Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

Maths Terminale Bac Pro

Suite Géométrique : Correction Ex10

Suites géométriques: Correction Ex10

On fait l'hypothèse que la hausse annuelle du paquet de cigarettes s'élève à 12 %.

On désigne par  C₁  = 936 €  le coût du tabac pour l'année 2002 pour un fumeur.

1. Déterminer C₂   le coût du tabac pour l'année 2003.

Réponse

C₁ = 936 € est le coût du tabac pour l'année 2002

donc C₂ est le coût du tabac pour l'année 2003:

👉     936x12/100 = 112,32  👉  936 + 112,32 = 1048,32

              👉      C₂  = 1048,32 €

2. Déterminer C₃   le coût du tabac pour l'année 2004.

Réponse

C₃  est le coût du tabac pour l'année 2004:

👉     1048,32x12/100 = 125,80  👉  1048,32 + 125,80 = 1174,12

              👉      C₃  = 1174,12 €

3. Déterminer C₄  le coût du tabac pour l'année 2005.

Réponse

C₄ est le coût du tabac pour l'année 2005:

👉     1174,12x12/100 = 140,89 👉 1174,12 + 140,89 = 1315,01

           👉      C₄  = 1315,01 €

4. Déterminer C₅  le coût du tabac pour l'année 2006.

Réponse

C₅  est le coût du tabac pour l'année 2006:

👉     1315,01x12/100 = 157,8  👉  1315,01 + 157,8  = 1472,81

              👉      C₅  = 1472,81 €

5. La suite des nombres C₁  , C₂ ,C₃ , C₄ , C₅ forment-ils les termes d'une suite géométrique ?

Si oui, Déterminer la raison et donner le premier terme.

Réponse

La nature de la suite : La suite est-elle géométrique ?

Voir Récapitulatif :

 

La suite est une suite géométrique du premier terme : C₁ = 936€ et de raison q = 1,12

6. Exprimer C_n , coût du tabac pour l'année (2001 + n), en fonction de C₁ et de n.

Réponse

Exprimer C_n ,  pour l'année (2001 + n), en fonction de C₁ et de n:

On utilise le terme générale :  V_n =  V₁× q(n-1)   Avec la lettre C : C_n  =  C₁× q(n-1)

 C₁ = 936€ et  q = 1,12  :    C_n   =  936 ´ 1,12(n-1)

7. Déterminer la somme payée en 2015

Réponse

la somme payée en 2015 : 2015 = 2001 + 14  donc le terme qui correspond à 2015 est C14 :      

   C₁₄  =  936 ´ 1,12(14-1)  👉  C₁₄  =  4084,23

la somme payée en 2015 est de 4084,23 €

8. Déterminer la somme payée en 2020

Réponse

la somme payée en 2020 : 2020 = 2001 + 19  donc le terme qui correspond à 2020 est C19 :      

  C₁₉  =  936 ´ 1,12(19-1)  👉  C₁₉    =  7197,81

la somme payée en 2020 est de 7197,81 €

9. Déterminer le coût total des cigarettes de 2002 à 2020.

Réponse

Le coût total des cigarettes de 2002 à 2020 correspond à S₁₉ :

Le coût total des cigarettes de 2002 à 2020 est de 59379,54 €

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Application de la suite géométrique dans les analyse des transitoires

L'analyse des transitoires est une composante essentielle dans l'étude des systèmes dynamiques, qu'ils soient électriques, mécaniques ou thermiques. Les phénomènes transitoires désignent les comportements des systèmes lorsqu'ils passent d'un état stable à un autre, généralement en réponse à une perturbation ou à une variation brusque de leurs conditions initiales. La suite géométrique joue un rôle crucial dans cette analyse, en particulier dans les contextes où des séries infinies et des solutions exponentielles sont utilisées pour modéliser et résoudre des équations différentielles linéaires. Cet essai explore comment la suite géométrique est appliquée dans l'analyse des transitoires, en mettant en lumière son utilité et ses diverses applications pratiques.

Pour commencer, il est important de comprendre ce qu'est une suite géométrique. Une suite géométrique est une séquence de nombres où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante fixe, appelée le ratio commun. Mathématiquement, une suite géométrique peut être représentée comme suit :

$𝑎,𝑎𝑟,𝑎{𝑟}^2,𝑎{𝑟}^3,\dots$

où $𝑎$ est le premier terme et $𝑟$ est le ratio commun. La somme d'une série géométrique infinie, lorsque $\mathrm{\mid }𝑟\mathrm{\mid }<1$, est donnée par :

$𝑆=\frac{𝑎}{1-𝑟}$

Cette formule est extrêmement utile dans l'analyse des transitoires, car de nombreux phénomènes peuvent être modélisés comme des sommes de séries géométriques.

Prenons, par exemple, un circuit électrique simple composé d'une résistance 𝑅 et d'une inductance 𝐿 en série, alimenté par une source de tension continue V. L'équation différentielle qui décrit la variation du courant 𝑖(𝑡) dans le circuit est donnée par :

$𝐿\frac{𝑑𝑖(𝑡)}{𝑑𝑡}+𝑅𝑖(𝑡)=𝑉$

Pour résoudre cette équation différentielle, nous pouvons utiliser la transformée de Laplace, qui transforme l'équation différentielle en une équation algébrique plus facile à manipuler. En appliquant la transformée de Laplace, nous obtenons :

$𝐿𝑠𝐼(𝑠)+𝑅𝐼(𝑠)=\frac{𝑉}{𝑠}$

où $𝐼(𝑠)$ est la transformée de Laplace du courant $𝑖(𝑡)$. En réarrangeant cette équation, nous obtenons :

$𝐼(𝑠)=\frac{𝑉}{𝑠(𝐿𝑠+𝑅)}$

La transformée inverse de Laplace nous donne la solution temporelle :

$𝑖(𝑡)=\frac{𝑉}{𝑅}(1-{𝑒}^{-\frac{𝑅}{𝐿}𝑡})$

Ce résultat montre que le courant 𝑖(𝑡) atteint progressivement sa valeur finale 𝑉/𝑅 avec une constante de temps 𝜏 = 𝐿/𝑅 Cette réponse transitoire est une solution exponentielle, et l'utilisation de la série géométrique est implicite dans l'analyse de l'exponentielle.

La suite géométrique intervient également dans l'analyse des transitoires pour les systèmes résonnants, comme les circuits RLC (résistance, inductance, capacité) en série. L'équation différentielle pour un tel circuit est :

$𝐿\frac{{𝑑}^2𝑞(𝑡)}{𝑑{𝑡}^2}+𝑅\frac{𝑑𝑞(𝑡)}{𝑑𝑡}+\frac{1}{𝐶}𝑞(𝑡)=𝑉(𝑡)$

où $𝑞(𝑡)$ est la charge sur le condensateur. En appliquant la transformée de Laplace, nous transformons cette équation différentielle en une équation algébrique :

$𝐿{𝑠}^2𝑄(𝑠)+𝑅𝑠𝑄(𝑠)+\frac{1}{𝐶}𝑄(𝑠)=𝑉(𝑠)$

En réarrangeant, nous obtenons la fonction de transfert :

$𝑄(𝑠)=\frac{𝑉(𝑠)}{𝐿{𝑠}^2+𝑅𝑠+\frac{1}{𝐶}}$

Les racines du dénominateur, appelées pôles du système, déterminent la réponse transitoire. Si les pôles sont complexes conjugués, la réponse transitoire inclura des termes oscillatoires exponentiels, qui peuvent être représentés comme une série géométrique de termes exponentiels. Ces séries géométriques permettent de décomposer et d'analyser les composants oscillatoires et amortis des réponses transitoires.

L'analyse des transitoires n'est pas limitée aux circuits électriques ; elle s'applique également aux systèmes mécaniques. Considérons un système masse-ressort-amortisseur décrit par l'équation différentielle :

$𝑚\frac{{𝑑}^2𝑥(𝑡)}{𝑑{𝑡}^2}+𝑐\frac{𝑑𝑥(𝑡)}{𝑑𝑡}+𝑘𝑥(𝑡)=𝐹(𝑡)$

où $𝑚$ est la masse, $𝑐$ est le coefficient d'amortissement, $𝑘$ est la constante de ressort, et $𝐹(𝑡)$ est la force appliquée. En appliquant la transformée de Laplace, nous obtenons :

$𝑚{𝑠}^2𝑋(𝑠)+𝑐𝑠𝑋(𝑠)+𝑘𝑋(𝑠)=𝐹(𝑠)$

La fonction de transfert de ce système est alors :

$𝑋(𝑠)=\frac{𝐹(𝑠)}{𝑚{𝑠}^2+𝑐𝑠+𝑘}$

Les racines du polynôme au dénominateur déterminent la nature de la réponse transitoire, qu'elle soit sous-amortie, critique ou sur-amortie. Pour les systèmes sous-amortis, la réponse inclut des termes oscillatoires exponentiels similaires à ceux des circuits RLC, et la suite géométrique est utilisée pour analyser ces réponses oscillatoires.

Un autre domaine où la suite géométrique et l'analyse des transitoires sont étroitement liés est le traitement du signal, en particulier dans l'analyse des réponses impulsionnelles des filtres. Par exemple, considérons un filtre passe-bas numérique avec une réponse impulsionnelle ℎ(𝑛). La réponse d'un tel filtre peut souvent être représentée par une série géométrique de termes exponentiels décroissants. Si la réponse impulsionnelle est de la forme :

$ℎ(𝑛)=𝑎{𝑟}^{𝑛}$

où ∣𝑟∣<1 , la sortie du filtre pour une entrée impulsionnelle peut être calculée en utilisant la série géométrique. La transformée en z, qui est une généralisation de la transformée de Laplace pour les signaux discrets, permet de représenter cette série géométrique en termes algébriques, facilitant l'analyse et la conception des filtres numériques.

En contrôle des systèmes, la suite géométrique est utilisée pour analyser les transitoires dans les réponses en boucle fermée. Par exemple, pour un système de contrôle avec une rétroaction unitaire, la fonction de transfert en boucle fermée est :

$𝐻(𝑠)=\frac{𝐺(𝑠)}{1+𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)}$

où $𝐺(𝑠)$ est la fonction de transfert du système et $𝐻(𝑠)$ est la fonction de transfert du contrôleur. Si $𝐺(𝑠)$ et $𝐻(𝑠)$ peuvent être exprimés en termes de séries géométriques, la réponse transitoire du système peut être analysée en termes de ces séries, permettant de déterminer la stabilité et la performance du système de contrôle.

Enfin, la suite géométrique trouve des applications dans les simulations numériques des transitoires. Les méthodes numériques, telles que la méthode des différences finies et la méthode des éléments finis, utilisent des séries géométriques pour discrétiser et résoudre les équations différentielles. En utilisant ces techniques, les ingénieurs peuvent simuler les transitoires dans des systèmes complexes, tels que les réseaux électriques, les structures mécaniques et les systèmes thermiques, et optimiser leur réponse.

En conclusion, la suite géométrique est un outil mathématique puissant et polyvalent qui joue un rôle crucial dans l'analyse des transitoires. Que ce soit dans les circuits électriques, les systèmes mécaniques, le traitement du signal ou le contrôle des systèmes, la suite géométrique permet de modéliser, analyser et résoudre des équations différentielles linéaires et des séries infinies. En offrant des solutions précises et des approximations efficaces, la suite géométrique facilite la compréhension des comportements transitoires et l'optimisation des systèmes dynamiques, contribuant ainsi à des avancées significatives dans divers domaines de la science et de l'ingénierie.

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