Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminal Bac Pro

Fonction dérivée : Partie 3 Exercice 6

Fonction dérivée : Sujet 

partie.3  Ex.6

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Tableau de variation sans graphique d'une fonction de 3ème degré :

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Etudie le sens de variation de la fonction ¦ définie sur l’intervalle [-8 ; 0 ] par :

f (x) = -3x3 - 36x² - 144x + 300

a.    Calculer la dérivée  f’(x)  de la fonction :

f (x) = -3x3 - 36x² - 144x + 300

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 b.    Résoudre : Voir fiche d'aide 👉  Fiche d'aide 1

·    f’(x) = 0 

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c.  Calculer :

 f’(-4) = ……………….......................…….........................……………………………………

 Est ce normal qu'on trouve ce résultat?

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d.  Calculer :

 f(-8) = ………….......................…….........................……………………………………

  f(-4) = ……………….......................…….........................……………………………………

 f(0) = ……………….......................…….........................……………………………………

 

e.  Tableau de variation:                                     

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Fonction dérivée en Physiologie : Fonctions des organes, régulation des systèmes biologiques

La physiologie, en tant que science de la fonction des organes et des systèmes biologiques, repose largement sur l'application des mathématiques pour comprendre et modéliser les processus complexes du corps humain. Les fonctions dérivées, en particulier, sont des outils puissants pour analyser les taux de changement et les dynamiques des systèmes physiologiques. Elles permettent de quantifier la vitesse à laquelle les processus biologiques se produisent, d'identifier les régulateurs clés et de prédire les réponses du corps à diverses conditions.

Un exemple classique de l'application des fonctions dérivées en physiologie est l'étude de la dynamique cardiaque. Le débit cardiaque, qui est le volume de sang pompé par le cœur par unité de temps, peut être exprimé comme une fonction du temps. Si V(t) représente le volume de sang pompé à un instant t, alors la dérivée de cette fonction: 

représente le débit cardiaque instantané. Cette mesure est essentielle pour évaluer la performance du cœur et diagnostiquer des conditions telles que l'insuffisance cardiaque.

Dans la régulation de la glycémie, les dérivées sont également cruciales. Le taux de variation de la concentration de glucose dans le sang en réponse à l'insuline peut être modélisé pour comprendre comment le corps régule le niveau de glucose. Si G(t) représente la concentration de glucose à un moment donné, alors:

représente le taux de changement de cette concentration. Les modèles mathématiques de ce type sont utilisés pour concevoir des systèmes de délivrance d'insuline pour les patients diabétiques, en assurant une régulation optimale de la glycémie.

La respiration est un autre processus physiologique où les fonctions dérivées jouent un rôle clé. Le volume pulmonaire, qui est le volume d'air dans les poumons à un moment donné, change au cours du cycle respiratoire. Si Vp(t) représente le volume pulmonaire à un instant t, alors la dérivée:

représente le débit respiratoire, c’est-à-dire le volume d'air inhalé ou exhalé par unité de temps. Cette mesure est utilisée pour évaluer la fonction pulmonaire et diagnostiquer des troubles respiratoires tels que l'asthme ou la maladie pulmonaire obstructive chronique (MPOC).

La régulation de la température corporelle est un autre exemple où les dérivées sont appliquées. Le corps maintient sa température interne dans une plage étroite malgré les variations de la température ambiante. La dérivée de la température corporelle par rapport au temps:

permet de comprendre la rapidité avec laquelle le corps répond aux changements de température externe. Des modèles mathématiques peuvent intégrer cette dérivée pour simuler les processus de thermorégulation, tels que la transpiration et la vasoconstriction, qui permettent au corps de maintenir une température stable.

Dans le domaine de la neurophysiologie, les dérivées sont essentielles pour modéliser la transmission des signaux nerveux. Le potentiel d'action, qui est une rapide variation du potentiel électrique à travers la membrane d'une cellule nerveuse, peut être décrit par des équations différentielles. Si Vm(t) représente le potentiel de membrane à un instant t, alors la dérivée:

indique la vitesse de changement du potentiel de membrane. Ces modèles aident à comprendre les mécanismes de propagation des signaux nerveux et à développer des traitements pour les troubles neurologiques.

La pharmacocinétique, qui étudie le devenir des médicaments dans l'organisme, utilise également les dérivées pour modéliser l'absorption, la distribution, le métabolisme et l'excrétion des médicaments. Si C(t) représente la concentration d'un médicament dans le plasma à un moment t, alors: 

représente le taux de variation de cette concentration. Des équations différentielles sont utilisées pour décrire ces processus et prédire la concentration de médicament dans le corps à différents moments, ce qui est crucial pour déterminer les régimes posologiques optimaux.

Un autre domaine d'application des dérivées en physiologie est la dynamique des fluides corporels. Par exemple, la régulation de la pression sanguine implique des changements dans le débit sanguin et la résistance vasculaire. La loi de Poiseuille décrit la relation entre le débit volumique (Q), la pression (P) et la résistance (R) :

​

où ΔP est la différence de pression entre deux points et R est la résistance du vaisseau sanguin. La dérivée de la pression par rapport au temps:

​

 peut être utilisée pour analyser les fluctuations de la pression sanguine et comprendre les mécanismes de régulation à court terme, tels que la baroréflexe, qui ajuste la pression en réponse aux changements de position corporelle.

Les fonctions dérivées sont également utilisées pour modéliser les cycles hormonaux, tels que le cycle menstruel. La concentration des hormones comme l'œstrogène et la progestérone change de manière cyclique. Si E(t) représente la concentration d'œstrogène à un moment t, alors:

indique le taux de changement de cette concentration. Ces modèles aident à comprendre les variations hormonales et à diagnostiquer des troubles endocriniens.

En nutrition, les dérivées sont utilisées pour modéliser la digestion et l'absorption des nutriments. Par exemple, la vitesse à laquelle les nutriments sont absorbés dans le sang peut être décrite par des équations différentielles. Si N(t) représente la concentration d'un nutriment dans le sang à un moment t, alors:

représente le taux de changement de cette concentration. Ces modèles permettent d'optimiser les régimes alimentaires et de traiter les troubles métaboliques.

Enfin, les fonctions dérivées sont essentielles pour modéliser la croissance des tissus et des organes. Par exemple, la croissance tumorale peut être modélisée en utilisant des équations différentielles pour décrire le taux de croissance des cellules tumorales. Si V(t) représente le volume de la tumeur à un moment t, alors:

représente le taux de croissance de la tumeur. Ces modèles sont utilisés pour prédire la progression du cancer et évaluer l'efficacité des traitements.

En conclusion, les fonctions dérivées sont des outils mathématiques essentiels en physiologie, permettant de quantifier et de modéliser les taux de changement dans divers processus biologiques. Que ce soit pour étudier la dynamique cardiaque, la régulation de la glycémie, la respiration, la thermorégulation, la neurophysiologie, la pharmacocinétique, la dynamique des fluides corporels, les cycles hormonaux, la nutrition ou la croissance des tissus, les dérivées fournissent des insights cruciaux sur le fonctionnement des organes et la régulation des systèmes biologiques. Ces applications démontrent l'importance des mathématiques dans la compréhension et l'optimisation de la santé humaine.

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