Maths Terminale Bac Pro
Suite Géométrique : Correction Ex6
Suites géométriques: Correction Ex6
On le dépose le 1er avril dans une mare.
a. Quelle aire aura-t-il le 2 avril ? le 3 avril, le 4 avril ?
Réponse
👉 Aire nénuphar le 1 avril : 1,5 mm²
👉 Aire nénuphar le 2 avril : 1,5×2=3 mm²
👉 Aire nénuphar le 3 avril : 3×2=6 mm²
👉 Aire nénuphar le 4 avril : 6×2=12 mm².
b. On désigne par Tn = l'aire du nénuphar n jours après le 1er avril.
Déterminer: T1 , T2, T3, T4, T5 et T6.
Réponse
Tn l'aire du nénuphar n jours après le 1er avril.
👉 T1 l'aire du nénuphar 1 jour après le 1er avril c'est à dire le 2 avril : T1 = 3
👉 T2 l'aire du nénuphar 2 jour après le 1er avril c'est à dire le 3 avril : T2 = 6
👉 T3 l'aire du nénuphar 3 jour après le 1er avril c'est à dire le 4 avril : T3 = 12
c. Quelle est la nature de la suite dont T1 , T2, T3, T4, ...... Tn, sont les termes consécutifs ?
Réponse
La suite est une suite géométrique du premier terme : T1= 3 et de raison q = 2
d. Exprimer Tn en fonction de n.
Réponse
On utilise le terme générale : (𝑽n = 𝑽1×q(n-1) )
Avec la lettre T 👉 Tn = T1×q(n-1)
T1 = 3 et q= 2 : 👉 Tn = 3 ´ 2(n-1)
👉le 2 avril c'est T1 👉 le 3 avril c'est T2 👉le 4 avril c'est T3👉Donc le 30 avril c'est T29 :
Tn = 3 ´ 2(n-1) 👉 T29 = 3 ´ 2(29-1) 👉 T29 = 805306368
f. Quelle aire (arrondie à 0,1 m² ) aura le nénuphar le 2 mai ?
Réponse
Il y a 30 jours au mois d'avril:
👉 le 30 avril c'est T29 👉 le 1 mai c'est T30 👉 le 2 mai c'est T31 :
👉 Tn = 3 ´ 2(n-1) 👉 T31 = 3 ´ 2(31-1) = 3321225472
L'aire de nénuphar le 2 mai est de 3221225472 mm² c'est 3221,2 m² arrondi à 0,1 m²
g. En s'aidant de la calculatrice, déterminer la date à laquelle le nénuphar aura atteint une aire de 61,44 cm².
Réponse
la date à laquelle le nénuphar aura atteint une aire de 61,44 cm² = 6144 mm²:
Je vais dresser un tableau et pour le compléter on utilise l'expression du terme général:
Tn = 3 ´ 2(n-1)
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Suites Géométriques et Le tri fusion (Merge Sort)
Le tri fusion, ou merge sort, est un algorithme de tri efficace et stable qui utilise la technique du "diviser pour régner". Ce procédé consiste à diviser une liste en deux moitiés, à trier chacune de ces moitiés de manière récursive, puis à fusionner les moitiés triées pour obtenir la liste finale triée. La suite géométrique joue un rôle clé dans l'analyse de la complexité temporelle de cet algorithme, ainsi que dans la compréhension de son efficacité.
La suite géométrique est une suite de nombres où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un facteur constant. Dans le contexte du tri fusion, nous pouvons utiliser la suite géométrique pour analyser la complexité de l'algorithme. Pour comprendre cela, examinons comment fonctionne le tri fusion et comment la suite géométrique est impliquée.
Le tri fusion commence par diviser la liste à trier en deux moitiés de manière récursive jusqu'à ce que chaque sous-liste ne contienne qu'un seul élément. À ce stade, chaque sous-liste est triviale à trier car elle ne contient qu'un élément. Ensuite, l'algorithme fusionne les sous-listes de manière à former des listes triées de taille croissante, jusqu'à ce que la liste entière soit reconstituée et triée.
Une autre application des suites géométriques dans le tri fusion se trouve dans l'optimisation de l'algorithme. Par exemple, nous pouvons améliorer l'efficacité du tri fusion en utilisant une technique appelée "tri fusion optimisé". Cette technique consiste à utiliser un tri différent, comme le tri par insertion, pour les sous-listes de petite taille avant de les fusionner. En choisissant une taille de sous-liste optimale, nous pouvons réduire le nombre total de comparaisons et de déplacements nécessaires pour trier la liste entière. La taille optimale des sous-listes peut être déterminée en analysant la relation géométrique entre la taille de la liste et le nombre de niveaux de division.
Le tri fusion est également utilisé dans de nombreuses applications pratiques où la stabilité de l'algorithme est essentielle. Par exemple, dans le tri des bases de données, la stabilité du tri fusion garantit que les enregistrements ayant des clés égales conservent leur ordre relatif d'origine, ce qui est crucial pour certaines opérations de base de données. La stabilité est particulièrement importante dans les algorithmes de tri utilisés pour le traitement des données en temps réel et les systèmes embarqués, où la préservation de l'ordre des données est essentielle.
Le tri fusion est souvent utilisé en conjonction avec d'autres algorithmes pour améliorer leur efficacité. Par exemple, dans le tri externe, où les données à trier ne tiennent pas entièrement en mémoire, le tri fusion est utilisé pour trier des morceaux de données en mémoire avant de les fusionner sur disque. Cette approche est particulièrement efficace pour traiter de grandes quantités de données, car elle minimise le nombre d'opérations d'entrée/sortie, qui sont coûteuses en termes de temps. La relation géométrique entre la taille des morceaux de données et le nombre de passes nécessaires pour fusionner ces morceaux permet d'optimiser le processus de tri externe.
Les suites géométriques sont également utilisées dans l'analyse des algorithmes de tri parallèle, où le tri fusion est divisé en plusieurs sous-tâches qui sont exécutées en parallèle sur des processeurs multiples. En divisant la liste de manière récursive et en assignant chaque sous-liste à un processeur différent, nous pouvons réduire le temps total de tri. La relation géométrique entre la taille de la liste et le nombre de niveaux de division permet de déterminer le nombre optimal de processeurs à utiliser et la répartition des tâches entre eux.
Le tri fusion est un algorithme flexible qui peut être adapté à une variété de structures de données et de formats de fichiers. Par exemple, dans le tri de fichiers de grande taille, les données peuvent être divisées en blocs qui sont triés individuellement avant d'être fusionnés. Cette approche est particulièrement efficace pour les systèmes de fichiers distribués, où les blocs de données sont stockés sur plusieurs nœuds. La suite géométrique permet d'optimiser la taille des blocs et le nombre de passes nécessaires pour fusionner les blocs triés, améliorant ainsi l'efficacité globale du tri.
En conclusion, la suite géométrique joue un rôle fondamental dans la compréhension et l'optimisation du tri fusion. En analysant la complexité temporelle et spatiale de l'algorithme à travers les relations géométriques entre la taille de la liste et le nombre de niveaux de division, nous pouvons améliorer l'efficacité et la performance du tri fusion dans diverses applications. Que ce soit pour le tri des bases de données, le traitement des données en temps réel, le tri externe ou le tri parallèle, la suite géométrique fournit un cadre analytique puissant pour optimiser l'algorithme et répondre aux besoins spécifiques des systèmes informatiques modernes.