Maths Terminal Bac Pro
Fonction dérivée : Partie 3 Exercice 8
Fonction dérivée : Sujet
partie.3 Ex.8
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Tableau de variation sans graphique d'une fonction de 3ème degré :
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Etudie le sens de variation de la fonction ¦ définie sur l’intervalle [ 0 ; 20 ] par :
f (x) = -0,5x3 + 15x² - 150x + 900
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b. Résoudre : Voir fiche d'aide 👉 Fiche d'aide 1
· f’(x) = 0
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f’(10) = ……………….......................…….........................……………………………………
Est ce normal qu'on trouve ce résultat?
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f(10) = ……………….......................…….........................……………………………………
f(20) = ……………….......................…….........................……………………………………
e. Tableau de variation:
..............................................................................................................Voir Cours 👉 Cours à trous 👉 Cours complétéVoir Fiche d'aide 👉 Fiche d'aide Voir correction partie 3 Ex.8 👉 Correction partie.3 Ex8Revenir à la page de choix de l'exercice 👉 Choix d'un exercicePasser à la partie 3 Ex.9 👉 Sujet partie 3 Ex9
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Fonction dérivée en Hydraulique : Flux de liquides, conception de canaux et barrages
L'hydraulique est une branche de l'ingénierie qui se concentre sur le comportement des liquides en mouvement et au repos. Les dérivées jouent un rôle crucial dans cette discipline, permettant de modéliser et de prédire les flux de liquides, ainsi que de concevoir des infrastructures telles que les canaux et les barrages. Cet article explore l'utilisation des fonctions dérivées en hydraulique, en se concentrant sur les flux de liquides et la conception des canaux et des barrages.
Les flux de liquides dans les canaux et les rivières sont souvent modélisés à l'aide des équations de Saint-Venant, qui sont des équations différentielles partielles dérivées des équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement. Ces équations prennent en compte des termes dérivés pour représenter les variations de la hauteur de l'eau et de la vitesse du flux en fonction du temps et de l'espace.
L'équation de continuité, qui est une expression de la conservation de la masse, est donnée par :
où A est l'aire de la section transversale du canal, Q est le débit volumétrique, t est le temps, et x est la distance le long du canal. La dérivée temporelle:
permettent de modéliser comment la hauteur de l'eau et le débit changent au fil du temps et de l'espace.
L'équation de quantité de mouvement, qui découle de la seconde loi de Newton, est donnée par :
où g est l'accélération due à la gravité et h est la hauteur de l'eau. Les dérivées temporelles et spatiales dans cette équation sont essentielles pour décrire la dynamique du flux de liquide en prenant en compte l'influence de la gravité et des variations de la hauteur de l'eau.
La conception des canaux repose sur une compréhension approfondie des flux de liquides et de leur interaction avec les parois du canal. L'équation de Manning est souvent utilisée pour estimer la vitesse du flux dans un canal ouvert :
où v est la vitesse du flux, n est le coefficient de rugosité de Manning, R est le rayon hydraulique (rapport de l'aire de la section transversale au périmètre mouillé), et S est la pente du canal. La dérivée de cette équation par rapport à R et S permet de comprendre comment les changements dans les dimensions et la pente du canal affectent la vitesse du flux.
La conception des barrages implique l'analyse des forces exercées par l'eau sur la structure. La pression exercée par un liquide en repos est donnée par l'équation de la pression hydrostatique :
où P est la pression, ρ est la densité du liquide, g est l'accélération due à la gravité, et h est la hauteur de la colonne de liquide. La dérivée de cette équation par rapport à la hauteur hdonne l'augmentation de la pression avec la profondeur, ce qui est crucial pour concevoir des barrages capables de résister aux forces exercées par l'eau.
Les barrages sont également soumis à des forces dynamiques dues aux variations de débit et aux vagues. L'équation de Bernoulli, qui est une application du principe de conservation de l'énergie, est utilisée pour modéliser ces forces :
où v est la vitesse du flux. Les dérivées de cette équation par rapport à v et h permettent de comprendre comment les variations de vitesse et de hauteur affectent la pression exercée sur le barrage.
En hydraulique, les dérivées sont également utilisées pour modéliser les écoulements turbulents, qui sont caractérisés par des fluctuations rapides et chaotiques de la vitesse. Les équations de Navier-Stokes, qui décrivent le mouvement des fluides, sont essentielles pour cette modélisation. Pour un fluide incompressible, les équations de Navier-Stokes sont :
où u est le vecteur vitesse, p est la pression, ν est la viscosité cinématique, et f représente les forces externes. Les dérivées temporelles et spatiales dans ces équations sont utilisées pour décrire les variations de la vitesse et de la pression dans un fluide turbulent.
Pour la gestion des ressources en eau, les dérivées sont utilisées pour modéliser les écoulements dans les bassins versants et les réseaux de distribution d'eau. L'équation de continuité et les équations de mouvement sont appliquées pour prédire les variations des niveaux d'eau et des débits dans les rivières et les réservoirs.
Les barrages sont également conçus pour résister aux forces exercées par les vagues, qui peuvent être modélisées à l'aide des équations de dispersion des vagues. L'équation de dispersion pour les vagues en eau profonde est donnée par :
où ω est la fréquence angulaire et k est le nombre d'onde. La dérivée de cette équation par rapport à k permet de déterminer la relation entre la vitesse de phase des vagues et leur longueur d'onde, ce qui est crucial pour concevoir des barrages capables de résister aux vagues.
En résumé, les fonctions dérivées sont essentielles en hydraulique pour modéliser les flux de liquides, concevoir des canaux et des barrages, et gérer les ressources en eau. Elles permettent de comprendre les variations temporelles et spatiales des propriétés des fluides, telles que la vitesse, la pression et la hauteur de l'eau. Les dérivées sont utilisées dans les équations de continuité, de quantité de mouvement, de Bernoulli et de Navier-Stokes, ainsi que dans les équations de dispersion des vagues, pour décrire les comportements des fluides en mouvement et au repos. Ces modèles mathématiques sont cruciaux pour la conception et la gestion des infrastructures hydrauliques, contribuant ainsi à une utilisation efficace et durable des ressources en eau.