Maths Terminale Bac Pro ; Suite Géométrique: Exercice 8

Maths Terminale Bac Pro 

Suite Géométrique:  Exercice 8

Suites géométriques: Sujet Ex8

Des élèves du Lycée Professionnel sont sollicités pour concevoir le logo ci-contre :


La sérigraphie par lots de 10 blousons suit un tarif dégressif.

Les prix des lots successifs forment une suite géométrique.

On note : U1 le prix hors taxe, en euros, du 1er lot, U2 celui du 2ème lot, etc.

1. On donne U1 = 20, U2 = 18 et U3 = 16,20. Calculer la raison q de cette suite.

2. Calculer le terme U4.

3. Calculer la somme des 18 premiers termes.

4. Cette somme calculée représente le prix hors taxe de la sérigraphie des 180 blousons.

Calculer le prix toutes taxes comprises des 18 lots sachant que la TVA appliquée est de 20 %.

..............................................................................................................
Voir  Cours    👉 Cours à trous      
Voir  Fiche d'aide    👉 Fiche d'aide 
Voir correction Ex.8   👉 Correction Ex8 
Revenir à la page de choix de l'exercice   👉 Choix d'un exercice
Passer à l'Ex.9   👉   Sujet Ex9
..............................................................................................................

La Suite Géométrique dans l'Arbres binaires de recherche (BTS)

Les arbres binaires de recherche (Binary Search Trees, BST) sont des structures de données fondamentales en informatique, utilisées pour implémenter des ensembles, des dictionnaires, et des priorités de manière efficace. Ils permettent des opérations de recherche, d'insertion et de suppression en temps logarithmique moyen, grâce à leur structure hiérarchique. La suite géométrique joue un rôle clé dans l'analyse de la performance des BST, notamment en ce qui concerne la hauteur de l'arbre et l'équilibre de ses nœuds.

Un arbre binaire de recherche est une structure de données arborescente où chaque nœud a au plus deux enfants, désignés comme enfant gauche et enfant droit. Pour chaque nœud, tous les nœuds de son sous-arbre gauche ont des valeurs inférieures à la valeur du nœud, et tous les nœuds de son sous-arbre droit ont des valeurs supérieures. Cette propriété permet d'effectuer des recherches de manière efficace : en commençant à la racine de l'arbre, on peut décider à chaque étape si l'on doit descendre à gauche ou à droite, réduisant ainsi l'espace de recherche de moitié à chaque étape, suivant une suite géométrique décroissante.

Considérons un BST construit à partir d'un ensemble de 𝑛 éléments insérés de manière aléatoire. La hauteur moyenne d'un tel arbre est O(log𝑛), ce qui garantit que les opérations de recherche, d'insertion et de suppression sont également 𝑂(log𝑛) en moyenne. Cela s'explique par le fait que chaque insertion divise l'ensemble des éléments en deux sous-ensembles de tailles approximativement égales, suivant une suite géométrique.

Cependant, dans le pire des cas, lorsque les éléments sont insérés dans un ordre trié (ou inversement trié), le BST dégénère en une liste chaînée, avec une hauteur de 𝑛, rendant les opérations 𝑂(𝑛). Pour éviter ce scénario, diverses variantes équilibrées des BST ont été développées, telles que les arbres AVL, les arbres rouges-noirs, et les arbres B. Ces structures utilisent des mécanismes spécifiques pour maintenir la hauteur de l'arbre proportionnelle à log𝑛, en rééquilibrant l'arbre après chaque insertion ou suppression.

Les arbres AVL (Adelson-Velsky et Landis) sont l'une des premières structures de BST équilibrées. Dans un arbre AVL, la hauteur des deux sous-arbres de chaque nœud diffère d'au plus un. Pour maintenir cette propriété, des rotations sont effectuées après chaque opération d'insertion ou de suppression pour rééquilibrer l'arbre. La hauteur d'un arbre AVL est strictement 𝑂(log𝑛), car chaque rééquilibrage divise le problème en sous-problèmes de taille géométriquement décroissante.

Les arbres rouges-noirs sont une autre variante de BST équilibrés. Ils utilisent une coloration des nœuds (rouge ou noir) pour garantir que le chemin le plus long de la racine à une feuille n'est jamais plus de deux fois plus long que le chemin le plus court. Cette propriété permet de maintenir la hauteur de l'arbre à 𝑂(log𝑛). Les opérations d'insertion et de suppression peuvent nécessiter des rotations et des recolorations pour conserver cette propriété, mais elles restent 𝑂(log𝑛) en moyenne.

Les arbres B sont des arbres de recherche équilibrés conçus pour minimiser les accès disque, particulièrement utiles pour les bases de données et les systèmes de fichiers. Un arbre B de degré 𝑑 est un arbre où chaque nœud a entre 𝑑 et 2𝑑 enfants. , car chaque niveau de l'arbre divise le nombre d'éléments
par un facteur de 𝑑, suivant une suite géométrique. Les opérations de recherche, d'insertion et de suppression dans les arbres B sont également 𝑂log𝑑𝑛).

Dans le contexte des réseaux et des communications, les BST et leurs variantes équilibrées sont utilisés pour implémenter des tables de routage et des structures de données pour les protocoles de réseau. Les protocoles de routage utilisent des arbres de recherche pour maintenir et mettre à jour les informations de routage de manière efficace, garantissant des temps de recherche logarithmiques pour trouver les routes optimales.

En biologie computationnelle, les BST sont utilisés pour organiser et rechercher des séquences génétiques. Les arbres phylogénétiques, qui représentent les relations évolutives entre différentes espèces, sont construits et analysés à l'aide de techniques basées sur les BST. Les recherches de motifs et les alignements de séquences bénéficient également des performances logarithmiques des BST équilibrés.

Les applications des BST et de leurs variantes s'étendent également aux moteurs de recherche et aux systèmes de récupération d'information. Les moteurs de recherche utilisent des structures d'arbres pour indexer les documents et les termes, permettant des recherches rapides et efficaces dans de grandes bases de données textuelles. Les arbres inversés et les arbres suffixes sont couramment utilisés pour cette tâche.

En intelligence artificielle, les BST sont utilisés pour implémenter des arbres de décision et des arbres de recherche heuristique. Les arbres de décision permettent de modéliser et de résoudre des problèmes de classification et de prédiction en utilisant une structure hiérarchique de décisions. Les arbres de recherche heuristique, comme les arbres A* et les arbres minimax, sont utilisés pour résoudre des problèmes de planification et de jeu en explorant efficacement les espaces de recherche.

Les algorithmes de compression de données, tels que les arbres de Huffman, utilisent également des principes basés sur les BST. L'algorithme de Huffman construit un arbre binaire de codes optimaux pour la compression sans perte, en garantissant que les symboles les plus fréquents ont les codes les plus courts. Cette construction repose sur une décomposition géométrique des fréquences des symboles.

En robotique et en traitement d'images, les BST et leurs variantes sont utilisés pour organiser et rechercher des informations spatiales. Les arbres k-d (k-dimensional) sont une extension des BST pour les espaces multidimensionnels, permettant des opérations efficaces de recherche et de partitionnement dans des environnements à plusieurs dimensions.

Les systèmes de gestion de bases de données relationnelles (SGBDR) utilisent des BST équilibrés, tels que les arbres B et les arbres B+, pour organiser et indexer les données sur disque. Les index basés sur des arbres permettent des accès rapides et efficaces aux données, en minimisant les lectures et écritures sur disque.

En finance, les BST sont utilisés pour modéliser et analyser les marchés financiers. Les arbres de décision et les arbres de recherche sont utilisés pour optimiser les stratégies de trading et pour évaluer les options et les dérivés financiers.

Les applications des BST dans l'analyse de données et le machine learning sont également vastes. Les algorithmes de forêts aléatoires et de boosting utilisent des ensembles de BST pour améliorer les performances de classification et de régression. Les arbres de décision sont des composants essentiels des algorithmes de machine learning supervisés, permettant de modéliser des relations complexes entre les variables d'entrée et de sortie.

En résumé, les arbres binaires de recherche et leurs variantes équilibrées sont des outils puissants pour organiser, rechercher et manipuler des données de manière efficace. La suite géométrique joue un rôle crucial dans l'analyse de leurs performances, garantissant des opérations logarithmiques dans la plupart des cas. De la gestion des bases de données à l'intelligence artificielle, en passant par la biologie computationnelle et les réseaux de communication, les BST trouvent des applications dans de nombreux domaines, démontrant leur importance et leur polyvalence en informatique et au-delà.

..............................................................................................................
Voir  Cours    👉 Cours à trous      
Voir  Fiche d'aide    👉 Fiche d'aide 
Voir correction Ex.8   👉 Correction Ex8 
Revenir à la page de choix de l'exercice   👉 Choix d'un exercice
Passer à l'Ex.9   👉   Sujet Ex9
..............................................................................................................