Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

Maths Terminale Bac Pro 

Suite Géométrique:  Exercice 9

Suites géométriques: Sujet Ex9

Monsieur Buzu, votre responsable, vous demande de réaliser une étude sur le coût de revient de son contrat de location des locaux de l’entreprise. Cette étude portera sur les 6 premières années de vie de l’entreprise.

La première année, le loyer annuel a été fixé à 27 600 € par an, Monsieur Buzu suppose que chaque année le loyer subit une augmentation de 3 %.

1) Calculer le loyer annuel de la deuxième année, de la troisième année et de la quatrième année.

2) On désigne par U₁ le loyer de la 1ère année (U₁ = 27 600),

par U₂  le loyer de la 2ième année,

par U₃  le loyer de la 3ième année…,

par U_n  le loyer de la nième année.

a) Montrer que les 4 nombres U₁ , U₂ , U₃ et U₄ pris dans cet ordre, sont les 4 premiers termes d’une suite géométrique Un dont on précisera la raison.

b) Calculer U₁₀ ( Arrondir à 0,01).

3) Quel sera le loyer annuel de la dixième année ?

(D’après sujet de Bac Pro Secrétariat Session septembre 2004).

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La Suite Géométrique dans La décomposition exponentielle

La décomposition exponentielle est un concept mathématique qui trouve des applications dans divers domaines scientifiques et technologiques. Elle est utilisée pour modéliser des processus naturels où des quantités diminuent de manière proportionnelle à leur valeur actuelle, suivant une loi exponentielle. La suite géométrique joue un rôle clé dans la compréhension et l'application de la décomposition exponentielle, permettant de décrire des phénomènes aussi divers que la désintégration radioactive, l'atténuation des signaux, le refroidissement des objets, et la dynamique des populations. Cet essai explore les applications de la suite géométrique dans la décomposition exponentielle, mettant en lumière sa pertinence et son utilité.

La décomposition exponentielle peut être décrite par une équation différentielle simple :

$\frac{𝑑𝑁}{𝑑𝑡}=-𝜆𝑁$

où $𝑁$ est la quantité de la substance ou de la population, $𝑡$ est le temps, et $𝜆$ est une constante positive appelée taux de décomposition. La solution à cette équation est :

$𝑁(𝑡)={𝑁}_0{𝑒}^{-𝜆𝑡}$

où ${𝑁}_0$ est la quantité initiale. Cette formule montre que la quantité $𝑁$ diminue de manière exponentielle au fil du temps, ce qui est une manifestation directe de la suite géométrique.

Un des exemples les plus connus de décomposition exponentielle est la désintégration radioactive. Les isotopes radioactifs se désintègrent selon une loi exponentielle, avec leur nombre de noyaux diminuant de moitié après chaque période appelée demi-vie. La demi-vie 𝑇1/2 est liée à la constante de décomposition

$𝜆$ par la relation :

${𝑇}_{1\mathrm{/}2}=\frac{\ln 2}{𝜆}$

La suite géométrique intervient ici car, après chaque intervalle de demi-vie, le nombre de noyaux restants est divisé par deux, formant une suite géométrique où chaque terme est la moitié du précédent. Cette propriété permet de prédire avec précision la quantité de substance radioactive restante après un certain temps, ce qui est crucial pour des applications en médecine nucléaire, en gestion des déchets nucléaires, et en datation radiométrique.

L'atténuation des signaux est une autre application de la décomposition exponentielle. Lorsqu'un signal se propage à travers un milieu, son amplitude diminue de manière exponentielle en raison de la perte d'énergie. Cela est particulièrement pertinent dans les domaines des télécommunications et de l'acoustique. Par exemple, l'intensité d'un signal lumineux qui traverse une substance absorbante suit la loi de Beer-Lambert :

$𝐼(𝑥)={𝐼}_0{𝑒}^{-𝛼𝑥}$

où $𝐼(𝑥)$ est l'intensité du signal à une distance $𝑥$, ${𝐼}_0$

est l'intensité initiale, et 𝛼 est le coefficient d'absorption. Cette relation montre que l'intensité du signal diminue exponentiellement avec la distance parcourue, formant ainsi une suite géométrique en termes de distance.

Le refroidissement des objets est également modélisé par une décomposition exponentielle, souvent décrite par la loi de refroidissement de Newton. Selon cette loi, le taux de perte de chaleur d'un objet est proportionnel à la différence de température entre l'objet et son environnement. La température

$𝑇(𝑡)$ d'un objet au fil du temps peut être exprimée comme :

$𝑇(𝑡)={𝑇}_{\text{env}}+({𝑇}_0-{𝑇}_{\text{env}}){𝑒}^{-𝜆𝑡}$

où ${𝑇}_{\text{env}}$ est la température de l'environnement, ${𝑇}_0$ est la température initiale de l'objet, et $𝜆$ est une constante dépendant des propriétés thermiques de l'objet et du milieu environnant. La diminution exponentielle de la température suit une suite géométrique, permettant de prédire la température de l'objet à tout moment.

En biologie, la décomposition exponentielle est utilisée pour modéliser la dynamique des populations, notamment la mortalité. Si une population diminue à un taux constant proportionnel à sa taille actuelle, elle suit une décomposition exponentielle. Cela peut être exprimé par la formule :

$𝑃(𝑡)={𝑃}_0{𝑒}^{-𝜆𝑡}$

où $𝑃(𝑡)$ est la taille de la population à un temps $𝑡$, ${𝑃}_0$ est la taille initiale, et $𝜆$ est le taux de mortalité. Cette relation est particulièrement utile pour étudier les populations de bactéries, de cellules, ou d'animaux dans des environnements contrôlés.

En finance, la décomposition exponentielle est appliquée dans la modélisation de la valeur temporelle de l'argent. La dépréciation de la valeur d'un actif ou le taux de décroissance de certaines obligations peut être modélisé par une formule exponentielle. Par exemple, la valeur présente 𝑉(𝑡) d'un montant futur 𝑉0

avec un taux de dépréciation $𝑟$

$𝑉(𝑡)={𝑉}_0{𝑒}^{-𝑟𝑡}$

Cette formule montre comment la valeur d'un montant initial diminue de manière exponentielle avec le temps, en fonction du taux de dépréciation, formant une suite géométrique.

Dans le domaine de la pharmacocinétique, la décomposition exponentielle est utilisée pour décrire l'élimination des médicaments dans le corps. La concentration 𝐶(𝑡) d'un médicament dans le sang à un moment donné est souvent modélisée comme :

$𝐶(𝑡)={𝐶}_0{𝑒}^{-𝜆𝑡}$

où ${𝐶}_0$ est la concentration initiale et $𝜆$ est le taux d'élimination. Cette relation exponentielle permet de déterminer la demi-vie du médicament, de planifier les dosages, et de comprendre la dynamique de l'absorption et de l'élimination des médicaments.

Les systèmes mécaniques et électriques qui subissent une déperdition d'énergie ou un amortissement peuvent également être modélisés par des décompositions exponentielles. Par exemple, un oscillateur harmonique amorti, tel qu'un pendule ou un circuit RLC, voit son amplitude décroître exponentiellement en raison de la friction ou de la résistance électrique. La formule décrivant cette décroissance est :

$𝐴(𝑡)={𝐴}_0{𝑒}^{-𝛾𝑡}$

où $𝐴(𝑡)$ est l'amplitude à un temps $𝑡$, ${𝐴}_0$ est l'amplitude initiale, et $𝛾$ est la constante d'amortissement. Cette relation exponentielle est essentielle pour analyser les comportements des systèmes dynamiques sous l'effet de forces dissipatives.

En informatique et en traitement du signal, les algorithmes de filtrage et de lissage utilisent des concepts de décomposition exponentielle pour réduire le bruit et extraire des tendances sous-jacentes. Par exemple, un filtre passe-bas exponentiel applique une pondération décroissante de manière exponentielle aux valeurs passées pour lisser un signal temporel. La formule d'un tel filtre est :

${𝑦}_{𝑡}=𝛼{𝑥}_{𝑡}+(1-𝛼){𝑦}_{𝑡-1}$

où ${𝑦}_{𝑡}$ est la valeur lissée à un temps $𝑡$, ${𝑥}_{𝑡}$ est la valeur observée, et $𝛼$ est un paramètre de lissage. Ce processus utilise une suite géométrique pour pondérer les valeurs passées, permettant de supprimer les variations rapides tout en conservant les tendances globales.

Les algorithmes d'apprentissage automatique et de réseaux de neurones récurrents utilisent également des décompositions exponentielles pour la régularisation et le déclin des poids. Par exemple, dans le cas du déclin exponentiel du taux d'apprentissage, la formule est :

${𝜂}_{𝑡}={𝜂}_0{𝑒}^{-𝜆𝑡}$

où ${𝜂}_{𝑡}$ est le taux d'apprentissage à l'itération $𝑡$, ${𝜂}_0$ est le taux initial, et $𝜆$ est la constante de déclin. Cette approche permet de réduire progressivement le taux d'apprentissage au cours du temps, améliorant la convergence des algorithmes d'optimisation.

Enfin, dans le domaine de l'écologie, la décomposition exponentielle est utilisée pour modéliser la dégradation des matières organiques. La décomposition de la matière organique dans les sols suit souvent une loi exponentielle, permettant aux écologistes de prédire la décomposition de la litière et la libération de nutriments dans les écosystèmes. La formule est :

$𝑀(𝑡)={𝑀}_0{𝑒}^{-𝜆𝑡}$

où $𝑀(𝑡)$ est la masse de matière organique restante à un temps $𝑡$, ${𝑀}_0$ est la masse initiale, et $𝜆$ est le taux de décomposition.

En conclusion, la décomposition exponentielle, illustrée par la suite géométrique, est un concept fondamental qui trouve des applications dans une multitude de domaines. Elle permet de modéliser des processus de décroissance naturelle et artificielle, fournissant des outils mathématiques puissants pour analyser et prédire les comportements des systèmes dynamiques. Que ce soit en physique, en biologie, en finance, ou en ingénierie, la compréhension de la décomposition exponentielle est essentielle pour résoudre des problèmes complexes et développer des solutions innovantes.

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