Maths 1ère Bac Pro
Correction exercice 4 : Fonction , équation et inéquation du second degré ; Factorisation et tableau de signe.
Soit la fonction f(x) = -4x² + 20x définie sur [ -5 , 10 ].
Voir fiche d'aide 👉 Fonction et équation du second degré
f(x) = 0 👉 -4x² + 20x = 0
Identifier les nombres a, b et c de l'équation du second degré :
-4x² + 20x = 0 est de la forme ax² + bx + c = 0
👉 a = - 4 b = 20 c = 0
Calculer le discriminant ( Delta ) et dire combien de solution s'elle existe:
👉 ê= b² - 4ac = 20²- 4×(-4)×0 = 400
ê > 0 👉 il y a 2 solutions
👉 Calculer les solutions" après avoir rappeler les expressions des solutions" s'elles existent :
b. Factoriser " après avoir rappeler l'expression de la factorisation" la fonction du second degré f(x) = -4x² + 20x
👉 f(x) = ax² + bx + c = a( x - x1 )( x - x2 )
👉 f(x) = -4x² + 20x = -4( x - 5 )( x - 0 )
f(x) = -4x² + 20x
x1 = 5 ; x2 = 0 ; x1 est plus grand que x2
a = -4 donc le signe de a est négatif « - » et le signe de – a est positif « + »
👉 -5 ≤ x < 0 ou bien 5 < x ≤ 10
👉 x appartient [-5 ; 0 [ ou bien ] 5 ; 10 ]
👉 La solution est S = [-5 ; 0 [ U ] 5 ; 10 ]
D'après le tableau : f(x) ≤ 0 .
lorsque x compris entre (-5 et 0) puis entre (5 et 10); 0 et 5 font partie de la solution c'est à dire:
👉 -5 ≤ x ≤ 0 ou bien 5 ≤ x ≤ 10
👉 x appartient [-5 ; 0 ] ou bien [ 5 ; 10 ]
👉 La solution est S = [-5 ; 0 ] U [ 5 ; 10 ]
U signifie " union "
👉 0 < x < 5 👉 x appartient ] 0 ; 5 [
👉 La solution est S = ] 0 ; 5 [
D'après le tableau : f(x) ≥ 0 lorsque x compris entre 0 et 5 ; 0 et 5 font partie de la solution c'est à dire:
👉 0 ≤ x ≤ 5 👉 x appartient [ 0 ; 5 ]
👉 La solution est S = [ 0 ; 5 ]
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Equation de second degré dans le domaine de la Génie civil : Calcul des charges et des déformations des structures
L'équation de second degré, également connue sous le nom d'équation quadratique, est une équation polynomiale sous la forme:
où a, b et sont des coefficients constants et x est la variable. Dans le domaine du génie civil, cette équation est d'une importance capitale pour le calcul des charges et des déformations des structures. Les ingénieurs civils utilisent cette équation pour modéliser et analyser la réponse des structures sous diverses charges, assurant ainsi la sécurité, la stabilité et la durabilité des constructions.
Application de l'Équation Quadratique dans le Génie Civil:
Calcul des Charges:
L'équation de second degré, également connue sous le nom d'équation quadratique, est une équation polynomiale sous la forme:
où a, b et sont des coefficients constants et x est la variable. Dans le domaine du génie civil, cette équation est d'une importance capitale pour le calcul des charges et des déformations des structures. Les ingénieurs civils utilisent cette équation pour modéliser et analyser la réponse des structures sous diverses charges, assurant ainsi la sécurité, la stabilité et la durabilité des constructions.
Application de l'Équation Quadratique dans le Génie Civil:
Calcul des Charges:
Les charges appliquées sur les structures peuvent être de différentes natures : charges statiques, telles que le poids propre des structures, et charges dynamiques, comme le vent, les tremblements de terre et les impacts accidentels. Le calcul des charges implique souvent des relations non linéaires qui peuvent être représentées par des équations quadratiques.
Charges Distribuées : Lorsqu'une charge est uniformément distribuée sur une poutre, la relation entre la charge, la longueur de la poutre et la déformation peut souvent être exprimée sous la forme d'une équation quadratique. Par exemple, pour une poutre simplement appuyée, la déflexion maximale au centre due à une charge uniformément répartie peut être déterminée en résolvant une équation quadratique.
Charges Concentrées : Les charges concentrées, telles que celles exercées par des colonnes ou des machines lourdes, créent des moments et des forces de cisaillement qui nécessitent l'utilisation de l'équation de second degré pour évaluer les effets sur les structures portantes. La distribution des moments de flexion le long d'une poutre sous charge concentrée est souvent modélisée par des équations quadratiques.
Analyse des Déformations
Les charges appliquées sur les structures peuvent être de différentes natures : charges statiques, telles que le poids propre des structures, et charges dynamiques, comme le vent, les tremblements de terre et les impacts accidentels. Le calcul des charges implique souvent des relations non linéaires qui peuvent être représentées par des équations quadratiques.
Charges Distribuées : Lorsqu'une charge est uniformément distribuée sur une poutre, la relation entre la charge, la longueur de la poutre et la déformation peut souvent être exprimée sous la forme d'une équation quadratique. Par exemple, pour une poutre simplement appuyée, la déflexion maximale au centre due à une charge uniformément répartie peut être déterminée en résolvant une équation quadratique.
Charges Concentrées : Les charges concentrées, telles que celles exercées par des colonnes ou des machines lourdes, créent des moments et des forces de cisaillement qui nécessitent l'utilisation de l'équation de second degré pour évaluer les effets sur les structures portantes. La distribution des moments de flexion le long d'une poutre sous charge concentrée est souvent modélisée par des équations quadratiques.
Analyse des Déformations
L'analyse des déformations des structures est cruciale pour assurer qu'elles peuvent supporter les charges appliquées sans subir de déformations excessives qui pourraient compromettre leur intégrité. Les équations quadratiques sont utilisées pour modéliser ces déformations dans divers scénarios.
Déformation des Poutres : La théorie de la flexion des poutres, qui est un élément fondamental de la résistance des matériaux, utilise des équations différentielles dont les solutions incluent des termes quadratiques. La courbure d'une poutre sous charge est souvent une fonction quadratique de la position le long de la poutre.
Buckling des Colonnes : Le flambement ou buckling des colonnes est un phénomène critique où une colonne soumise à une charge axiale excessive peut se déformer latéralement. La charge critique de flambement, au-delà de laquelle une colonne peut perdre sa stabilité, est déterminée en résolvant une équation quadratique dérivée de l'analyse de stabilité.
Théorie de la Flexion des Poutres:
L'analyse des déformations des structures est cruciale pour assurer qu'elles peuvent supporter les charges appliquées sans subir de déformations excessives qui pourraient compromettre leur intégrité. Les équations quadratiques sont utilisées pour modéliser ces déformations dans divers scénarios.
Déformation des Poutres : La théorie de la flexion des poutres, qui est un élément fondamental de la résistance des matériaux, utilise des équations différentielles dont les solutions incluent des termes quadratiques. La courbure d'une poutre sous charge est souvent une fonction quadratique de la position le long de la poutre.
Buckling des Colonnes : Le flambement ou buckling des colonnes est un phénomène critique où une colonne soumise à une charge axiale excessive peut se déformer latéralement. La charge critique de flambement, au-delà de laquelle une colonne peut perdre sa stabilité, est déterminée en résolvant une équation quadratique dérivée de l'analyse de stabilité.
Théorie de la Flexion des Poutres:
La théorie de la flexion des poutres est une application classique des équations quadratiques dans le génie civil. Elle décrit comment les poutres se déforment sous des charges appliquées. Le moment de flexion à une distance le long de la poutre est souvent une fonction quadratique de . Pour une poutre avec des charges uniformément réparties ou des charges ponctuelles, les déformations et les tensions peuvent être calculées en résolvant des équations quadratiques.
L'équation fondamentale de la flexion des poutres est:
où est le module d'élasticité du matériau, est le moment d'inertie de la section transversale de la poutre, et est la déflexion de la poutre. En intégrant cette équation, on obtient une expression quadratique de la déflexion .
Théorie du Flambement:
La théorie de la flexion des poutres est une application classique des équations quadratiques dans le génie civil. Elle décrit comment les poutres se déforment sous des charges appliquées. Le moment de flexion à une distance le long de la poutre est souvent une fonction quadratique de . Pour une poutre avec des charges uniformément réparties ou des charges ponctuelles, les déformations et les tensions peuvent être calculées en résolvant des équations quadratiques.
L'équation fondamentale de la flexion des poutres est:
où est le module d'élasticité du matériau, est le moment d'inertie de la section transversale de la poutre, et est la déflexion de la poutre. En intégrant cette équation, on obtient une expression quadratique de la déflexion .
Théorie du Flambement:
Le flambement des colonnes est un autre domaine où les équations quadratiques jouent un rôle crucial. Lorsqu'une colonne est soumise à une charge axiale croissante, elle atteint un point où une petite perturbation peut provoquer une déformation latérale importante. La charge critique à laquelle ce phénomène se produit peut être déterminée en résolvant une équation quadratique résultant de l'analyse de la stabilité.
L'équation de l'élasticité d'Euler pour le flambement des colonnes est:
où est un facteur de longueur effective, est la longueur de la colonne, est le module d'élasticité, et est le moment d'inertie. Cette équation est dérivée en considérant l'équilibre entre les forces de compression et les forces de flexion, impliquant des termes quadratiques.
Analyse des Structures Complexes:
Le flambement des colonnes est un autre domaine où les équations quadratiques jouent un rôle crucial. Lorsqu'une colonne est soumise à une charge axiale croissante, elle atteint un point où une petite perturbation peut provoquer une déformation latérale importante. La charge critique à laquelle ce phénomène se produit peut être déterminée en résolvant une équation quadratique résultant de l'analyse de la stabilité.
L'équation de l'élasticité d'Euler pour le flambement des colonnes est:
où est un facteur de longueur effective, est la longueur de la colonne, est le module d'élasticité, et est le moment d'inertie. Cette équation est dérivée en considérant l'équilibre entre les forces de compression et les forces de flexion, impliquant des termes quadratiques.
Analyse des Structures Complexes:
Dans les structures complexes telles que les ponts, les gratte-ciel et les barrages, les ingénieurs civils utilisent des logiciels de calcul avancés qui intègrent des équations quadratiques pour modéliser le comportement des structures sous différentes conditions de charge. Ces logiciels utilisent des méthodes numériques pour résoudre les équations différentielles, dont les solutions incluent souvent des termes quadratiques.
Ponts : Les ponts sont soumis à des charges variées, y compris le trafic, le vent et les séismes. Les modèles de ponts utilisent des équations quadratiques pour analyser la distribution des moments et des forces de cisaillement le long des différentes parties du pont. Ces analyses permettent de concevoir des structures résistantes et durables.
Gratte-ciel : Les gratte-ciel doivent résister à des charges de vent importantes ainsi qu'à des charges sismiques. L'analyse dynamique de ces structures inclut des termes quadratiques pour représenter les effets non linéaires des forces appliquées. Les équations quadratiques permettent de prédire les déformations et les vibrations, assurant ainsi la sécurité et la stabilité du bâtiment.
Conception et Sécurité des Structures:
Dans les structures complexes telles que les ponts, les gratte-ciel et les barrages, les ingénieurs civils utilisent des logiciels de calcul avancés qui intègrent des équations quadratiques pour modéliser le comportement des structures sous différentes conditions de charge. Ces logiciels utilisent des méthodes numériques pour résoudre les équations différentielles, dont les solutions incluent souvent des termes quadratiques.
Ponts : Les ponts sont soumis à des charges variées, y compris le trafic, le vent et les séismes. Les modèles de ponts utilisent des équations quadratiques pour analyser la distribution des moments et des forces de cisaillement le long des différentes parties du pont. Ces analyses permettent de concevoir des structures résistantes et durables.
Gratte-ciel : Les gratte-ciel doivent résister à des charges de vent importantes ainsi qu'à des charges sismiques. L'analyse dynamique de ces structures inclut des termes quadratiques pour représenter les effets non linéaires des forces appliquées. Les équations quadratiques permettent de prédire les déformations et les vibrations, assurant ainsi la sécurité et la stabilité du bâtiment.
Conception et Sécurité des Structures:
La conception des structures doit toujours prendre en compte les pires scénarios de charge pour garantir leur sécurité. Les équations quadratiques sont utilisées pour modéliser les états limites de service et les états limites ultimes, ce qui permet de déterminer les marges de sécurité nécessaires.
États Limites de Service : Les états limites de service concernent les déformations et les vibrations que la structure peut subir sans affecter son utilisation ou son confort. Les équations quadratiques sont utilisées pour évaluer ces déformations et garantir que les limites admissibles ne sont pas dépassées.
États Limites Ultimes : Les états limites ultimes concernent la capacité de la structure à supporter les charges maximales avant de subir des défaillances. Les équations quadratiques permettent de déterminer les charges critiques et les marges de sécurité nécessaires pour éviter la rupture ou le flambement.
Avancées Technologiques et Innovations:
La conception des structures doit toujours prendre en compte les pires scénarios de charge pour garantir leur sécurité. Les équations quadratiques sont utilisées pour modéliser les états limites de service et les états limites ultimes, ce qui permet de déterminer les marges de sécurité nécessaires.
États Limites de Service : Les états limites de service concernent les déformations et les vibrations que la structure peut subir sans affecter son utilisation ou son confort. Les équations quadratiques sont utilisées pour évaluer ces déformations et garantir que les limites admissibles ne sont pas dépassées.
États Limites Ultimes : Les états limites ultimes concernent la capacité de la structure à supporter les charges maximales avant de subir des défaillances. Les équations quadratiques permettent de déterminer les charges critiques et les marges de sécurité nécessaires pour éviter la rupture ou le flambement.
Avancées Technologiques et Innovations:
Les progrès technologiques dans les capacités de calcul et les techniques de modélisation ont permis de développer des méthodes plus sophistiquées pour résoudre les équations quadratiques et autres équations différentielles complexes. Les logiciels de calcul par éléments finis (FEM) sont couramment utilisés pour analyser les structures en divisant la structure en éléments plus petits et en résolvant les équations correspondantes.
Calcul par Éléments Finis (FEM) : Le FEM est une méthode numérique qui permet de résoudre des équations différentielles partielles, y compris les équations quadratiques, en décomposant la structure en un maillage de petits éléments. Cette méthode est utilisée pour analyser les déformations, les tensions et les forces internes dans les structures complexes.
Modélisation Paramétrique : La modélisation paramétrique utilise des équations mathématiques pour représenter les dimensions et les propriétés des structures. Les équations quadratiques sont intégrées dans les modèles paramétriques pour permettre des analyses rapides et précises des modifications de conception et des variations des charges.
Défis et Perspectives Futures:
Les progrès technologiques dans les capacités de calcul et les techniques de modélisation ont permis de développer des méthodes plus sophistiquées pour résoudre les équations quadratiques et autres équations différentielles complexes. Les logiciels de calcul par éléments finis (FEM) sont couramment utilisés pour analyser les structures en divisant la structure en éléments plus petits et en résolvant les équations correspondantes.
Calcul par Éléments Finis (FEM) : Le FEM est une méthode numérique qui permet de résoudre des équations différentielles partielles, y compris les équations quadratiques, en décomposant la structure en un maillage de petits éléments. Cette méthode est utilisée pour analyser les déformations, les tensions et les forces internes dans les structures complexes.
Modélisation Paramétrique : La modélisation paramétrique utilise des équations mathématiques pour représenter les dimensions et les propriétés des structures. Les équations quadratiques sont intégrées dans les modèles paramétriques pour permettre des analyses rapides et précises des modifications de conception et des variations des charges.
Défis et Perspectives Futures:
Malgré les progrès réalisés, la modélisation des structures à l'aide d'équations quadratiques présente encore des défis. La complexité des interactions entre les différentes forces et les matériaux nécessite des modèles toujours plus sophistiqués et des méthodes de calcul plus puissantes.
Complexité des Matériaux : Les matériaux utilisés dans les structures modernes, tels que les composites et les matériaux à mémoire de forme, présentent des comportements non linéaires complexes qui peuvent nécessiter des équations plus avancées que les simples équations quadratiques.
Effets Dynamiques : Les effets dynamiques, tels que les vibrations et les charges d'impact, nécessitent des analyses temporelles détaillées qui peuvent impliquer des équations différentielles de second ordre et des systèmes d'équations quadratiques couplées.
Les perspectives futures incluent l'intégration de l'intelligence artificielle et de l'apprentissage automatique dans les modèles de calcul pour améliorer la précision et l'efficacité des analyses. Ces technologies peuvent analyser de grandes quantités de données et identifier des modèles complexes que les méthodes traditionnelles pourraient manquer, offrant ainsi des solutions innovantes pour les défis du génie civil.
Conclusion:
Malgré les progrès réalisés, la modélisation des structures à l'aide d'équations quadratiques présente encore des défis. La complexité des interactions entre les différentes forces et les matériaux nécessite des modèles toujours plus sophistiqués et des méthodes de calcul plus puissantes.
Complexité des Matériaux : Les matériaux utilisés dans les structures modernes, tels que les composites et les matériaux à mémoire de forme, présentent des comportements non linéaires complexes qui peuvent nécessiter des équations plus avancées que les simples équations quadratiques.
Effets Dynamiques : Les effets dynamiques, tels que les vibrations et les charges d'impact, nécessitent des analyses temporelles détaillées qui peuvent impliquer des équations différentielles de second ordre et des systèmes d'équations quadratiques couplées.
Les perspectives futures incluent l'intégration de l'intelligence artificielle et de l'apprentissage automatique dans les modèles de calcul pour améliorer la précision et l'efficacité des analyses. Ces technologies peuvent analyser de grandes quantités de données et identifier des modèles complexes que les méthodes traditionnelles pourraient manquer, offrant ainsi des solutions innovantes pour les défis du génie civil.
Conclusion:
L'équation de second degré est un outil mathématique fondamental dans le domaine du génie civil pour le calcul des charges et des déformations des structures. En représentant les relations non linéaires entre les forces appliquées et les réponses structurelles, elle permet aux ingénieurs de concevoir des structures sûres, stables et durables. Les avancées technologiques continuent de transformer la manière dont ces équations sont résolues et appliquées, ouvrant de nouvelles perspectives pour l'analyse et la conception des structures.
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Ce qu'il faut retenir : 👉 Récapitulatif
Revenir au choix de l'exercice 👉 Choix d'un exercice
Passer à l'exercice.5 👉 Sujet Exercice.5
L'équation de second degré est un outil mathématique fondamental dans le domaine du génie civil pour le calcul des charges et des déformations des structures. En représentant les relations non linéaires entre les forces appliquées et les réponses structurelles, elle permet aux ingénieurs de concevoir des structures sûres, stables et durables. Les avancées technologiques continuent de transformer la manière dont ces équations sont résolues et appliquées, ouvrant de nouvelles perspectives pour l'analyse et la conception des structures.
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