x² - 36x + 3

a.    Calculer la dérivée  f’(x)  de la fonction :

f (x) = -2x3 - 15x² - 36x + 3

 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

 b.    Résoudre : Voir fiche d'aide 👉  Fiche d'aide 1

·    f’(x) = 0 

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………...  

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………...  

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

c.  Calculer :

 f’(-3) = ……………….......................…….........................……………………………………

 f’(-2) = ……………….......................…….........................……………………………………

Est ce normal qu'on trouve ce résultat?

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

d.  Calculer :

 f(-10) = ………….......................…….........................……………………………………

  f(-3) = ……………….......................…….........................……………………………………

 f(-2) = ……………….......................…….........................……………………………………

 f(0) = ……………….......................…….........................……………………………………

e.  Tableau de variation:                                     

..............................................................................................................

Voir  Cours    👉 Cours à trous      👉  Cours complété

Voir  Fiche d'aide    👉 Fiche d'aide 

Voir correction partie 3 Ex.4    👉 Correction partie.3 Ex4

Revenir à la page de choix de l'exercice   👉 Choix d'un exercice

Passer à la partie 3 Ex.5   👉   Sujet partie 3 Ex5

..............................................................................................................

Fonction dérivée en Virologie : Propagation des virus, efficacité des vaccins

Les fonctions dérivées sont des outils mathématiques essentiels en virologie, une science qui étudie les virus et leurs interactions avec les organismes hôtes. Elles permettent de modéliser la propagation des virus, d'analyser l'efficacité des vaccins et de prévoir les dynamiques d'épidémies. Ce texte explore l'application des fonctions dérivées en virologie, en intégrant quelques formules mathématiques pour illustrer ces concepts.

En virologie, la modélisation de la propagation des virus commence souvent par des équations différentielles simples qui décrivent les dynamiques d'infection au sein d'une population. Le modèle SIR (Susceptible-Infectious-Recovered) est l'un des plus couramment utilisés. Il divise la population en trois compartiments : les individus susceptibles (S), les individus infectés (I) et les individus récupérés (R). Les équations différentielles qui décrivent ce modèle sont les suivantes :

où β est le taux de transmission du virus et γ est le taux de récupération. Ces équations montrent comment la population passe d'un état à un autre, modélisant ainsi la propagation du virus dans la population.

Le terme βSI représente le nombre de nouvelles infections par unité de temps, où β est la probabilité de transmission du virus lors d'un contact entre un individu susceptible et un individu infecté. Le terme γI représente le nombre d'individus infectés qui se rétablissent par unité de temps. En résolvant ces équations, on peut obtenir des courbes épidémiques qui montrent l'évolution des trois compartiments au cours du temps.

Un concept clé en épidémiologie virale est le nombre de reproduction de base R0​, qui représente le nombre moyen de nouveaux cas générés par un cas infectieux dans une population totalement susceptible. Il est défini comme :

​

Si R0>1, l'infection peut se propager dans la population. Si R0<1, l'infection finira par disparaître. En utilisant les dérivées pour analyser R0, les épidémiologistes peuvent prévoir la potentialité d'une épidémie et élaborer des stratégies de contrôle.

Les fonctions dérivées sont également utilisées pour évaluer l'efficacité des vaccins. Lorsqu'un vaccin est introduit dans une population, il réduit le nombre d'individus susceptibles en augmentant le nombre d'individus immunisés. Cela peut être incorporé dans le modèle SIR en ajoutant un nouveau compartiment pour les individus vaccinés (V). Les équations différentielles deviennent alors :

où ν est le taux de vaccination. Le terme νS représente le nombre de nouveaux individus vaccinés par unité de temps. En intégrant ces équations, on peut analyser l'impact de la vaccination sur la propagation du virus et déterminer le seuil de couverture vaccinale nécessaire pour atteindre l'immunité collective, c'est-à-dire le point où une proportion suffisante de la population est immunisée pour prévenir la propagation du virus.

En plus de la modélisation de la propagation virale, les fonctions dérivées sont utilisées pour étudier les réponses immunitaires des hôtes. Par exemple, la dynamique de la charge virale (la quantité de virus dans le corps) peut être modélisée par des équations différentielles. Un modèle simple pour la charge virale V et la population de cellules cibles T est :

où λ est le taux de production des cellules cibles, δ est le taux de mortalité des cellules cibles, β est le taux d'infection des cellules cibles par le virus, p est le taux de production de nouveaux virions par les cellules infectées, et c est le taux de clairance des virions. Ces équations montrent comment les interactions entre le virus et les cellules cibles influencent la charge virale au fil du temps.

Les fonctions dérivées permettent également de modéliser les mutations virales et l'émergence de souches résistantes. Par exemple, si un virus peut muter pour échapper à la réponse immunitaire ou à un traitement antiviral, on peut ajouter des termes à l'équation différentielle pour représenter ces mutations. Un modèle simple avec deux souches virales (sensible et résistante) pourrait inclure des termes comme :

​

où Vs et Vr sont les charges virales des souches sensible et résistante respectivement, ps​ et pr​ sont les taux de production de virions des souches sensible et résistante, cs​ et cr​ sont les taux de clairance, et μ

μ est le taux de mutation de la souche sensible vers la souche résistante. Ces équations aident à comprendre comment les mutations affectent la dynamique virale et la propagation des souches résistantes.

En virologie, les fonctions dérivées sont également utilisées pour modéliser la transmission interhumaine et zoonotique (entre animaux et humains). Les modèles mathématiques peuvent inclure des termes pour différentes voies de transmission et des réservoirs animaux. Par exemple, dans le cas d'un virus zoonotique, on peut utiliser un modèle multi-hôtes avec des équations différentielles pour chaque espèce impliquée :

​

où les indices h et a se réfèrent respectivement aux hôtes humains et animaux. Les termes βha​ et βah​ représentent les taux de transmission entre les humains et les animaux. Ces modèles permettent de comprendre les dynamiques complexes de transmission et d'élaborer des stratégies de prévention efficaces.

Enfin, les fonctions dérivées sont essentielles pour analyser les données épidémiologiques et ajuster les modèles aux observations réelles. Par exemple, les méthodes d'estimation des paramètres, telles que la régression non linéaire et les filtres de Kalman, utilisent des dérivées pour optimiser les modèles et améliorer leurs prédictions. En ajustant les modèles aux données de surveillance, les épidémiologistes peuvent estimer des paramètres clés comme le taux de transmission, le taux de récupération et l'efficacité des interventions.

En conclusion, les fonctions dérivées sont des outils mathématiques puissants en virologie pour modéliser la propagation des virus, évaluer l'efficacité des vaccins, analyser les dynamiques de la charge virale, étudier les mutations et la résistance, et comprendre la transmission interhumaine et zoonotique. En utilisant des équations différentielles pour représenter ces processus complexes, les virologistes peuvent mieux comprendre les épidémies virales et élaborer des stratégies de contrôle et de prévention efficaces. Ces analyses mathématiques contribuent à une meilleure gestion des maladies virales et à la protection de la santé publique.

..............................................................................................................

Voir  Cours    👉 Cours à trous      👉  Cours complété

Voir  Fiche d'aide    👉 Fiche d'aide 

Voir correction partie 3 Ex.4    👉 Correction partie.3 Ex4

Revenir à la page de choix de l'exercice   👉 Choix d'un exercice

Passer à la partie 3 Ex.5   👉   Sujet partie 3 Ex5

..............................................................................................................

Modifier l'article