Maths Terminale Bac Pro
Suite Géométrique: Exercice 6
Suites géométriques: Sujet Ex6
On le dépose le 1er avril dans une mare.
a. Quelle aire aura-t-il le 2 avril ? le 3 avril, le 4 avril ?
b. On désigne par Tn = l'aire du nénuphar n jours après le 1er avril.
Déterminer: T1 , T2, T3, T4, T5 et T6.
c. Quelle est la nature de la suite dont T1 , T2, T3, T4, ...... Tn, sont les termes consécutifs ?
d. Exprimer Tn en fonction de n.
e. Quelle aire (arrondie à 0,1 m² ) aura le nénuphar le 30 avril ?
f. Quelle aire (arrondie à 0,1 m² ) aura le nénuphar le 2 mai ?
g. En s'aidant de la calculatrice, déterminer la date à laquelle le nénuphar aura atteint une aire de 61,44 cm².
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Suites Géométriques et Applications dans la compression de données
La compression de données est une technique essentielle en informatique visant à réduire la taille des fichiers et des flux de données pour optimiser le stockage et la transmission. Une suite géométrique joue un rôle crucial dans plusieurs algorithmes de compression efficaces, notamment dans les techniques de codage entropique comme le codage de Huffman et le codage arithmétique. Ces méthodes exploitent les propriétés des suites géométriques pour représenter les données de manière plus compacte, en fonction de leur fréquence d'apparition.
La suite géométrique, caractérisée par une croissance ou une décroissance exponentielle, est utilisée pour modéliser la distribution des symboles dans les algorithmes de compression. Dans une suite géométrique, chaque terme est le produit du terme précédent par une constante, appelée ratio. Cette propriété est particulièrement utile pour le codage des symboles dont la fréquence suit une distribution géométrique ou proche de celle-ci.
Le codage arithmétique est une autre technique de compression sans perte qui utilise des principes de suites géométriques. Contrairement au codage de Huffman, qui attribue des codes de longueur fixe ou variable à chaque symbole, le codage arithmétique représente l'ensemble du message par un seul nombre dans l’intervalle [0,1]. Ce nombre est ensuite encodé en une suite de bits. Le codage arithmétique divise récursivement l’intervalle en sous-intervalles proportionnels aux probabilités des symboles. Si les probabilités des symboles suivent une distribution géométrique, la taille des sous-intervalles suit également une suite géométrique. Ainsi, chaque symbole rétrécit l’intervalle de manière exponentielle, ce qui permet une compression très efficace, notamment pour des sources de données avec une distribution de fréquence qui décroît rapidement.
Une application spécifique de la suite géométrique dans la compression de données est le codage Golomb-Rice, souvent utilisé dans la compression d'images et de sons. Le codage Golomb est une méthode de codage entropique qui est particulièrement efficace lorsque les valeurs à coder suivent une distribution géométrique. Le paramètre de codage, déterminé par la fréquence des valeurs, est utilisé pour diviser l'intervalle des valeurs possibles en groupes de tailles géométriques. Les valeurs sont ensuite codées en deux parties : un préfixe représentant le groupe auquel appartient la valeur et un suffixe indiquant la position de la valeur dans le groupe. Le codage Rice est une variante simplifiée du codage Golomb, où le paramètre est une puissance de deux, ce qui facilite le calcul et la mise en œuvre. Cette méthode est efficace pour compresser des données comme les coefficients de transformation dans la compression d'images JPEG-LS ou les résidus de prédiction dans la compression vidéo.
En traitement de signal, les suites géométriques sont utilisées pour la quantification des coefficients dans les transformées comme la Transformée Discrète de Fourier (DFT) ou la Transformée en Cosinus Discrète (DCT). Dans les systèmes de compression d'images et de vidéos, ces transformées sont appliquées pour convertir les signaux spatiaux en signaux fréquentiels. Les coefficients de ces transformées suivent souvent une distribution où les amplitudes décroissent géométriquement. En utilisant une suite géométrique pour modéliser cette décroissance, les algorithmes de compression peuvent quantifier les coefficients de manière plus efficace, en allouant plus de bits aux coefficients de grande amplitude et moins de bits aux coefficients de faible amplitude. Cette quantification basée sur une suite géométrique permet de réduire la taille des données sans perdre significativement en qualité.
Les suites géométriques sont également pertinentes dans les algorithmes de compression basés sur les chaînes de Markov. Dans ces modèles, la probabilité de transition entre les états peut suivre une distribution géométrique, surtout dans les cas où certaines transitions sont beaucoup plus probables que d'autres. Les algorithmes de compression utilisant des modèles de chaînes de Markov exploitent cette propriété pour prédire les symboles futurs et coder les données de manière plus efficace. Par exemple, dans la compression de texte, les séquences de caractères peuvent être modélisées par des chaînes de Markov, où la probabilité d’apparition d’un caractère donné dépend des caractères précédents. Si ces probabilités de transition suivent une suite géométrique, le modèle peut compresser les données en exploitant cette régularité, en réduisant ainsi la redondance.
Dans les réseaux de communication, la compression des données est essentielle pour optimiser l'utilisation de la bande passante et réduire les temps de latence. Les algorithmes de compression basés sur des suites géométriques peuvent être appliqués pour compresser les paquets de données avant transmission. Par exemple, dans les systèmes de transmission de données sans fil, les paquets de données peuvent être compressés en utilisant des techniques comme le codage arithmétique ou le codage Golomb-Rice, en fonction de la distribution des valeurs des données. La suite géométrique permet de modéliser la probabilité de distribution des symboles, ce qui améliore l’efficacité de la compression et permet une transmission plus rapide et plus fiable des données.
Les algorithmes de compression de données utilisant des suites géométriques sont également appliqués dans les systèmes de stockage, comme les bases de données et les systèmes de fichiers. Les bases de données compressent souvent les champs de données pour économiser de l’espace de stockage et améliorer la performance des requêtes. Par exemple, dans les bases de données column-store, les valeurs des colonnes peuvent être compressées en utilisant des algorithmes comme le codage de Huffman ou le codage Golomb-Rice, où les fréquences des valeurs suivent une distribution géométrique. Cela permet de stocker les données de manière plus compacte et d’accélérer les opérations de lecture et d’écriture.
En résumé, la suite géométrique joue un rôle essentiel dans divers algorithmes de compression de données en exploitant les propriétés de croissance ou de décroissance exponentielle pour modéliser la distribution des symboles. Que ce soit dans le codage de Huffman, le codage arithmétique, le codage Golomb-Rice, ou dans la quantification des coefficients de transformées, les suites géométriques permettent d’optimiser la représentation des données en fonction de leur fréquence d’apparition. Cette optimisation conduit à une réduction significative de la taille des données, améliorant ainsi le stockage, la transmission et le traitement des informations dans divers domaines, y compris la compression d'images, de vidéos, de sons, et de textes.