Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 3 Exercice 5

Fonction dérivée : Sujet 

partie.3  Ex.5

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Tableau de variation sans graphique d'une fonction de 3ème degré :

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Etudie le sens de variation de la fonction ¦ définie sur l’intervalle [-5 ; 5 ] par :

f (x) = 2x3 - 12x² + 24x + 1

a.    Calculer la dérivée  f’(x)  de la fonction :

f (x) = 2x3 - 12x² + 24x + 1

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 b.    Résoudre : Voir fiche d'aide 👉  Fiche d'aide 1

·    f’(x) = 0 

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 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………...  

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c.  Calculer :

 f’(2) = ……………….......................…….........................……………………………………

 Est ce normal qu'on trouve ce résultat?

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d.  Calculer :

 f(-5) = ………….......................…….........................……………………………………

  f(2) = ……………….......................…….........................……………………………………

 f(5) = ……………….......................…….........................……………………………………

 

e.  Tableau de variation:                                     

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Fonction dérivée en Épidémiologie : Modélisation des épidémies, prévisions des pandémies

Les fonctions dérivées sont des outils mathématiques essentiels en épidémiologie, jouant un rôle crucial dans la modélisation des épidémies et la prévision des pandémies. En permettant de quantifier les taux de changement dans les populations infectées, les fonctions dérivées aident les épidémiologistes à comprendre la dynamique de propagation des maladies infectieuses et à élaborer des stratégies de contrôle efficaces. Ce texte explore ces applications en intégrant quelques formules mathématiques pour illustrer les concepts fondamentaux.

La modélisation des épidémies commence souvent par les modèles SIR (Susceptibles-Infectés-Récupérés), qui sont basés sur des équations différentielles pour décrire la dynamique de transmission des maladies infectieuses. Le modèle SIR divise la population totale en trois catégories : susceptibles (S), infectés (I) et récupérés (R). Les équations différentielles suivantes décrivent les taux de changement dans chaque catégorie :

où β est le taux de transmission et γ est le taux de récupération. La première équation montre que le nombre de personnes susceptibles diminue à un taux proportionnel au nombre de personnes susceptibles et infectées. La deuxième équation indique que le nombre d'infectés augmente à un taux proportionnel au nombre de personnes susceptibles et infectées, mais diminue à un taux proportionnel au nombre d'infectés qui récupèrent. La troisième équation montre que le nombre de récupérés augmente à un taux proportionnel au nombre d'infectés.

Ces équations peuvent être résolues numériquement pour prédire la propagation d'une maladie dans une population au fil du temps. En utilisant des données épidémiologiques réelles pour estimer les paramètres β et γ, les épidémiologistes peuvent simuler différents scénarios de propagation et évaluer l'impact des interventions, telles que la vaccination et la quarantaine.

Les fonctions dérivées permettent également d'analyser la vitesse de propagation des épidémies. Un concept clé est le nombre de reproduction de base, R0​, qui représente le nombre moyen de personnes qu'une personne infectée peut contaminer dans une population totalement susceptible. Si R0>1, la maladie se propage dans la population ; si R0<1, l'épidémie s'éteint. Le nombre de reproduction de base peut être approximé par la formule suivante dans le cadre du modèle SIR :

​

Cette formule montre que R0 dépend du taux de transmission β et du taux de récupération γ. En modifiant ces paramètres, par exemple en augmentant les mesures de distanciation sociale (réduisant ainsi β) ou en améliorant les traitements médicaux (augmentant γ), on peut influencer la dynamique de l'épidémie.

La modélisation des épidémies ne se limite pas aux maladies infectieuses humaines. Les fonctions dérivées sont également utilisées pour étudier la propagation des maladies dans les populations animales et végétales, ce qui est crucial pour la gestion des écosystèmes et la sécurité alimentaire. Par exemple, la modélisation des épidémies de grippe aviaire chez les oiseaux ou de rouille chez les cultures de blé suit des principes similaires, avec des ajustements pour tenir compte des spécificités des interactions hôte-pathogène.

Un autre aspect important de la modélisation des épidémies est l'incorporation de la structure spatiale. Les modèles SIR classiques supposent que la population est bien mélangée, ce qui n'est souvent pas le cas dans la réalité. Les modèles basés sur des équations différentielles partielles (EDP) permettent de prendre en compte la dispersion spatiale des maladies. Par exemple, une version spatialisée du modèle SIR peut être décrite par les équations suivantes :

où DS​, DI​ et DR​ sont les coefficients de diffusion pour les susceptibles, les infectés et les récupérés, respectivement. Ces équations décrivent non seulement les taux de changement dans chaque catégorie, mais aussi la diffusion spatiale de la maladie.

Les épidémiologistes utilisent également des fonctions dérivées pour évaluer l'efficacité des interventions sanitaires. Par exemple, la vaccination peut être modélisée en ajoutant un terme de vaccination dans les équations SIR. Si v est le taux de vaccination, les équations deviennent :

Ce modèle montre que la vaccination réduit le nombre de personnes susceptibles et augmente le nombre de personnes récupérées, ralentissant ainsi la propagation de la maladie. En analysant ces équations, les épidémiologistes peuvent déterminer les taux de vaccination nécessaires pour atteindre l'immunité collective et contrôler l'épidémie.

La prévision des pandémies repose également sur des modèles mathématiques. Les épidémiologistes utilisent des modèles basés sur des équations différentielles pour prédire l'évolution des pandémies à partir de données épidémiologiques en temps réel. Par exemple, pendant la pandémie de COVID-19, des modèles basés sur des dérivées ont été utilisés pour prévoir la propagation du virus, évaluer l'impact des mesures de confinement et planifier les campagnes de vaccination. Ces modèles intègrent souvent des données sur la mobilité humaine, la densité de population et les réseaux de contact pour améliorer la précision des prévisions.

Une technique couramment utilisée pour ajuster les modèles épidémiologiques aux données réelles est l'estimation par maximum de vraisemblance. Cette méthode implique la maximisation d'une fonction de vraisemblance qui mesure la concordance entre les prédictions du modèle et les données observées. La fonction de vraisemblance L pour un ensemble de paramètres θ est définie comme suit :

En maximisant L(θ), les épidémiologistes peuvent estimer les paramètres du modèle qui fournissent la meilleure concordance avec les données observées, améliorant ainsi la précision des prédictions et des recommandations de politique sanitaire.

En conclusion, les fonctions dérivées sont des outils essentiels en épidémiologie pour modéliser la propagation des maladies infectieuses, prévoir les pandémies et évaluer l'efficacité des interventions sanitaires. En utilisant des équations différentielles pour représenter les dynamiques complexes des épidémies, les épidémiologistes peuvent mieux comprendre la propagation des maladies et élaborer des stratégies de contrôle efficaces. Les modèles mathématiques basés sur les dérivées jouent un rôle crucial dans la protection de la santé publique et la gestion des crises sanitaires.

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