Maths Terminale Bac Pro
Suite Géométrique : Correction Ex9
Suites géométriques: Correction Ex9
Monsieur Buzu, votre responsable, vous demande de réaliser une étude sur le coût de revient de son contrat de location des locaux de l’entreprise. Cette étude portera sur les 6 premières années de vie de l’entreprise.La première année, le loyer annuel a été fixé à 27 600 € par an, Monsieur Buzu suppose que chaque année le loyer subit une augmentation de 3 %.
1) Calculer le loyer annuel de la deuxième année, de la troisième année et de la quatrième année.
La première année, le loyer annuel a été fixé à 27 600 € par an, Monsieur Buzu suppose que chaque année le loyer subit une augmentation de 3 %.
1) Calculer le loyer annuel de la deuxième année, de la troisième année et de la quatrième année.
Réponse
Le loyer annuel de la :
Le loyer annuel de la deuxième année est de : 28428€.
Le loyer annuel de la troisième année est de : 29280,84€.
Le loyer annuel de la quatrième année est de : 30159,27
2) On désigne par U1 le loyer de la 1ère année (U1 = 27 600),
par U2 le loyer de la 2ième année,
par U3 le loyer de la 3ième année…,
par Un le loyer de la nième année.
a) Montrer que les 4 nombres U1 , U2 , U3 et U4 pris dans cet ordre, sont les 4 premiers termes d’une suite géométrique Un dont on précisera la raison.
Réponse
La nature de la suite : La suite est-elle géométrique ?
Voir Récapitulatif :
La suite est une suite géométrique du premier terme : U1= 27600€ et de raison q= 1,03
b) Calculer U10 ( Arrondir à 0,01).
Réponse
On utilise le terme générale : 𝑽n = 𝑽1×q(n-1)
Avec la lettre U : Un = U1×q(n-1)
U1 = 27600€ et q= 1,03 👉 U10 = U1 ´ q(10-1)
👉 U10 = 27600 ´ 1,03(10-1) 👉 U10 = 36011,74
(D’après sujet de Bac Pro Secrétariat Session septembre 2004)
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Application de la suite géométrique dans la résonance et réponse en fréquence
La suite géométrique est un outil mathématique fondamental qui trouve des applications dans divers domaines de la science et de l'ingénierie. Une de ses applications les plus intéressantes et significatives se situe dans l'étude de la résonance et de la réponse en fréquence. La résonance est un phénomène qui se produit lorsque les systèmes oscillatoires sont soumis à des forces périodiques et que l'amplitude des oscillations atteint un maximum. La réponse en fréquence, quant à elle, décrit la manière dont un système répond à différentes fréquences de stimulation. L'utilisation des suites géométriques permet de modéliser et de comprendre ces phénomènes complexes de manière précise et efficace.
Pour commencer, il est essentiel de comprendre ce qu'est la résonance. La résonance se produit dans les systèmes oscillatoires, tels que les circuits électriques, les structures mécaniques ou les ondes acoustiques, lorsque la fréquence d'excitation correspond à une fréquence naturelle du système. À cette fréquence particulière, appelée fréquence de résonance, le système absorbe un maximum d'énergie, ce qui se traduit par une augmentation significative de l'amplitude des oscillations. Ce phénomène peut être bénéfique, comme dans le cas des instruments de musique, ou potentiellement destructeur, comme dans le cas des ponts et des bâtiments soumis à des vibrations.
Un exemple typique est celui d'un circuit RLC (résistance, inductance, capacitance) en série, qui est un modèle de base pour l'étude de la résonance en électronique. La fonction de transfert pour un tel circuit est donnée par :
La magnitude de cette fonction de transfert atteint un maximum lorsque la partie imaginaire du dénominateur est nulle, c'est-à-dire lorsque .
La fréquence à laquelle cela se produit est la fréquence de résonance , donnée par :
La suite géométrique intervient dans l'analyse des systèmes résonants et de leur réponse en fréquence, en particulier lorsqu'on examine des signaux périodiques ou quasi-périodiques. Considérons un signal périodique composé de multiples harmoniques. La décomposition de Fourier permet de représenter ce signal comme une somme de sinus et de cosinus de différentes fréquences, chacune étant une multiple de la fréquence fondamentale. Lorsque ce signal est appliqué à un système résonant, la réponse de chaque harmonique peut être analysée en termes de suite géométrique, car chaque harmonique sera amplifiée ou atténuée selon la fonction de transfert du système.
Par exemple, si un système a une fréquence de résonance , la réponse à une excitation de fréquence (où est un entier) peut être vue comme une suite géométrique de termes amplifiés ou atténués. La résonance se produira non seulement à mais aussi à ses harmoniques , etc., bien que généralement avec une amplitude décroissante. L'analyse de cette réponse harmonique permet de comprendre comment le système filtre les différentes composantes fréquentielles, une connaissance essentielle dans la conception de résonateurs et de filtres.
La résonance mécanique dans les structures, comme les ponts ou les bâtiments, est un autre domaine où la suite géométrique et la décomposition exponentielle sont cruciales. Les structures possèdent des fréquences naturelles de vibration, et lorsqu'elles sont soumises à des forces périodiques, telles que des vents ou des séismes, elles peuvent entrer en résonance. Une compréhension précise de ces phénomènes est essentielle pour prévenir les catastrophes, comme illustré par l'effondrement du pont de Tacoma en 1940.
Les ingénieurs utilisent des suites géométriques et des fonctions de transfert pour analyser les réponses en fréquence des structures. En modélisant une structure comme un système de masses et de ressorts, les équations de mouvement peuvent être résolues pour trouver les fréquences naturelles et les modes de vibration. Ces informations sont ensuite utilisées pour concevoir des structures qui évitent les fréquences de résonance dangereuses ou pour ajouter des dispositifs d'amortissement qui dissipent l'énergie des oscillations résonantes.
Dans le domaine acoustique, la résonance et la réponse en fréquence sont également fondamentales. Les instruments de musique, les salles de concert et les dispositifs audio sont conçus pour optimiser la résonance à certaines fréquences et atténuer les autres. Par exemple, un violon a une caisse de résonance qui amplifie certaines fréquences pour produire un son riche et puissant. De même, les haut-parleurs sont conçus pour avoir une réponse en fréquence plate sur une large gamme de fréquences afin de reproduire le son de manière fidèle.
La suite géométrique est utilisée pour analyser les harmoniques et les résonances dans ces systèmes acoustiques. En utilisant la transformée de Fourier, les ingénieurs peuvent décomposer un son en ses composantes fréquentielles et analyser comment chaque composante est amplifiée ou atténuée par la structure résonante. Cette analyse est essentielle pour le design de systèmes acoustiques efficaces et pour l'optimisation de la qualité sonore.
Les suites géométriques jouent également un rôle dans les systèmes de communication, où la résonance et la réponse en fréquence déterminent la performance des circuits de filtrage et des antennes. Par exemple, dans la conception des filtres passe-bande, les ingénieurs doivent s'assurer que le filtre a une réponse en fréquence qui permet le passage des fréquences souhaitées tout en rejetant les autres. La suite géométrique est utilisée pour modéliser et analyser ces réponses, permettant la conception de filtres efficaces qui maximisent la transmission du signal utile tout en minimisant le bruit et les interférences.
En résumé, la suite géométrique et la décomposition exponentielle sont des outils mathématiques essentiels pour l'étude de la résonance et de la réponse en fréquence. Que ce soit en électronique, en mécanique, en acoustique ou en communication, ces concepts permettent de modéliser, analyser et optimiser les systèmes pour atteindre des performances souhaitées. La compréhension de la résonance permet de concevoir des systèmes qui tirent parti des effets résonants bénéfiques tout en évitant les conséquences potentiellement destructrices, tandis que l'analyse de la réponse en fréquence assure une performance optimale dans un large éventail d'applications.