Maths Terminale Bac Pro
Suite Géométrique : Correction Ex5
Suites géométriques: Correction Ex5
1) Le 1er janvier 1991, le volume de matériel stocké était de 2500 m3. Depuis, il a augmenté régulièrement chaque année de 15 %.
a) Quel était, en m3, le volume de matériel stocké le 1er janvier 1992 ?
Réponse
b) Quel était, en m3, le volume de matériel stocké le 1er janvier 1993 ?
Réponse
c) Quel était, en m3, le volume de matériel stocké le 1er janvier 1994 ?
Réponse
d) Quel était, en m3, le volume de matériel stocké le 1er janvier 1995 ?
Réponse
e) Quel était, en m3, le volume de matériel stocké le 1er janvier 1996 ?
Réponse
2) Depuis le 1er janvier 1991, le volume de matériel stocké a évolué annuellement selon une suite numérique.
Quelle est la nature de cette suite ? Préciser quel est son premier terme et quelle est sa raison ?
La suite est une suite géométrique du premier terme : 𝑽1 =2875 et de raison q = 1,05
3) En utilisant le formulaire, calculer le terme de rang 11. (valeur arrondie à l’unité).
Réponse
Le terme de rang 11 est 𝑽11 :
On utilise le terme générale : 𝑽n = 𝑽1×q(n-1)
𝑽1 =2875 et q= 1,15
𝑽11 =2875×1,15(11-1) 👉 𝑽11 = 11630,98
𝑽11 = 11631 Arrondi à l'unité.
4) En déduire le volume, en m3, de matériel stocké au 1er janvier 2002. (valeur arrondie à l’unité).
Réponse
L'année 2002 corresponds à 𝑽11 :
D'après la question 3 , le volume stocké en 2002 est 11631 m3
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Suites Géométriques et Les algorithmes d’épidémie
Les algorithmes d’épidémie, souvent inspirés des processus de propagation des maladies, sont utilisés dans divers domaines tels que les réseaux informatiques, les systèmes distribués et la modélisation de la diffusion d’informations. La suite géométrique joue un rôle crucial dans la modélisation et l’analyse de ces algorithmes, en particulier pour comprendre la dynamique de propagation et optimiser les performances du système.
Les algorithmes d’épidémie imitent la manière dont une maladie se propage dans une population. Chaque nœud ou agent dans un réseau peut être considéré comme un individu susceptible, infecté ou récupéré. Lorsqu’un nœud infecté entre en contact avec un nœud susceptible, il peut le « contaminer » en lui transmettant un message, une donnée ou une instruction. Ce processus de transmission suit souvent un modèle géométrique, où la probabilité de transmission et la rapidité de propagation peuvent être analysées à l’aide de suites géométriques.
L’une des applications les plus évidentes des suites géométriques dans les algorithmes d’épidémie est la modélisation de la propagation de messages dans un réseau distribué. Supposons que nous avons un réseau où chaque nœud peut envoyer un message à deux autres nœuds à chaque cycle de communication. Le nombre de nœuds ayant reçu le message après 𝑛 cycles peut être représenté par une suite géométrique. Si nous partons d’un seul nœud initial, après le premier cycle, deux nœuds auront reçu le message, après le deuxième cycle, quatre nœuds, et ainsi de suite, doublant à chaque étape. La croissance exponentielle de cette propagation est un aspect fondamental des algorithmes d’épidémie, permettant une diffusion rapide et efficace des informations dans le réseau.
Dans les réseaux informatiques, les algorithmes d’épidémie sont souvent utilisés pour la réplication de données et la diffusion de mises à jour. Par exemple, dans un système de gestion de bases de données distribuées, les mises à jour doivent être propagées rapidement et de manière fiable à tous les nœuds du réseau pour maintenir la cohérence des données. En utilisant une approche épidémique, chaque nœud qui reçoit une mise à jour la transmet à un nombre fixe de nœuds voisins, suivant une dynamique géométrique. Cette stratégie assure que les mises à jour se propagent de manière exponentielle, réduisant le temps nécessaire pour atteindre l’ensemble du réseau. Les suites géométriques permettent de modéliser cette propagation et d’optimiser les paramètres de l’algorithme, comme le nombre de nœuds à contacter par cycle, pour maximiser l’efficacité de la diffusion.
Les algorithmes d’épidémie sont également utilisés dans le cadre de la détection et de la récupération d’erreurs dans les réseaux. Lorsqu’un nœud détecte une anomalie ou une défaillance, il peut propager cette information à ses voisins en utilisant une stratégie épidémique. Chaque nœud qui reçoit le signal d’alerte le relaie à d’autres nœuds, suivant une suite géométrique. Cette méthode assure que l’information sur la défaillance se diffuse rapidement dans le réseau, permettant une détection rapide et une réponse coordonnée. La modélisation de cette propagation à l’aide de suites géométriques aide à comprendre la vitesse et l’efficacité de la détection d’erreurs et à concevoir des protocoles de récupération plus robustes.
En plus de la diffusion rapide des messages, les algorithmes d’épidémie basés sur des suites géométriques sont utilisés pour l’agrégation de données dans les réseaux de capteurs. Dans ces réseaux, de nombreux capteurs collectent des données qui doivent être agrégées et transmises à un centre de contrôle. Utiliser un algorithme d’épidémie pour l’agrégation permet de distribuer la charge de traitement et de communication entre les nœuds. Chaque nœud combine ses données avec celles reçues de ses voisins et transmet le résultat agrégé à d’autres nœuds. La propagation exponentielle des données agrégées, modélisée par une suite géométrique, assure que les informations sont rapidement compilées et transmises au centre de contrôle, optimisant ainsi la réactivité et l’efficacité énergétique du réseau.
Les suites géométriques sont également utiles pour modéliser la résilience et la tolérance aux pannes des algorithmes d’épidémie. Dans un réseau distribué, il est essentiel de s’assurer que l’information se propage même en présence de nœuds défaillants. La redondance introduite par la diffusion exponentielle permet de compenser les défaillances de certains nœuds. Par exemple, si chaque nœud transmet une mise à jour à plusieurs voisins, la probabilité que la mise à jour soit complètement perdue diminue de manière exponentielle avec le nombre de voisins contactés. En modélisant cette redondance avec des suites géométriques, on peut analyser et améliorer la tolérance aux pannes de l’algorithme, assurant une diffusion fiable des informations même dans des conditions adverses.
Les algorithmes d’épidémie sont également utilisés pour la diffusion d’informations dans les réseaux sociaux et les systèmes de recommandation. Dans ces contextes, il est essentiel de propager des nouvelles, des mises à jour ou des recommandations à un large public de manière rapide et efficace. En modélisant la propagation de l’information à l’aide de suites géométriques, on peut comprendre comment les messages se répandent dans le réseau social, identifier les nœuds influents et optimiser les stratégies de diffusion. Par exemple, dans un réseau social où chaque utilisateur partage une nouvelle avec un nombre fixe d’amis, le nombre de personnes atteintes par la nouvelle suit une croissance géométrique. Cette compréhension permet de concevoir des campagnes de marketing viral plus efficaces et de maximiser l’impact des messages.
Les réseaux P2P (pair-à-pair) bénéficient également des algorithmes d’épidémie pour la distribution de fichiers et la gestion des ressources. Dans un réseau P2P, les fichiers sont divisés en petits morceaux et distribués parmi les nœuds. Utiliser une approche épidémique pour la distribution permet de propager rapidement les morceaux de fichiers à travers le réseau. Chaque nœud partage les morceaux de fichiers qu’il possède avec d’autres nœuds, suivant une dynamique géométrique de croissance. Cette stratégie assure une distribution rapide et équilibrée des fichiers, réduisant le temps de téléchargement pour les utilisateurs et améliorant l’efficacité globale du réseau.
Enfin, dans le domaine de la simulation et de l’analyse de performance des systèmes distribués, les suites géométriques sont utilisées pour évaluer l’efficacité et la robustesse des algorithmes d’épidémie. En simulant la propagation de messages, la détection d’erreurs ou l’agrégation de données à l’aide de modèles géométriques, les ingénieurs peuvent identifier les points faibles et optimiser les paramètres des algorithmes. Les suites géométriques fournissent un cadre analytique puissant pour évaluer la vitesse, la fiabilité et la résilience des algorithmes d’épidémie, permettant de concevoir des systèmes distribués plus performants et robustes.
En conclusion, la suite géométrique joue un rôle fondamental dans les algorithmes d’épidémie, permettant de modéliser et d’optimiser la propagation de messages, la réplication de données, la détection d’erreurs, et bien d’autres aspects des systèmes distribués. En tirant parti des propriétés exponentielles des suites géométriques, ces algorithmes assurent une diffusion rapide et efficace des informations, améliorent la tolérance aux pannes et maximisent les performances des réseaux. Que ce soit dans les réseaux informatiques, les systèmes de gestion de bases de données, les réseaux de capteurs, ou les réseaux sociaux, l’utilisation des suites géométriques permet de relever les défis complexes de la communication et de la gestion des ressources dans les environnements distribués.