Maths Terminal Bac Pro ; Fonction dérivée : Partie 1 Exercice.15

 Maths 1ère Bac Pro  

Correction exercice 2 : Fonction ,  équation et inéquation du second degré ; Factorisation et tableau de signe.

Soit la   fonction     f(x) = 2x² + 18x + 28    définie sur [ -15 , 0 ].

Voir fiche d'aide 👉   Fonction et équation du second degré

 a.      Résoudre  f(x) =  0.

          f(x) =  0           👉          2x² + 18x + 28   = 0      

Identifier les nombres a, b et c de l'équation du second degré :

 2x² + 18x + 28     = 0      est de la forme   ax² + bx + c  = 0

   👉    a = 2                   b = 18             c = 28

Calculer le discriminant ( Delta ) et dire combien de solution s'elle existe:

  👉    ê= b² - 4ac = 18²- 4×2×28  =  100

ê > 0    👉   il y a 2 solutions

 👉  Calculer les solutions" après avoir rappeler les expressions des solutions"  s'elles existent : 

      

   b.      Factoriser " après avoir rappeler l'expression de la factorisation"   la fonction du second degré   f(x) = 2x² + 18x + 28 

ê > 0   👉   il y a 2 solutions   x₁ et x₂

             👉 f(x) = ax² + bx + c = a( x - x₁ )( x - x₂ )             

             👉 f(x) = 2x² + 18x + 28  =  2( x - (-7) )( x - (-2) )

              👉 f(x) = 2x² + 18x + 28 =  2( x + 7) )( x + 2 )

c.       Donner le tableau de signe de la fonction du second degré f(x) = 2x² + 18x + 28 

x₁ = -7   ;  x₂ = -2 ;   x₁ est plus petit que  x₂     

a = 2 donc le signe de a est positif « + » et le signe de – a est négatif  « - »

d.      En déduire du tableau de signe la ou les solutions "sous forme d'un intervalle " des inéquations suivantes s’elles existent :

      1.      f(x)  < 0

D'après le tableau :  f(x)  < 0 lorsque x compris entre -7 et -2; -7 et -2 ne font pas partie de la solution c'est à dire:              

            👉    -7 < x < -2    👉   x  appartient ] -7 ; -2 [   

            👉 La solution est S = ] -7 ; -2 [ 

     

      2.      f(x)  ≤ 0

 D'après le tableau :  f(x)  ≤ 0 lorsque x compris entre -7 et -2 ; -7 et -2 font partie de la solution c'est à dire:

             👉   -7 ≤ x ≤ -2    👉   x  appartient [ -7 ; -2 ]   

          👉   La solution est S = [ -7 ; -2 ]               

     3.      f(x)  > 0

D'après le tableau :  f(x)  > 0 lorsque x compris entre (-15 et -7) puis entre (-2 et 0); -7 et -2 ne font pas partie de la solution c'est à dire:               

                       👉    -15 ≤ x < -7  ou bien    -2 < x ≤ 0  

            👉    x  appartient  [-15 ; -7 [    ou bien    ] -2 ; 0 ]  

        👉    La solution est S = [-15 ; -7 [  U  ] -2 ; 0 ]   

                      U signifie " union " 

    4.      f(x)  ≥ 0

D'après le tableau :  f(x)  ≥ 0 lorsque x compris entre (-15 et -7) puis entre (-2 et 0); -7 et -2  font partie de la solution c'est à dire:                           

          👉    -15 ≤ x ≤ -7  ou bien    -2 ≤ x ≤ 0  

          👉    x  appartient  [-15 ; -7 ]    ou bien    [ -2 ; 0 ]  

       👉    La solution est S = [-15 ; -7 ]  U  [ -2 ; 0 ] 

                 U signifie " union " 

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Ce qu'il faut retenir : 👉   Récapitulatif

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Equation de second degré dans le domaine de l'Économie : Modélisation des fonctions de coût et de profit

L'équation de second degré, ou équation quadratique, est un outil mathématique fondamental dont l'application dépasse largement les simples exercices algébriques pour se retrouver dans divers domaines scientifiques, y compris la chimie. Dans le domaine de la chimie, les équations quadratiques sont particulièrement utiles pour la cinétique chimique, en particulier pour l'analyse des réactions complexes. La cinétique chimique étudie les vitesses des réactions chimiques et les mécanismes par lesquels elles se produisent. Cet article explore l'utilisation des équations de second degré pour modéliser et analyser les réactions chimiques complexes, en mettant en lumière les méthodologies, les implications et les avancées dans ce domaine.

Introduction à la Cinétique Chimique:

La cinétique chimique est une branche de la chimie physique qui s'intéresse aux vitesses des réactions chimiques et aux facteurs qui les influencent. Elle joue un rôle crucial dans la compréhension des mécanismes réactionnels, la conception de réacteurs chimiques, et l'optimisation des processus industriels. Les équations différentielles sont souvent utilisées pour décrire la vitesse des réactions chimiques, mais les équations quadratiques peuvent apparaître dans l'analyse des équilibres et des états stationnaires des systèmes réactionnels complexes.

Équations Quadratiques et Réactions Chimiques:

Réactions de Premier Ordre et de Second Ordre:

Les réactions chimiques peuvent être classées en fonction de leur ordre, qui décrit comment la vitesse de réaction dépend de la concentration des réactifs. Pour une réaction de premier ordre, la vitesse de réaction est proportionnelle à la concentration d'un seul réactif. Pour une réaction de second ordre, la vitesse de réaction est proportionnelle au carré de la concentration d'un réactif ou au produit des concentrations de deux réactifs.

L'équation quadratique intervient fréquemment dans les réactions de second ordre. Par exemple, pour une réaction bimoléculaire où deux réactifs $A$ et $B$ se combinent pour former un produit $C$, la loi de vitesse peut être exprimée comme :

$r = k[A][B]$

où $r$ est la vitesse de réaction, $k$ est la constante de vitesse, et $[A]$ et $[B]$ sont les concentrations des réactifs. Si les concentrations initiales des réactifs sont égales, la résolution de l'équation de vitesse peut conduire à une équation quadratique.

Applications des Équations Quadratiques en Cinétique Chimique:

Méthode de la Quasi-Stationnarité:

La méthode de la quasi-stationnarité est une technique couramment utilisée en cinétique chimique pour simplifier l'analyse des mécanismes réactionnels complexes. Elle repose sur l'hypothèse que les intermédiaires réactionnels atteignent rapidement un état quasi-stationnaire où leur concentration reste pratiquement constante au cours de la réaction. Cette hypothèse permet de simplifier les équations différentielles décrivant les vitesses des réactions en les réduisant à des équations algébriques, souvent quadratiques.

Par exemple, considérons une réaction où un intermédiaire $I$ est formé à partir d'un réactif $A$ et réagit ensuite pour former un produit $P$. Les étapes réactionnelles peuvent être décrites par :

1. $A \rightarrow I$ avec une constante de vitesse $k_1$
2. $I \rightarrow P$ avec une constante de vitesse $k_2$

En appliquant l'hypothèse de quasi-stationnarité à l'intermédiaire $I$, on peut établir une relation entre les concentrations de $A$, $I$ et $P$ qui prend souvent la forme d'une équation quadratique.

Équilibres Chimio-Dynamiques:

Les équilibres chimio-dynamiques concernent les états où les vitesses des réactions directes et inverses sont égales, conduisant à des concentrations constantes des réactifs et des produits. Pour des systèmes réactionnels complexes, l'établissement de ces équilibres peut nécessiter la résolution d'équations quadratiques. Par exemple, dans une réaction d'association-dissociation où deux molécules $A$ et $B$ s'associent pour former un complexe $AB$, l'équilibre peut être représenté par :

$A + B \leftrightarrow AB$

La constante d'équilibre $K$ pour cette réaction peut être définie comme :

​

Si les concentrations initiales de $A$ et $B$ sont égales, la résolution de l'équation d'équilibre pour déterminer les concentrations à l'équilibre implique la résolution d'une équation quadratique.

Modèles de Réaction et Analyse Cinétique:

Réactions en Chaîne:

Les réactions en chaîne sont des processus où une réaction initiale déclenche une série d'autres réactions. Ces mécanismes complexes peuvent être modélisés en utilisant des équations quadratiques pour décrire les étapes clés du processus. Par exemple, dans la polymérisation en chaîne, où des monomères s'additionnent pour former des polymères, les vitesses de réaction peuvent dépendre de manière quadratique des concentrations des espèces intermédiaires.

Mécanismes à Plusieurs Étapes:

Les mécanismes réactionnels à plusieurs étapes, qui impliquent plusieurs intermédiaires et produits, peuvent également nécessiter l'utilisation d'équations quadratiques. Par exemple, dans les réactions catalytiques hétérogènes, où les réactifs se lient à une surface catalytique, les équations de vitesse peuvent impliquer des termes quadratiques pour les concentrations des réactifs et des sites catalytiques.

Méthodes de Résolution et Techniques Numériques:

Méthodes Algébriques:

La résolution des équations quadratiques en cinétique chimique peut souvent être effectuée par des méthodes algébriques classiques. La formule quadratique, qui donne les racines de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$, est un outil fondamental pour cette analyse. Cette méthode est utilisée pour déterminer les concentrations des espèces à l'équilibre ou pour trouver les solutions de l'état quasi-stationnaire.

Méthodes Numériques:

Pour les systèmes réactionnels plus complexes, où les équations quadratiques peuvent être imbriquées dans des systèmes d'équations différentielles, des méthodes numériques sont nécessaires. Des algorithmes comme la méthode de Newton-Raphson ou les techniques d'intégration numérique sont utilisés pour résoudre ces systèmes. Les logiciels de calcul scientifique tels que MATLAB, R, et Python avec leurs bibliothèques de simulation sont couramment employés pour cette tâche.

Applications Pratiques et Implications:

Industrie Chimique:

Dans l'industrie chimique, la compréhension des mécanismes de réaction et la modélisation précise des vitesses de réaction sont essentielles pour l'optimisation des procédés. Les équations quadratiques jouent un rôle clé dans la conception et l'exploitation des réacteurs chimiques. Par exemple, dans la production de polymères, la cinétique de polymérisation, qui peut impliquer des réactions en chaîne complexes, est modélisée à l'aide d'équations quadratiques pour maximiser le rendement et la qualité des produits.

Développement de Médicaments:

La cinétique chimique est également cruciale dans le développement de médicaments, où la modélisation des interactions entre les molécules actives et les cibles biologiques peut inclure des équations quadratiques. Par exemple, dans l'étude de l'inhibition enzymatique, les équations de vitesse peuvent être quadratiques en termes de concentrations des enzymes et des inhibiteurs, ce qui aide à optimiser les concentrations des médicaments pour obtenir l'effet thérapeutique désiré.

Écologie et Environnement:

Les équations quadratiques sont utilisées en chimie environnementale pour modéliser les interactions chimiques dans les écosystèmes. Par exemple, la dégradation des polluants dans l'environnement peut impliquer des réactions chimiques complexes où les vitesses de réaction sont modélisées par des équations quadratiques. Ces modèles aident à prédire la persistance des polluants et à concevoir des stratégies de remédiation efficaces.

Avancées Récentes et Perspectives Futures:

Intelligence Artificielle et Apprentissage Automatique:

L'intégration de l'intelligence artificielle (IA) et de l'apprentissage automatique (ML) dans l'analyse cinétique ouvre de nouvelles perspectives pour l'utilisation des équations quadratiques. Les algorithmes de ML peuvent analyser de grandes quantités de données cinétiques pour identifier des motifs complexes et améliorer la précision des modèles de réaction. Cette approche permet de développer des modèles plus robustes et prédictifs pour la cinétique chimique.

Modélisation Multiscalaire:

Les avancées dans la modélisation multiscalaire permettent d'intégrer les équations quadratiques dans des modèles qui couvrent plusieurs échelles de temps et de longueur. Par exemple, la modélisation des réactions catalytiques peut inclure des échelles allant des interactions atomiques aux dynamiques de réacteurs industriels. Ces modèles multiscalaires offrent une meilleure compréhension des processus réactionnels et aident à l'optimisation des procédés industriels.

Applications en Biologie et en Chimie Médicale:

Les techniques de modélisation cinétique basées sur des équations quadratiques trouvent des applications croissantes en biologie et en chimie médicale. Par exemple, dans l'étude des réseaux métaboliques, les interactions entre les métabolites peuvent être modélisées par des équations quadratiques pour analyser les dynamiques du métabolisme cellulaire. Ces modèles contribuent à la compréhension des maladies et au développement de nouvelles thérapies.

Conclusion:

L'équation de second degré est un outil essentiel en cinétique chimique pour modéliser les réactions complexes. Elle permet d'analyser les équilibres chimio-dynamiques, de simplifier les mécanismes réactionnels à plusieurs étapes, et d'optimiser les processus industriels et médicaux. Les méthodes algébriques et numériques offrent des solutions efficaces pour résoudre ces équations, tandis que les avancées en IA et en modélisation multiscalaire promettent d'améliorer encore notre compréhension et notre gestion des réactions chimiques. Les applications pratiques de ces modèles vont de l'industrie chimique au développement de médicaments, en passant par la chimie environnementale, démontrant l'importance cruciale de l'équation de second degré dans divers domaines scientifiques et industriels.

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