Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths Terminale Bac Pro 

Suite Géométrique:  Exercice 10

Suites géométriques: Sujet Ex10

On fait l'hypothèse que la hausse annuelle du paquet de cigarettes s'élève à 12 %.

On désigne par  C₁  = 936 €  le coût du tabac pour l'année 2002 pour un fumeur.

1. Déterminer C₂   le coût du tabac pour l'année 2003.

2. Déterminer C₃   le coût du tabac pour l'année 2004.

3. Déterminer C₄  le coût du tabac pour l'année 2005.

4. Déterminer C₅  le coût du tabac pour l'année 2006.

5. La suite des nombres C₁  , C₂ ,C₃ , C₄ , C₅ forment-ils les termes d'une suite géométrique ?

Si oui, Déterminer la raison et donner le premier terme.

6. Exprimer C_n , coût du tabac pour l'année (2001 + n), en fonction de C₁ et de n.

7. Déterminer la somme payée en 2015

8. Déterminer la somme payée en 2020

9. Déterminer le coût total des cigarettes de 2002 à 2020.

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Application de la suite géométrique dans La Transformée de Laplace

La transformée de Laplace est un outil mathématique fondamental largement utilisé dans l'analyse des systèmes linéaires et dans la résolution des équations différentielles. Cette méthode transforme des fonctions temporelles en une forme algébrique plus facile à manipuler, ce qui permet de résoudre des problèmes complexes de manière plus simple et plus intuitive. La suite géométrique joue un rôle crucial dans la compréhension et l'application de la transformée de Laplace, notamment dans l'analyse des séries infinies et des systèmes dynamiques. Cet essai explore l'application de la suite géométrique dans le contexte de la transformée de Laplace, en soulignant son importance et ses nombreuses utilisations pratiques.

Pour comprendre comment la suite géométrique s'intègre dans la transformée de Laplace, il est essentiel de commencer par définir la transformée elle-même. La transformée de Laplace d'une fonction 𝑓(𝑡) est définie par l'intégrale suivante :

$\mathcal{𝐿}\{𝑓(𝑡)\}=𝐹(𝑠)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{𝑒}^{-𝑠𝑡}𝑓(𝑡)𝑑𝑡$

où 𝑠 est un paramètre complexe. Cette transformation convertit une fonction de temps 𝑓(𝑡) en une fonction de 𝑠, offrant ainsi une nouvelle perspective sur le comportement temporel de la fonction originale.

Une des propriétés fondamentales de la transformée de Laplace est sa capacité à convertir des équations différentielles en équations algébriques. Par exemple, la transformée de Laplace d'une dérivée première 𝑓′(𝑡) est donnée par :

$\mathcal{𝐿}\{{𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑡)\}=𝑠𝐹(𝑠)-𝑓(0)$

et celle d'une dérivée seconde ${𝑓}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(𝑡)$ est :

$\mathcal{𝐿}\{{𝑓}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(𝑡)\}={𝑠}^2𝐹(𝑠)-𝑠𝑓(0)-{𝑓}^{\mathrm{\prime }}(0)$

Ces relations permettent de transformer des équations différentielles compliquées en équations polynomiales plus simples à résoudre.

La suite géométrique intervient dans la transformée de Laplace lorsqu'on analyse des fonctions qui peuvent être exprimées sous forme de séries infinies. Une série géométrique est une série infinie de la forme :

${\sum }_{𝑛=0}^{\mathrm{\infty }}𝑎{𝑟}^{𝑛}$

où $𝑎$ est le premier terme et $𝑟$ est le ratio commun. La série géométrique converge si $\mathrm{\mid }𝑟\mathrm{\mid }<1$ et sa somme est donnée par :

${\sum }_{𝑛=0}^{\mathrm{\infty }}𝑎{𝑟}^{𝑛}=\frac{𝑎}{1-𝑟}$

Cette propriété est particulièrement utile dans le contexte de la transformée de Laplace pour analyser et simplifier des séries infinies.

Prenons un exemple simple pour illustrer cette application. Considérons la fonction exponentielle ${𝑒}^{𝑎𝑡}$. La transformée de Laplace de ${𝑒}^{𝑎𝑡}$ est donnée par :

$\mathcal{𝐿}\{{𝑒}^{𝑎𝑡}\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{𝑒}^{-𝑠𝑡}{𝑒}^{𝑎𝑡}𝑑𝑡={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{𝑒}^{-(𝑠-𝑎)𝑡}𝑑𝑡$

Cette intégrale est une forme de série géométrique où $𝑟={𝑒}^{-(𝑠-𝑎)𝑡}$. En intégrant, nous obtenons :

$\mathcal{𝐿}\{{𝑒}^{𝑎𝑡}\}=\frac{1}{𝑠-𝑎}$

Cela montre comment la transformée de Laplace utilise les propriétés des séries géométriques pour simplifier l'analyse des fonctions exponentielles.

Une autre application cruciale de la suite géométrique dans la transformée de Laplace est l'analyse des systèmes linéaires, en particulier les circuits électriques et les systèmes mécaniques. Par exemple, considérons un circuit RC série composé d'une résistance 𝑅 et d'une capacité 𝐶. L'équation différentielle qui décrit la tension 𝑉(𝑡) à travers le condensateur est :

$𝑅𝐶\frac{𝑑𝑉(𝑡)}{𝑑𝑡}+𝑉(𝑡)={𝑉}_{\text{in}}(𝑡)$

où ${𝑉}_{\text{in}}(𝑡)$ est la tension d'entrée. En appliquant la transformée de Laplace, cette équation devient :

$𝑅𝐶𝑠𝑉(𝑠)+𝑉(𝑠)={𝑉}_{\text{in}}(𝑠)$

Cette équation algébrique peut être résolue pour $𝑉(𝑠)$ :

$𝑉(𝑠)=\frac{{𝑉}_{\text{in}}(𝑠)}{𝑅𝐶𝑠+1}$

La réponse en fréquence de ce circuit est une fonction rationnelle de 𝑠, qui peut être analysée en utilisant des concepts de séries géométriques pour déterminer le comportement du système à différentes fréquences.

De plus, les séries géométriques sont utilisées pour développer des solutions approximatives des systèmes dynamiques lorsque les solutions exactes sont difficiles à obtenir. Par exemple, la solution d'une équation différentielle non linéaire peut être approchée en développant la fonction en une série de Taylor, puis en utilisant la transformée de Laplace pour résoudre chaque terme de la série. Une fois les solutions des termes individuels obtenues, la série géométrique peut être utilisée pour reconstruire la solution approximative globale.

Un autre domaine où la suite géométrique et la transformée de Laplace sont étroitement liés est le contrôle des systèmes. Les ingénieurs utilisent fréquemment la transformée de Laplace pour analyser la stabilité et la réponse temporelle des systèmes de contrôle. En particulier, la fonction de transfert d'un système de contrôle est souvent une série géométrique d'expressions rationnelles. Par exemple, considérons un système de contrôle en boucle fermée avec une fonction de transfert :

$𝐻(𝑠)=\frac{𝐾}{𝑠(𝑇𝑠+1)}$

où 𝐾 est le gain du système et 𝑇 est une constante de temps. En analysant cette fonction de transfert, nous pouvons déterminer les pôles et les zéros du système, qui sont cruciaux pour comprendre la stabilité et la performance du système.

La suite géométrique est également utilisée pour résoudre des équations intégrales en utilisant la transformée de Laplace. Les équations intégrales apparaissent souvent dans des problèmes de physique et d'ingénierie, où une fonction est définie en termes de son intégrale. En appliquant la transformée de Laplace à une équation intégrale, nous transformons l'intégrale en une somme infinie de termes. Ces termes peuvent être analysés comme une série géométrique pour obtenir une solution fermée de l'équation.

Un exemple classique est l'équation intégrale de Volterra, qui a la forme :

$𝑓(𝑡)=𝑔(𝑡)+{\int }_0^{𝑡}𝐾(𝑡-𝜏)𝑓(𝜏)𝑑𝜏$

En appliquant la transformée de Laplace, nous obtenons :

$𝐹(𝑠)=𝐺(𝑠)+𝐾(𝑠)𝐹(𝑠)$

où $𝐹(𝑠)$, $𝐺(𝑠)$, et $𝐾(𝑠)$ sont les transformées de Laplace de $𝑓(𝑡)$, $𝑔(𝑡)$, et $𝐾(𝑡)$, respectivement. En réarrangeant cette équation, nous obtenons :

$𝐹(𝑠)=\frac{𝐺(𝑠)}{1-𝐾(𝑠)}$

Cette expression est une forme de série géométrique, et nous pouvons utiliser les propriétés des séries géométriques pour analyser et résoudre l'équation intégrale.

Enfin, la suite géométrique et la transformée de Laplace sont utilisées dans l'analyse des signaux et des systèmes, en particulier dans le domaine du traitement du signal. Les ingénieurs en traitement du signal utilisent fréquemment la transformée de Laplace pour analyser les systèmes de filtrage et de modulation. Par exemple, un filtre passe-bas peut être décrit par une fonction de transfert qui est une série géométrique de termes rationnels. En utilisant la transformée de Laplace, nous pouvons déterminer la réponse impulsionnelle et la réponse en fréquence du filtre, ce qui est essentiel pour concevoir des systèmes de communication efficaces.

En conclusion, la suite géométrique joue un rôle essentiel dans l'application de la transformée de Laplace, offrant des outils mathématiques puissants pour analyser et résoudre des problèmes complexes dans divers domaines de la science et de l'ingénierie. Que ce soit dans l'analyse des systèmes linéaires, la résolution des équations différentielles et intégrales, le contrôle des systèmes ou le traitement du signal, la combinaison de la suite géométrique et de la transformée de Laplace permet de simplifier les calculs, de fournir des solutions exactes ou approximatives, et d'optimiser les performances des systèmes. Cette synergie entre les deux concepts est un exemple parfait de l'élégance et de l'efficacité des méthodes mathématiques dans la résolution de problèmes pratiques.

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