Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

Maths Terminale Bac Pro

Suite Géométrique : Correction Ex7

Suites géométriques: Correction Ex7

Placement à intérêts composés.

Le même capital initial 5 000 € est maintenant placé à intérêts composés, c'est-à-dire que les intérêts sont ajoutés chaque fin d'année au capital initial pour devenir producteur d'intérêts :

(taux annuel 4,5 %).

a. Calculer la valeur acquise par le capital au bout de 2 ans.

Réponse

Pour calculer la valeur acquise par le capital au bout de 2 ans il faut d'abord Calculer la valeur acquise par le capital au bout de 1 an.

👉 1 an : 5000×4,5/100 = 225

                     5000 + 225 = 5225

👉 2 ans : 5225×4,5/100 = 235,13

                     5225 + 235,13 =5460,13

La valeur acquise par le capital au bout de 2 ans est de 5460,13 €

b. On désigne par K_n la valeur acquise par le capital au bout de n années.

Calculer:  K₁ ; K₂  ; K₃  ; K₄  et K₅ .

Réponse

K_n la valeur acquise par le capital au bout de n années

K₁ la valeur acquise par le capital au bout de 1 an.

K₂ la valeur acquise par le capital au bout de 2 années.

On déduit : K₁ = 5225 ; K₂ = 5460,13

👉  K₃ ? :  5460,13×4,5/100 = 245,71  👉  5460,13 + 245,71 = 5705,84

                      👉   K₃ = 5705,84

👉 K₄ ? :  5705,84×4,5/100 = 256,76  👉  5705,84 + 256,76 = 5962,6

                       👉    K₄  = 5962,6

👉 K₅ ? :  5962,6×4,5/100 = 268.32  👉  5962,6 + 268.32 = 6230.92                    

                        👉    K₅ = 6230.92

c. Quelle est la nature de la suite dont K₁ ; K₂  ; K₃  ; K₄  ..... K_n sont les termes consécutifs ?

Réponse

la nature de la suite des termes K₁  , K₂  , K₃ , K₄ et K₅:  La suite est-elle géométrique ?

On utilise la première formule de récapitulatif :

 

La suite est une suite géométrique du premier terme  K₁ = 5225 et de raison q = 1,045

d. Exprimer K_n en fonction de n.

Réponse

On utilise le terme générale :   𝑽_n  =  𝑽₁×q(n-1)

Avec la lettre K :  K_n  =  𝑽₁×q(n-1) 

K₁ = 5225 et q= 1,045   :   👉   K_n  =  5225×1,045(n-1) 

e. Quelle est la valeur acquise par le capital au bout de 12 ans ?

Réponse

12 ans correspond au terme K₁₂ 

 K₁₂   =  5225×1,045(12-1)    👉   K₁₂   =  8479,41

la valeur acquise par le capital au bout de 12 ans est de 8479,41 €

f. Quelle est la valeur acquise par le capital au bout de 18 ans ?

Réponse

18 ans correspond au terme K₁₈ 

K₁₈ =  5225×1,045(18-1)     👉  K₁₈  =  11042,39

la valeur acquise par le capital au bout de 18 ans est de 11042,39 €.

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La Suite Géométrique et Applications : Les tables de hachage Applications

Les tables de hachage sont des structures de données fondamentales en informatique, utilisées pour implémenter des ensembles et des dictionnaires (ou mappages). Elles permettent des opérations de recherche, d'insertion et de suppression efficaces, souvent en temps constant moyen, grâce à l'utilisation d'une fonction de hachage. La suite géométrique joue un rôle essentiel dans l'analyse de la performance des tables de hachage, particulièrement dans le contexte de la gestion des collisions et de la dimensionnement de la table.

Une table de hachage utilise une fonction de hachage pour convertir les clés d'éléments en indices dans un tableau. Idéalement, chaque clé est mappée à un index unique, mais en pratique, différentes clés peuvent être mappées au même indice, provoquant des collisions. Il existe plusieurs techniques pour gérer les collisions, parmi lesquelles le chaînage (séparer les chaînes) et le sondage ouvert (probing).

Le chaînage consiste à utiliser des listes chaînées pour stocker tous les éléments qui sont hachés au même indice. Si une collision se produit, l'élément est simplement ajouté à la liste associée à cet indice. L'analyse de la performance des listes chaînées repose sur la distribution des longueurs des listes. Si les insertions sont uniformément réparties, la longueur moyenne des listes suit une distribution géométrique, car chaque insertion indépendante augmente la taille de la liste avec une probabilité constante.

Supposons que la table de hachage contient 𝑛 éléments et a 𝑚 emplacements, et que chaque emplacement est également probable pour une insertion. La longueur moyenne 𝐿 d'une liste chaînée peut être approximée par 𝑛/𝑚. Si 𝛼 = 𝑛/𝑚 est le facteur de charge, alors 𝐿 ≈ 𝛼. Dans le cas idéal où 𝛼 est constant et faible, les opérations de recherche, d'insertion et de suppression ont une complexité moyenne de 𝑂(1). Cependant, si 𝛼 devient trop grand, les listes chaînées peuvent devenir longues, et la complexité de ces opérations peut devenir 𝑂(𝛼)).

Le sondage ouvert est une autre technique de gestion des collisions où, en cas de collision, l'algorithme cherche le prochain emplacement disponible selon une séquence prédéterminée. Les séquences de sondage peuvent suivre différents schémas, comme le sondage linéaire, le sondage quadratique, ou le double hachage. Le sondage linéaire consiste à vérifier les emplacements successifs jusqu'à trouver un emplacement vide, tandis que le sondage quadratique utilise une séquence de type 1,4,9,16,…, et le double hachage utilise une seconde fonction de hachage pour déterminer la séquence de sondage.

L'analyse du sondage linéaire peut être faite à l'aide de suites géométriques. Si la table de hachage est à moitié pleine (𝛼=0.5), le nombre moyen de sondages nécessaires pour trouver un emplacement vide suit une distribution géométrique. En général, plus la table est pleine, plus le nombre de sondages augmente de manière exponentielle. Cette relation suit une suite géométrique, car la probabilité de trouver un emplacement vide diminue de manière exponentielle avec l'augmentation du facteur de charge 𝛼.

Les performances des tables de hachage peuvent également être optimisées grâce à la redimensionnement dynamique. Lorsque la table devient trop pleine, une nouvelle table de taille plus grande est allouée et tous les éléments sont ré-hachés dans cette nouvelle table. Le choix de la nouvelle taille de la table suit souvent une suite géométrique, typiquement en doublant la taille de la table (ou en utilisant un facteur de redimensionnement constant). Cette approche permet de maintenir un facteur de charge bas, ce qui garantit des performances moyennes constantes.

Le redimensionnement dynamique a un coût, car chaque opération de redimensionnement nécessite de ré-hacher tous les éléments. Cependant, en utilisant une suite géométrique pour déterminer la nouvelle taille de la table, le coût total amorti par opération reste constant. Si la taille de la table est doublée chaque fois qu'elle devient pleine, le nombre total de redimensionnements effectués jusqu'à ce que la table atteigne une taille 𝑁 est log2(𝑁).

chaque redimensionnement nécessite de ré-hacher tous les éléments 

présents dans la table, mais comme la taille double à chaque redimensionnement,

le nombre moyen d'éléments ré-hachés par opération est constant.

Les tables de hachage peuvent également bénéficier de techniques d'amélioration des performances comme le hachage universel et le hachage parfait. Le hachage universel utilise une famille de fonctions de hachage aléatoires pour minimiser le nombre de collisions indépendamment de la distribution des clés. En choisissant une fonction de hachage aléatoire, on peut garantir que la probabilité de collision entre deux clés quelconques est faible, ce qui améliore les performances globales.

Le hachage parfait, quant à lui, vise à éliminer complètement les collisions en construisant une fonction de hachage spécifique à l'ensemble de clés à hacher. Cela est particulièrement utile pour les ensembles de clés statiques, où les clés ne changent pas après la construction de la table de hachage. Dans ce contexte, une suite géométrique peut être utilisée pour analyser et optimiser le processus de construction de la fonction de hachage parfaite, en minimisant le nombre de collisions à chaque étape.

Les tables de hachage sont également essentielles dans de nombreuses applications de la vie courante, telles que la gestion des bases de données, le caching, les compilateurs et les systèmes de fichiers. Dans les bases de données, les tables de hachage sont utilisées pour implémenter les index, permettant des recherches rapides sur les clés. Dans le caching, elles sont utilisées pour stocker et récupérer rapidement les résultats des calculs coûteux ou des requêtes fréquentes. Les compilateurs utilisent des tables de hachage pour gérer les symboles et les identificateurs, tandis que les systèmes de fichiers les utilisent pour gérer les noms de fichiers et les descripteurs de fichiers.

En génomique, les tables de hachage sont utilisées pour stocker et rechercher des séquences d'ADN. Les algorithmes de hachage permettent de gérer efficacement de grandes quantités de données biologiques, facilitant ainsi les recherches et les analyses. Les tables de hachage sont également employées dans les algorithmes de correspondance de motifs, où elles aident à identifier rapidement les occurrences de motifs spécifiques dans de grandes séquences de données.

Dans les réseaux informatiques, les tables de hachage sont utilisées pour implémenter les tables de routage, les tables ARP (Address Resolution Protocol) et les filtres Bloom. Les tables de routage permettent de déterminer rapidement la route optimale pour acheminer les paquets de données à travers un réseau. Les tables ARP mappent les adresses IP aux adresses MAC, facilitant la communication au sein des réseaux locaux. Les filtres Bloom, basés sur des tables de hachage, sont utilisés pour tester l'appartenance d'un élément à un ensemble de manière efficace en termes de mémoire, avec un faible taux de fausses positives.

Les suites géométriques interviennent également dans les algorithmes de hachage distribués, comme ceux utilisés dans les systèmes de stockage distribués et les réseaux pair-à-pair. Ces algorithmes répartissent les données entre plusieurs nœuds de manière équilibrée, en utilisant des fonctions de hachage pour déterminer la répartition. La suite géométrique est utilisée pour analyser et optimiser la distribution des données, garantissant que chaque nœud reçoit une quantité équitable de données à gérer, minimisant ainsi la charge et maximisant les performances.

En conclusion, la suite géométrique joue un rôle crucial dans l'analyse et l'optimisation des tables de hachage. Que ce soit pour gérer les collisions, optimiser les performances, ou analyser la complexité des opérations, la relation géométrique entre la taille de la table et le nombre de collisions, ainsi que l'utilisation du redimensionnement dynamique, permet de maintenir des performances élevées. Les tables de hachage sont des structures de données polyvalentes et efficaces, utilisées dans de nombreuses applications informatiques et scientifiques, et leur succès repose en grande partie sur les principes des suites géométriques.

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