Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

Maths Terminale Bac Pro

Suite Géométrique : Correction Ex8

Suites géométriques: Correction Ex8

Des élèves du Lycée Professionnel sont sollicités pour concevoir le logo ci-contre :

La sérigraphie par lots de 10 blousons suit un tarif dégressif.

Les prix des lots successifs forment une suite géométrique.

On note : U₁ le prix hors taxe, en euros, du 1er lot, U₂ celui du 2ème lot, etc.

1. On donne U₁ = 20, U₂ = 18 et U₃ = 16,20. Calculer la raison q de cette suite.

Réponse

La suite est déjà géométrique, don un seul calcule pour trouver la raison suffit:

la raison q de cette suite est de q = 0,9.

2. Calculer le terme U₄.

Réponse

On utilise la formule de la géométrique qui calcule le terme suivant :  (𝑽_n+1 = 𝑽_n×q ) Avec la lettre U : (U_n+1 = U_n×q  )

U₄ ? : U₄ = U₃ X q = 16,20 X 0,9 = 14,58    U₄ = 14,58

3. Calculer la somme des 18 premiers termes.

Réponse

la somme des 18 premiers termes est S₁₈  :

4. Cette somme calculée représente le prix hors taxe de la sérigraphie des 180 blousons.

Calculer le prix toutes taxes comprises des 18 lots sachant que la TVA appliquée est de 20 %.

Réponse

180 blousons correspond à 10 lots qui vaut 169,98 € hors taxe.

169,98x20/100=34     👉     169,98 +34 =203,98.

Autrement : 169,98x1,20=203,98

le prix toutes taxes comprises des 18 lots est de 203,96 €.

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La Suite Géométrique et Applications dans Désintégration Radioactive

La désintégration radioactive est un processus naturel par lequel un noyau instable perd de l'énergie en émettant des radiations. Ce phénomène suit des lois mathématiques précises, où la suite géométrique joue un rôle central dans la description et la compréhension de la manière dont les substances radioactives se désintègrent au fil du temps. La modélisation de la désintégration radioactive permet de faire des prédictions sur le comportement des éléments radioactifs, ce qui est crucial dans divers domaines tels que la médecine, l'industrie et la gestion des déchets nucléaires.

À la base de la désintégration radioactive se trouve le concept de demi-vie, qui est le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux d'un échantillon radioactif se désintègre. Si nous considérons un échantillon contenant

${𝑁}_0$ noyaux au temps initial $𝑡=0$, après une demi-vie ${𝑇}_{1\mathrm{/}2}$, il ne restera que ${𝑁}_0\mathrm{/}2$ noyaux. Après deux demi-vies, il en restera ${𝑁}_0\mathrm{/}4$, et ainsi de suite. Cette diminution suit une suite géométrique, où le nombre de noyaux restant après $𝑛$ demi-vies est donné par ${𝑁}_{𝑛}={𝑁}_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{𝑛}$.

Mathématiquement, ce processus est décrit par la loi de désintégration exponentielle, exprimée par l'équation :

$𝑁(𝑡)={𝑁}_0{𝑒}^{-𝜆𝑡}$

où $𝑁(𝑡)$ est le nombre de noyaux restants à un temps $𝑡$, $𝜆$ est la constante de désintégration, et ${𝑁}_0$ est le nombre initial de noyaux. La relation entre la constante de désintégration $𝜆$ et la demi-vie ${𝑇}_{1\mathrm{/}2}$ est donnée par :

${𝑇}_{1\mathrm{/}2}=\frac{\ln (2)}{𝜆}$

La loi de désintégration exponentielle est une application directe de la suite géométrique, car à chaque intervalle de temps égal à la demi-vie, la quantité de matière radioactive diminue d'un facteur constant de 1/2.

Les suites géométriques ne se limitent pas à décrire la quantité de matière restante, mais elles sont également utilisées pour modéliser la décroissance de l'activité radioactive, qui est le nombre de désintégrations par unité de temps. L'activité

$𝐴(𝑡)$ à un temps $𝑡$ est proportionnelle au nombre de noyaux restant $𝑁(𝑡)$ :

$𝐴(𝑡)=𝜆𝑁(𝑡)=𝜆{𝑁}_0{𝑒}^{-𝜆𝑡}$

L'activité suit la même loi exponentielle que la désintégration du nombre de noyaux, décroissant de manière géométrique avec le temps.

La compréhension de la désintégration radioactive est cruciale dans plusieurs applications pratiques. En médecine nucléaire, des isotopes radioactifs sont utilisés pour diagnostiquer et traiter diverses maladies. Par exemple, l'iode-131 est utilisé dans le traitement du cancer de la thyroïde. Connaître la demi-vie de ces isotopes permet de déterminer les doses appropriées et le timing des traitements, minimisant les effets secondaires tout en maximisant l'efficacité thérapeutique.

Dans le domaine de l'archéologie, la datation au carbone-14 est une méthode couramment utilisée pour déterminer l'âge des artefacts anciens. Le carbone-14 est un isotope radioactif qui se désintègre avec une demi-vie d'environ 5730 ans. En mesurant la quantité de carbone-14 restant dans un échantillon organique, les archéologues peuvent estimer le temps écoulé depuis la mort de l'organisme. Cette méthode repose sur la suite géométrique de la désintégration radioactive pour effectuer des calculs précis.

Dans l'industrie nucléaire, la gestion des déchets radioactifs est une question de sécurité critique. Les déchets radioactifs doivent être stockés de manière sûre jusqu'à ce qu'ils se soient désintégrés à des niveaux inoffensifs. Le temps nécessaire pour que les déchets atteignent un niveau de radioactivité acceptable dépend de leurs demi-vies respectives. Par exemple, le plutonium-239 a une demi-vie de 24 100 ans, ce qui signifie que sa gestion nécessite des stratégies à très long terme. Les modèles basés sur des suites géométriques aident à prévoir les niveaux de radioactivité futurs et à planifier les mesures de confinement nécessaires.

Dans le contexte de l'énergie nucléaire, la suite géométrique de la désintégration radioactive est également utilisée pour surveiller le combustible nucléaire usé. Les réacteurs nucléaires utilisent des isotopes tels que l'uranium-235 et le plutonium-239 pour générer de l'énergie. Après leur utilisation, ces matériaux restent radioactifs et continuent à se désintégrer. La gestion de ce combustible usé nécessite une compréhension précise de la manière dont la radioactivité décroît au fil du temps pour assurer un stockage et une élimination sécurisés.

Les suites géométriques sont également employées dans les simulations et les modèles prédictifs pour la recherche en physique nucléaire. Les physiciens utilisent ces modèles pour étudier les processus de désintégration et pour prédire le comportement des isotopes radioactifs dans diverses conditions. Ces simulations sont essentielles pour la conception de nouvelles technologies nucléaires et pour l'amélioration des méthodes de gestion des déchets.

En astronomie, la désintégration radioactive est utilisée pour estimer l'âge des étoiles et des planètes. Par exemple, la datation radiométrique des météorites permet de déterminer l'âge du système solaire. Les isotopes comme l'uranium-238, qui se désintègre en plomb-206 avec une demi-vie de 4,5 milliards d'années, fournissent des horloges naturelles pour mesurer les échelles de temps géologiques et cosmiques.

Dans l'environnement, les scientifiques utilisent la désintégration radioactive pour tracer la dispersion des polluants. Par exemple, les isotopes radioactifs libérés lors de catastrophes nucléaires, comme celle de Tchernobyl ou de Fukushima, peuvent être suivis pour comprendre leur dispersion dans l'environnement. La modélisation de la désintégration de ces isotopes aide à évaluer les risques pour la santé humaine et l'environnement à long terme.

La désintégration radioactive est également un outil précieux dans les études climatiques. Les isotopes tels que le tritium et le carbone-14 sont utilisés pour étudier les cycles de l'eau et du carbone, respectivement. En analysant les niveaux de ces isotopes dans les glaces polaires, les sédiments océaniques et les anneaux d'arbres, les scientifiques peuvent reconstituer les changements climatiques passés et comprendre les dynamiques des cycles biogéochimiques.

En résumé, la suite géométrique est fondamentale pour comprendre et modéliser la désintégration radioactive. Cette compréhension est essentielle pour un large éventail d'applications pratiques, allant de la médecine nucléaire à la gestion des déchets, en passant par l'archéologie, l'industrie, la recherche scientifique et l'environnement. La capacité de prédire avec précision comment les substances radioactives se désintègrent au fil du temps permet de développer des stratégies efficaces pour leur utilisation et leur gestion, assurant la sécurité et l'efficacité dans divers domaines technologiques et scientifiques.

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