Maths Terminale Bac Pro
Suite Géométrique : Correction Ex4
La suite est une suite géométrique .
La suite est géométrique du premier terme : U1 = = 2000 et de raison q = 1,1
On utilise le terme générale : 𝑽n = 𝑽1×q(n-1)
Or : U1 = 2000 et q = 1,1 👉 Un = 2000 ´ 1,1(n-1)
On utilise le terme générale : Un = 2000 ´ 1,1(n-1)
U6 = 2000 ´ 1,1(6-1) = 3221,02
U6 = 3221 Arrondi à l'unité
👉 S6 = 15431 Arrondi à l'unité
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La suite géométrique en biologie et en écologie
La suite géométrique trouve des applications variées en biologie et en écologie, où elle est utilisée pour modéliser des phénomènes naturels complexes. En biologie, elle aide à comprendre la croissance des populations, la propagation des maladies et les dynamiques génétiques. En écologie, elle est essentielle pour étudier les chaînes alimentaires, les cycles biogéochimiques et les interactions entre espèces. La capacité de la suite géométrique à représenter des changements exponentiels et des processus de croissance ou de déclin la rend particulièrement adaptée à ces domaines.
En biologie, la suite géométrique est fréquemment utilisée pour modéliser la croissance des populations. Par exemple, dans une population bactérienne en phase de croissance exponentielle, chaque génération double la population précédente. Si une culture de bactéries commence avec une seule cellule et que chaque cellule se divise toutes les heures, après n heures, le nombre de bactéries peut être représenté par une suite géométrique où chaque terme est le double du précédent. Cette modélisation est cruciale pour comprendre la dynamique de la population et pour planifier des interventions médicales ou des stratégies de gestion des cultures.
La propagation des maladies infectieuses est un autre domaine où les suites géométriques sont appliquées. Lorsqu'une maladie se propage dans une population, le nombre d'individus infectés peut augmenter de manière exponentielle. Le modèle de croissance exponentielle, basé sur une suite géométrique, permet de prévoir le nombre de cas futurs et de planifier des réponses sanitaires appropriées. Par exemple, dans le cas d'une épidémie de grippe, si chaque personne infectée en contamine deux autres, le nombre de personnes infectées après n cycles de transmission peut être représenté par une suite géométrique. Cette approche est utilisée pour évaluer l'efficacité des mesures de quarantaine et des campagnes de vaccination.
Les dynamiques génétiques au sein des populations peuvent également être modélisées par des suites géométriques. Par exemple, la fréquence d'un gène récessif dans une population peut changer de manière exponentielle en raison de la sélection naturelle. Si un certain allèle confère un avantage sélectif, sa fréquence dans la population augmentera de génération en génération. La suite géométrique permet de prédire l'évolution de cette fréquence sur plusieurs générations, aidant ainsi les biologistes à comprendre l'impact de la sélection naturelle et de la dérive génétique sur la diversité génétique.
En écologie, les suites géométriques sont utilisées pour modéliser les chaînes alimentaires et les interactions entre les espèces. Dans une chaîne alimentaire simple, chaque niveau trophique dépend du niveau inférieur pour sa nourriture. Si la biomasse des producteurs primaires (plantes) est représentée par un certain nombre, la biomasse des herbivores (qui consomment les plantes) et des carnivores (qui consomment les herbivores) peut être modélisée comme une suite géométrique décroissante. Chaque niveau trophique contient moins de biomasse que le niveau inférieur, reflétant l'efficacité énergétique limitée des transferts trophiques. Cette modélisation aide les écologistes à comprendre la structure des écosystèmes et à évaluer l'impact des perturbations, comme la surexploitation des ressources ou les changements climatiques.
Les cycles biogéochimiques, qui décrivent la circulation des éléments chimiques essentiels (comme le carbone, l'azote et le phosphore) à travers les différents compartiments de l'écosystème, peuvent également être modélisés à l'aide de suites géométriques. Par exemple, le cycle du carbone implique des processus tels que la photosynthèse, la respiration, la décomposition et la combustion des combustibles fossiles. La suite géométrique permet de quantifier la dynamique de ces processus et de prévoir les changements dans les stocks de carbone à l'échelle globale. Cette modélisation est essentielle pour comprendre les impacts du changement climatique et pour développer des stratégies de gestion des émissions de gaz à effet de serre.
Les interactions entre les espèces, telles que la prédation, le parasitisme et la compétition, peuvent également être décrites par des modèles géométriques. Par exemple, dans un modèle prédateur-proie, la population de proies peut croître de manière exponentielle en l'absence de prédateurs, mais la présence de prédateurs réduit cette croissance. Les suites géométriques aident à modéliser ces interactions complexes, permettant aux écologistes de prévoir les dynamiques des populations et d'évaluer l'impact des interventions de gestion, comme la réintroduction de prédateurs dans des écosystèmes où ils ont été éradiqués.
La suite géométrique est également utilisée pour modéliser la dispersion des espèces. La dispersion est un processus clé dans la biologie des populations et l'écologie, influençant la colonisation de nouveaux habitats, la diversité génétique et la dynamique des populations. Par exemple, la dispersion des graines par le vent ou les animaux peut être modélisée comme une suite géométrique, où le nombre de graines qui atteignent une distance donnée décroît de manière exponentielle avec la distance. Cette approche aide à comprendre les schémas de colonisation et à prévoir les réponses des espèces aux changements environnementaux, comme la fragmentation des habitats.
Les modèles géométriques sont également utilisés pour étudier les effets des perturbations environnementales sur les populations et les écosystèmes. Par exemple, l'impact des polluants sur la croissance des populations peut être modélisé comme une suite géométrique décroissante, où la concentration de polluants affecte négativement la croissance de la population. De même, les effets des catastrophes naturelles, comme les incendies de forêt ou les tempêtes, sur la structure des communautés peuvent être étudiés à l'aide de modèles géométriques. Cette approche permet d'évaluer la résilience des écosystèmes et de développer des stratégies de gestion pour la restauration et la conservation.
En biologie évolutive, les suites géométriques sont utilisées pour modéliser les processus de mutation et de sélection. Les mutations, qui introduisent de nouvelles variations génétiques dans les populations, peuvent se produire à des taux exponentiels. Les modèles géométriques aident à comprendre l'accumulation des mutations et leur impact sur la fitness des populations. De même, la sélection naturelle, qui favorise les individus avec des traits avantageux, peut être modélisée comme une suite géométrique, où la fréquence des traits avantageux augmente de manière exponentielle. Cette approche aide à comprendre l'évolution des traits adaptatifs et la dynamique des populations.
En conclusion, la suite géométrique offre un cadre mathématique puissant pour modéliser une variété de phénomènes en biologie et en écologie. Que ce soit pour comprendre la croissance des populations, la propagation des maladies, les dynamiques génétiques, les interactions entre les espèces, ou les effets des perturbations environnementales, les suites géométriques permettent de capturer la complexité des processus naturels. Leur capacité à représenter des changements exponentiels et des processus de croissance ou de déclin les rend particulièrement adaptées à ces domaines, offrant des outils essentiels pour la recherche et la gestion de la biodiversité et des écosystèmes.