Maths Terminale Bac Pro
Suite Géométrique : Correction Ex3
Suites géométriques: Correction Ex3
Une entreprise a fabriqué et vendu 450 centaines de boîtes en 2000 ; elle envisage une augmentation de production de 5 % par an.
1) Déterminer les 5 premiers termes de cette suite ainsi que sa raison.
Réponse
On procède comme l'exercice 1 et 2.
a. Le nombre prévisionnel de centaines de boîtes à fabriquer durant :
La suite est une suite géométrique du premier terme : 𝑽1 = 472,5 et de raison q = 1,05
2) Déterminer le nombre prévisionnel, arrondi à l’unité, de centaines de boîtes à fabriquer durant l'année 2006.
Réponse
1ére méthode:
On utilise la formule de la suite géométrique qui calcule le terme suivant : (𝑽n+1 = 𝑽n×q )
👉 𝑽6 ? 𝑽6 = 𝑽5×q = 574,34 X 1,05 = 603,06
2ème méthode:
On utilise le terme générale : 𝑽n = 𝑽1×q(n-1)
𝑽1 = 472,5 et q= 1,05
𝑽6 = 472,5 ´ 1,05(6-1) 👉 𝑽6 = 603,04
le nombre prévisionnel, arrondi à l’unité, de centaines de boîtes à fabriquer durant l'année 2006 est 603.
(D’après sujet de Bac Pro Logistique Session juin 2001)
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Application de la Suite Géométrique dans l'Atténuation du Signal
Introduction
L'atténuation du signal est un phénomène omniprésent dans les systèmes de communication et de transmission de données. Elle décrit la diminution de l'intensité d'un signal à mesure qu'il se propage à travers un milieu. Ce phénomène peut être modélisé à l'aide de la suite géométrique, qui permet de quantifier comment l'intensité du signal diminue de manière exponentielle en fonction de la distance ou du temps.
La Suite Géométrique et l'Atténuation du Signal
Une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme est le produit du précédent par un nombre constant appelé raison. Matériellement, une suite géométrique est définie par :
où est le premier terme, est la raison, et est le rang du terme. Dans le contexte de l'atténuation du signal, cette formule peut être utilisée pour modéliser la diminution de l'intensité du signal au fil du temps ou de la distance parcourue.
Modélisation Mathématique de l'Atténuation du Signal
L'atténuation d'un signal peut être exprimée mathématiquement par une loi exponentielle, souvent appelée loi de Beer-Lambert en optique, qui décrit comment l'intensité du signal diminue avec la distance parcourue dans un milieu absorbant :
où est l'intensité initiale du signal, est le coefficient d'atténuation, et est la distance. Cette équation montre que l'intensité du signal suit une décroissance exponentielle, caractéristique d'une suite géométrique en temps ou en distance discrète.
Applications Pratiques de l'Atténuation du Signal
Les principes de l'atténuation du signal et de la suite géométrique trouvent des applications dans divers domaines technologiques et scientifiques.
Télécommunications
Dans les systèmes de télécommunications, l'atténuation du signal est un facteur clé qui influence la qualité et la fiabilité des communications.
Propagation des Ondes Radio : Lors de la transmission d'ondes radio, l'intensité du signal diminue à mesure que la distance entre l'émetteur et le récepteur augmente. La modélisation de cette atténuation est cruciale pour la conception de réseaux sans fil et pour déterminer la portée des transmissions. En utilisant une suite géométrique, on peut estimer la puissance du signal à différentes distances et optimiser le placement des antennes pour assurer une couverture optimale.
Câbles à Fibres Optiques : Dans les systèmes de communication par fibres optiques, le signal lumineux subit une atténuation due à l'absorption et à la diffusion de la lumière dans la fibre. La loi de Beer-Lambert est utilisée pour modéliser cette atténuation et pour concevoir des répéteurs optiques à intervalles réguliers afin de régénérer le signal et minimiser la perte de données.
Acoustique
L'atténuation des signaux acoustiques est un autre domaine où les suites géométriques sont appliquées.
Propagation du Son dans l'Air : Le son se propage dans l'air en perdant de l'énergie à cause de l'absorption par les molécules d'air et de la diffusion. La décroissance de l'intensité sonore avec la distance peut être modélisée par une suite géométrique, permettant ainsi d'estimer la portée effective des signaux acoustiques, comme les annonces publiques ou les systèmes de communication sous-marins.
Isolation Acoustique : Dans l'ingénierie du bâtiment, la conception de matériaux et de structures d'isolation acoustique repose sur la compréhension de l'atténuation du son. En utilisant des suites géométriques pour modéliser la réduction du niveau sonore à travers différents matériaux, les ingénieurs peuvent concevoir des solutions efficaces pour minimiser le bruit dans les environnements résidentiels et industriels.
Applications Médicales
L'atténuation du signal joue également un rôle important dans les applications médicales, notamment dans les technologies d'imagerie et de diagnostic.
Ultrasons Médicaux : Les échographies utilisent des ondes ultrasonores pour créer des images des structures internes du corps. L'atténuation des ultrasons dans les tissus corporels suit une loi exponentielle, et la compréhension de cette atténuation est essentielle pour interpréter correctement les images échographiques et ajuster les paramètres de l'appareil pour obtenir des images de haute qualité.
Imagerie par Résonance Magnétique (IRM) : Dans l'IRM, la qualité de l'image dépend de la signalisation des tissus et de l'atténuation du signal RMN (résonance magnétique nucléaire). La modélisation de l'atténuation exponentielle du signal RMN aide les radiologues à ajuster les séquences d'imagerie et à améliorer la précision du diagnostic.
Modélisation et Simulation
La modélisation mathématique et la simulation numérique sont des outils puissants pour étudier et optimiser l'atténuation du signal dans divers systèmes.
Techniques de Monte Carlo
Les techniques de Monte Carlo sont utilisées pour simuler des processus complexes et aléatoires, y compris l'atténuation du signal. En générant de nombreux scénarios possibles et en calculant les résultats moyens, ces simulations permettent de prédire le comportement de systèmes de communication et d'optimiser leur performance.
Modélisation par Éléments Finis
La méthode des éléments finis est utilisée pour modéliser la propagation et l'atténuation des signaux dans des environnements complexes, tels que les structures architecturales ou les dispositifs biomédicaux. Cette méthode permet de résoudre des équations différentielles décrivant la diffusion du signal, en prenant en compte les caractéristiques spécifiques du milieu de propagation.
Considérations Théoriques
L'atténuation du signal est intrinsèquement liée à des concepts mathématiques et physiques fondamentaux.
Équations Différentielles
L'équation de l'atténuation exponentielle est une solution d'une équation différentielle du premier ordre :
Cette équation exprime le taux de changement de l'intensité du signal en fonction de la distance parcourue, montrant comment la désintégration dépend de la quantité présente.
Théorie de l'Information
La théorie de l'information, développée par Claude Shannon, étudie les limites fondamentales de la transmission de l'information. La compréhension de l'atténuation du signal est essentielle pour déterminer la capacité des canaux de communication et pour concevoir des systèmes robustes face à la perte de signal et au bruit.
Conclusion
Les suites géométriques offrent un cadre mathématique puissant pour modéliser l'atténuation du signal dans une variété de contextes. Leur capacité à décrire la décroissance exponentielle de l'intensité du signal permet de comprendre et de prédire le comportement des systèmes de communication, des applications acoustiques et des technologies médicales. Grâce à des outils mathématiques solides et à des techniques de modélisation avancées, les ingénieurs et les scientifiques peuvent concevoir des solutions optimales pour atténuer les effets de la perte de signal et améliorer la performance et la fiabilité des systèmes technologiques. La compréhension de l'atténuation du signal à travers le prisme des suites géométriques est donc essentielle pour avancer dans de nombreux domaines de la science et de l'ingénierie.