Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

Maths Terminale Bac Pro

Suite Géométrique : Correction Ex1

Suites géométriques: Correction Ex1

Placement financier à intérêts composés.

Anatole envisage de placer une somme de 1500 €, pendant dix ans, dans une caisse d’épargne, à 2,25% l'an. Les placements dans les caisses d’épargne sont « à intérêts composés », ce qui signifie que les intérêts s’ajoutent au capital pour produire des intérêts la seconde année et ainsi de suite.

On note C₀  = 1500 €  le capital initial et C_n   le capital obtenu au bout de n années.

1.     Calculer le capital obtenu au bout de un, deux, trois, quatre et cinq ans. 

Réponse

Le capital obtenu au bout : 

👉 d’un an : 1500×2,25/100 = 33,75  👉 1500 + 33,75 = 1533,75

le capital obtenu au bout d’un an est de : 1533,75€.

👉de 2 ans :1533,75×2,25/100 = 34,51  👉 1533,75 + 34,51 = 1568,26

le capital obtenu au bout de 2 ans est de : 1568,26€.

👉 de 3 ans : 1568,26×2,25/100 = 35,29  👉 1568,26 + 35 ,29 = 1603,55

le capital obtenu au bout de 3 ans est de : 1603,55€.

👉 de 4 ans : 1603,55×2.25/100 = 36,08  👉 1603,55 + 36,08 = 1639,63

le capital obtenu au bout de 4 ans est de : 1639,63€.

👉 de 5 ans : 1639,63×2,25/100 = 36,89  👉 1639,63 + 36,89 = 1676,52

le capital obtenu au bout de 5 ans est de : 1676,52€.

2. Donner les valeurs de C₁ ; C₂  ; C₃  ; C₄  et C₅   .

Réponse

C_n le capital obtenu au bout de 𝒏 années.

C₁ le capital obtenu au bout de 𝟏années:     C₁ = 1533,75€

C₂ le capital obtenu au bout de 𝟐 années:    C₂ = 1568,26

C₃ le capital obtenu au bout de 𝟑 années:    C₃ = 1603,55

C₄ le capital obtenu au bout de 𝟒 années:    C₄ = 1639,63.

C₅ le capital obtenu au bout de 𝟓 années:    C₅ = 1676,52.

3. Quelle est la nature de la suite constituée par les termes C₁ ; C₂  ; C₃  ; C₄  et C₅  ? 

Préciser le premier terme et sa raison.

Réponse

La nature de la suite : La suite est-elle géométrique ?

Voir Récapitulatif : 

La suite est une suite géométrique du premier terme : 𝐶1= 1533,75€ et de raison q= 1,0225

4.     Calculer C₆  ; C₇  et C₈ .

Réponse

On utilise la formule de la géométrique qui calcule le terme suivant :  (V_n+1 = V_n × q ) Avec la lettre C : ( C_n+1 = C_n×q  )

  👉 C₆  ? : C₆  = C₅×q = 1676,52×1,0225 = 1714,24

  👉 C₇  ? : C₇  = C₆×q = 1714,24×1,0225 = 1752,81

  👉 C₈  ? : C₈  = C₇×q = 1752,81×1,0225 = 1792,25

On peut utiliser le terme générale :

La suite est une suite géométrique du premier terme :

C₁ = 1533,75€ et de raison q = 1,0225

5.     Calculer C₃₀   et que représente la valeur trouvée.

Réponse

On utilise le terme générale : 

Cette valeur représente le capital obtenu au bout de 30 ans

6.     Calculer C₆₀   et que représente la valeur trouvée.

Réponse

Cette valeur représente le capital obtenu au bout de 60 ans

7. Somme des capitaux obtenus les 30 premières années du placement.

a. Calculer la somme S₃₀   , suivante :

S₃₀ = C ₁ + C₂  + C₃  + C₄  + ……………… + C₃₀

Réponse

b. En déduire  le cumul des capitaux obtenus les 30 premières années.

Réponse

Le cumul des capitaux obtenus les 30 premières années est le S₃₀  donc 64716,99€. 

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La Finance et les Suites Géométriques

La Finance et les Suites Géométriques : Applications et Analyses

La finance est un domaine où les mathématiques jouent un rôle crucial dans l'analyse, la modélisation et la prise de décision. Les suites géométriques, avec leur progression basée sur une multiplication constante entre chaque terme, sont largement utilisées pour comprendre et prédire les phénomènes financiers. Dans ce texte, nous explorerons en détail les applications des suites géométriques en finance, en mettant en lumière leur utilisation dans divers contextes tels que les intérêts composés, l'évaluation d'investissements et la gestion de portefeuille.

Intérêts Composés

La Suite Géométrique et les Intérêts Composés : Applications et Analyses en Finance

Les mathématiques jouent un rôle central dans le domaine de la finance, offrant des outils et des concepts essentiels pour l’analyse et la prise de décision. Parmi ces concepts, la suite géométrique et les intérêts composés se distinguent par leur importance et leur utilité. Ce texte explore en profondeur la relation entre les suites géométriques et les intérêts composés, leurs applications en finance, et leurs implications pour les investisseurs.

La Suite Géométrique : Définition et Propriétés

Une suite géométrique est une séquence de nombres où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante appelée raison (q). Mathématiquement, une suite géométrique peut être représentée comme suit :

${𝑢}_{𝑛}={𝑢}_0\cdot {𝑞}^{𝑛}$

où :

• ${𝑢}_{𝑛}$ est le $𝑛$-ième terme de la suite,
• ${𝑢}_0$ est le premier terme,
• $𝑞$ est la raison,
• $𝑛$ est un entier naturel représentant la position du terme dans la suite.

Exemple de Suite Géométrique

Considérons une suite géométrique où ${𝑢}_0=2$ et $𝑞=3$. Les premiers termes de cette suite sont :

• ${𝑢}_0=2$
• ${𝑢}_1=2\cdot 3=6$
• ${𝑢}_2=6\cdot 3=18$
• ${𝑢}_3=18\cdot 3=54$

Intérêts Composés : Définition et Calcul

Les intérêts composés représentent un mécanisme de calcul des intérêts où les intérêts générés sont ajoutés au capital initial, et à chaque période suivante, les intérêts sont calculés sur ce capital augmenté. Cela contraste avec les intérêts simples, où les intérêts sont calculés uniquement sur le capital initial.

Formule des Intérêts Composés

Si ${𝐶}_0$ est le capital initial, $𝑟$ est le taux d’intérêt annuel, et $𝑛$ est le nombre de périodes, la formule des intérêts composés est donnée par :

${𝐶}_{𝑛}={𝐶}_0\times (1+𝑟{)}^{𝑛}$

Ici, la progression des intérêts composés suit une suite géométrique, où $(1+𝑟)$ est la raison.

Exemple d’Application des Intérêts Composés

Supposons qu’un investissement de 10 000 $ soit effectué avec un taux d’intérêt annuel de 5 %. Après 5 ans, le capital accumulé sera :

${𝐶}_5=10,000\times (1+0.05{)}^5$

${𝐶}_5=10,000\times 1.05^5$

${𝐶}_5\approx 12,762.82\mathrm{\$}$

Lien entre Suite Géométrique et Intérêts Composés

Les intérêts composés peuvent être vus comme une application directe des suites géométriques en finance. En effet, la formule des intérêts composés utilise une progression géométrique pour calculer le capital accumulé sur une période donnée. Chaque terme de la suite géométrique représente la valeur du capital à la fin de chaque période.

Analyse Mathématique

En réarrangeant la formule des intérêts composés, nous voyons clairement la structure de la suite géométrique :

${𝐶}_{𝑛}={𝐶}_0\cdot (1+𝑟{)}^{𝑛}$

Cela montre que la somme des intérêts composés sur plusieurs périodes peut être analysée en utilisant les propriétés des suites géométriques.

Applications Pratiques en Finance

Prévision et Modélisation

Les suites géométriques et les intérêts composés sont essentiels pour prévoir la croissance future des investissements. Les investisseurs utilisent ces concepts pour estimer combien leur capital pourrait valoir après un certain nombre d’années à un taux d’intérêt donné.

Exemple de Prévision

Si un investisseur veut savoir combien il aura après 10 ans avec un investissement initial de 5 000 $ à un taux d’intérêt annuel de 7 %, il utilise la formule des intérêts composés :

${𝐶}_{10}=5000\times (1+0.07{)}^{10}$

${𝐶}_{10}\approx 5000\times 1.9672$

${𝐶}_{10}\approx 9,836$

Évaluation d’Investissements

Les suites géométriques permettent également d’évaluer la rentabilité des investissements. En calculant le taux de rendement annuel moyen à l’aide de suites géométriques, les investisseurs peuvent comparer différents investissements et prendre des décisions éclairées.

En gestion de portefeuille, les suites géométriques et les intérêts composés sont utilisés pour évaluer la performance des portefeuilles d’investissement. Les gestionnaires de portefeuille calculent les rendements cumulatifs et moyens pour prendre des décisions stratégiques.

Supposons qu’un portefeuille génère des rendements annuels de 10 %, -5 %, 8 %, 12 %, et 15 % sur cinq ans. Le rendement total peut être évalué en multipliant les facteurs de rendement annuels :

$\text{Rendement total}=(1+0.10)\times (1-0.05)\times (1+0.08)\times (1+0.12)\times (1+0.15)$

$\text{Rendement total}\approx 1.10\times 0.95\times 1.08\times 1.12\times 1.15$

$\text{Rendement total}\approx 1.56$

Cela signifie que le portefeuille a augmenté de 56 % sur cinq ans.

Importance et Limitations

Importance

Les suites géométriques et les intérêts composés sont des outils puissants pour la planification financière, l’évaluation des investissements et la gestion de portefeuille. Ils offrent une manière rigoureuse de modéliser la croissance des investissements et de prévoir les rendements futurs.

Limitations

Cependant, il est important de reconnaître les limitations de ces modèles. Les suites géométriques et les intérêts composés supposent des conditions de marché stables et des taux d’intérêt constants, ce qui peut ne pas toujours refléter la réalité des marchés financiers volatils. De plus, ces modèles ne prennent pas en compte les risques et les imprévus qui peuvent affecter les rendements réels des investissements.

Les suites géométriques et les intérêts composés sont des concepts mathématiques fondamentaux qui trouvent des applications étendues en finance. Ils permettent aux investisseurs de modéliser la croissance des investissements, d’évaluer les rendements futurs et de gérer les portefeuilles de manière efficace. Bien que ces outils soient puissants, il est essentiel de les utiliser avec prudence et en complément d’autres méthodes d’analyse pour tenir compte des incertitudes et des risques inhérents aux marchés financiers. En comprenant et en appliquant correctement les suites géométriques et les intérêts composés, les investisseurs peuvent optimiser leurs stratégies financières et maximiser leurs rendements à long terme.

Exemple d'Application

Supposons qu'un investissement de $10,000\mathrm{\$}$ est effectué avec un taux d'intérêt annuel de $5\mathrm{\%}$. Après $5$ ans, le capital accumulé sera :

${𝐶}_5=10,000\times (1+0.05{)}^5$

${𝐶}_5=10,000\times 1.05^5$

${𝐶}_5\approx 12,762.82\mathrm{\$}$

Évaluation d'Investissements

Les suites géométriques sont également utilisées pour évaluer la rentabilité des investissements sur une période donnée. En utilisant la formule des intérêts composés, les investisseurs peuvent estimer le rendement futur d'un investissement en fonction de différents scénarios de taux de rendement.

Taux de Rendement Annuel Moyen

Le taux de rendement annuel moyen d'un investissement sur une période donnée peut être calculé à l'aide de suites géométriques. Si ${𝐶}_0$ est le capital initial, ${𝐶}_{𝑛}$ est le capital après $𝑛$ années, alors le taux de rendement annuel moyen (${𝑟}_{\text{moyen}}$) peut être calculé par :

Gestion de Portefeuille

En gestion de portefeuille, les suites géométriques sont utilisées pour évaluer la performance globale d'un portefeuille d'investissement sur une période donnée. En suivant les valeurs des actifs au fil du temps, les gestionnaires de portefeuille peuvent calculer les rendements cumulatifs et moyens à l'aide de formules basées sur des progressions géométriques.

Exemple d'Analyse de Portefeuille

Supposons qu'un portefeuille d'investissement ait généré les rendements suivants au cours des cinq dernières années :

$10\mathrm{\%},-5\mathrm{\%},8\mathrm{\%},12\mathrm{\%},15\mathrm{\%}$

Risques et Limitations

Bien que les suites géométriques soient utiles dans de nombreux aspects de la finance, il est important de reconnaître qu'elles sont basées sur des hypothèses simplifiées et peuvent ne pas capturer tous les aspects des marchés financiers réels. De plus, les prédictions basées sur des suites géométriques peuvent être sensibles aux variations des paramètres, telles que les taux d'intérêt ou les rendements des actifs.

Conclusion

Les suites géométriques sont des outils puissants en finance, offrant des moyens précis et efficaces pour évaluer les investissements, estimer les rendements futurs et gérer les portefeuilles d'actifs. Leur utilisation permet aux investisseurs et aux gestionnaires de portefeuille de prendre des décisions éclairées et de maximiser les rendements tout en minimisant les risques. Cependant, il est important de se rappeler que les modèles basés sur des suites géométriques ont leurs limites et doivent être utilisés avec prudence en conjonction avec d'autres méthodes d'analyse et de gestion des risques.

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