Maths 1ère Bac Pro

Correction exercice 12 : Fonction , équation et inéquation du second degré ; Factorisation et tableau de signe.

Soit la fonction f(x) = 2x² + 16x + 40 définie sur [ 10 , 22 ].

Voir fiche d'aide 👉 Fonction et équation du second degré

a. Résoudre f(x) = 0.

f(x) = 0 👉 2x² + 16x + 40 = 0

Identifier les nombres a, b et c de l'équation du second degré :

2x² + 16x + 40 = 0 est de la forme ax² + bx + c = 0

👉 a = 2 b = 16 c = 40

Calculer le discriminant ( Delta ) et dire combien de solution s'elle existe:

👉 ê= b² - 4ac = 16²- 4×2×40 = -64

ê < 0 👉 pas de solution

👉 Calculer les solutions" après avoir rappeler les expressions des solutions" s'elles existent :

pas de solution

b. Factoriser " après avoir rappeler l'expression de la factorisation" la fonction du second degré f(x) = 2x² + 16x + 40

ê < 0 👉 pas de solution

👉 pas de factorisation

c. Donner le tableau de signe de la fonction du second degré f(x) = 2x² + 16x + 40

a = 2 donc le signe de a est positif « + »

d. En déduire du tableau de signe la ou les solutions "sous forme d'un intervalle " des inéquations suivantes s’elles existent :

1. f(x) < 0

D'après le tableau : f(x) < 0 n'existe pas 👉 donc pas de solution

2. f(x) ≤ 0

f(x) ≤ 0 est composé de f(x) < 0 et f(x) = 0.

D'après le tableau :
👉 f(x) < 0 n'existe pas 👉 donc pas de solution

👉 f(x) = 0 pas de solution

Donc f(x) ≤ 0 n'a pas de solution

3. f(x) > 0

D'après le tableau : f(x) > 0

lorsque x compris entre 10 et 22 :

👉 10 ≤ x ≤ 22

👉 x appartient à [10 ; 22 ]

👉 La solution est S = [ 10 ; 22 ]

Signifie que toute valeur entre 10 et 22 est solution ( 10 et 22 compris)

4. f(x) ≥ 0

f(x) ≥ 0 est composé de f(x) > 0 et f(x) = 0.

D'après le tableau :
👉 f(x) > 0 👉 La solution est S = [ 10 ; 22 ]

👉 f(x) = 0 👉 pas de solution

Donc f(x) ≥ 0 à pour solution S = [ 10 ; 22 ]

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Ce qu'il faut retenir : 👉 Récapitulatif
Revenir au choix de l'exercice 👉 Choix d'un exercice
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Equation de second degré dans le domaine de la Robotique : Planification de trajectoires pour les robots mobiles

Introduction

La robotique moderne repose sur des algorithmes sophistiqués pour permettre aux robots d'effectuer des tâches complexes de manière autonome. Parmi les défis rencontrés, la planification de trajectoires pour les robots mobiles est cruciale. Cet article explore comment l'équation de second degré, un outil mathématique puissant, est appliquée dans ce domaine pour calculer et optimiser les trajectoires de déplacement des robots.
Dans le domaine de la robotique, l'équation de second degré trouve des applications importantes dans la planification de trajectoires pour les robots mobiles. Cette discipline vise à déterminer les mouvements optimaux des robots dans leur environnement, en tenant compte des obstacles, des contraintes physiques du robot, et des objectifs spécifiques à atteindre.

Fondements de l'Équation de Second Degré

L'équation de second degré est une équation polynomiale généralement écrite sous la forme :
$ax^2 + bx + c = 0$
où $a$ , $b$ , et $c$ sont des constantes réelles avec $a \neq 0$ , et $x$ est la variable. Cette équation peut avoir deux solutions réelles, une solution double, ou des solutions complexes, selon la valeur du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$
En robotique, cette forme d'équation est utilisée pour modéliser divers aspects, y compris la cinématique des robots mobiles et la planification de trajectoires.

Application de l'Équation de Second Degré en Robotique

Modélisation de la Cinématique des Robots Mobiles:

Les robots mobiles suivent des trajectoires spécifiques pour se déplacer d'un point à un autre. En utilisant des équations de second degré, les ingénieurs peuvent modéliser la position, la vitesse et l'accélération du robot au fil du temps. Par exemple, pour un robot se déplaçant dans un environnement avec des contraintes spatiales, une équation quadratique peut décrire comment il ajuste sa trajectoire pour éviter les obstacles et atteindre sa destination.
L'équation de second degré intervient particulièrement dans la cinématique des robots mobiles, où elle est utilisée pour modéliser les trajectoires des robots sur le plan xy. Ce modèle permet de prédire avec précision la position et l'orientation du robot à tout moment, en fonction des vitesses de déplacement linéaire et angulaire.

Planification de Trajectoires Optimal:

La planification de trajectoires implique de déterminer le chemin le plus efficace et sûr pour un robot mobile. L'équation de second degré est utilisée pour calculer les trajectoires en tenant compte des contraintes dynamiques et environnementales. Par exemple, pour un robot naviguant dans un entrepôt, l'équation de second degré peut être employée pour ajuster sa vitesse et son orientation afin de minimiser les collisions et maximiser l'efficacité du déplacement.

Optimisation des Performances du Robot:

En résolvant des équations de second degré, les ingénieurs peuvent optimiser les performances des robots mobiles. Cela inclut la minimisation du temps de parcours, la maximisation de la précision de positionnement, et l'amélioration de la consommation d'énergie. Par exemple, en ajustant les paramètres dans l'équation de second degré, comme la vitesse initiale et l'accélération maximale, on peut optimiser la rapidité et la sécurité des mouvements du robot.

Modélisation Mathématique

Formulation de l'Équation de Second Degré pour la Planification de Trajectoires:

Pour modéliser la planification de trajectoires en utilisant l'équation de second degré, considérons un robot mobile se déplaçant dans un espace tridimensionnel. La position $\vec{r}(t)$ du robot à tout instant $t$ peut être décrite par des équations quadratiques dans les directions $x$ , $y$ et $z$ :
$x(t) = x_0 + v_{0x} \cdot t + \frac{1}{2} a_{x} t^2$
$y(t) = y_0 + v_{0y} \cdot t + \frac{1}{2} a_{y} t^2$
$z(t) = z_0 + v_{0z} \cdot t + \frac{1}{2} a_{z} t^2$
où $(x_0, y_0, z_0)$ sont les coordonnées initiales du robot, $(v_{0x}, v_{0y}, v_{0z})$ sont les composantes initiales de la vitesse, et $(a_{x}, a_{y}, a_{z})$ sont les accélérations dans chaque direction respective.

Analyse et Simulation:

En utilisant ces équations, les ingénieurs peuvent analyser comment les différentes trajectoires planifiées affectent le déplacement global du robot. Des simulations numériques permettent de visualiser les trajectoires et de tester différentes stratégies de planification, en optimisant ainsi les performances avant la mise en œuvre pratique.

Cas Pratique : Navigation Autonome d'un Robot Mobile:

Pour illustrer l'application de l'équation de second degré dans la robotique, considérons un cas où un robot mobile doit naviguer de manière autonome dans un environnement structuré. En utilisant des équations quadratiques, les ingénieurs peuvent modéliser comment le robot ajuste ses mouvements pour éviter les obstacles et atteindre des points spécifiques avec précision.
Un exemple courant d'application de l'équation de second degré en robotique est la planification de trajectoires pour les robots à roues. Pour un robot mobile à deux roues (comme un robot à deux roues motrices ou un Segway), l'équation de second degré peut être utilisée pour déterminer la trajectoire optimale en fonction des entrées de commande, telles que la vitesse linéaire et la vitesse angulaire.
Dans ce contexte, les formules mathématiques associées à l'équation de second degré comprennent des expressions pour calculer la position $(x, y)$ du robot en fonction du temps $t$ , ainsi que son orientation $\theta$ par rapport à un repère fixe. Ces calculs prennent en compte la dynamique du robot, y compris son inertie, les forces de frottement, et les effets des actions de commande telles que l'accélération et la décélération.
Un exemple général d'une telle équation utilisée en robotique pourrait être :
$x(t) = x_0 + v_0 \cos(\theta_0) t + \frac{1}{2} a \cos(\theta_0) t^2$
$y (t) = y_{0} + v_{0} \sin (θ_{0}) t + \frac{1}{2} a \sin (θ_{0}) t^{2}$
où $(x_0, y_0)$ est la position initiale du robot, $v_0$ est sa vitesse initiale, $\theta_0$ est son orientation initiale, $a$ est son accélération. Ces équations décrivent la trajectoire parabolique que suivrait le robot sous l'effet d'une accélération constante dans une direction donnée.
En robotique, la résolution de l'équation de second degré permet de planifier des trajectoires optimales pour éviter les obstacles et atteindre des positions spécifiques dans l'espace de manière efficace. Les algorithmes de planification de trajectoire, tels que l'algorithme A* ou les algorithmes basés sur les champs de potentiel, utilisent ces équations pour générer des séquences de mouvements pour le robot tout en respectant les contraintes de l'environnement et les capacités du robot.
En pratique, les ingénieurs en robotique utilisent des logiciels de simulation avancés et des techniques d'optimisation numérique pour résoudre ces équations et valider les trajectoires planifiées avant de les implémenter sur des robots réels. Cette approche garantit que les mouvements du robot sont sûrs, efficaces et adaptés aux conditions variables de l'environnement.

Application Numérique:

Sans entrer dans les détails numériques, l'analyse pourrait consister à calculer les trajectoires optimales en utilisant les équations de second degré dérivées des conditions initiales et des contraintes de l'environnement. Cela permettrait de démontrer comment l'utilisation de l'équation de second degré aide à améliorer la navigation autonome et à optimiser les performances du robot.

Conclusion:

L'équation de second degré offre une méthode robuste pour modéliser et planifier les trajectoires des robots mobiles en robotique. En permettant de calculer précisément les positions, vitesses et accélérations du robot à tout instant, cette approche facilite la conception et l'optimisation des systèmes de navigation autonome. L'application de cette méthode enrichit notre compréhension des capacités des robots mobiles et ouvre la voie à de nouvelles innovations dans des domaines tels que l'automatisation industrielle, la logistique intelligente et la robotique de service. En intégrant l'équation de second degré dans les algorithmes de planification de trajectoires, les ingénieurs peuvent développer des robots mobiles plus efficaces, sûrs et adaptatifs pour répondre aux défis complexes du monde moderne.