Maths 1ère Bac Pro
Correction exercice 6 : Fonction , équation et inéquation du second degré ; Factorisation et tableau de signe.
Soit la fonction f(x) = -5x² + 50x - 125 définie sur [ -4 , 10 ].
Voir fiche d'aide 👉 Fonction et équation du second degré
f(x) = 0 👉 -5x² + 50x - 125 = 0
Identifier les nombres a, b et c de l'équation du second degré :
-5x² + 50x - 125 = 0 est de la forme ax² + bx + c = 0
👉 a = -5 b = 50 c = -125
Calculer le discriminant ( Delta ) et dire combien de solution s'elle existe:
👉 ê= b² - 4ac = 50²- 4×(-5)×(-125) = 0
ê = 0 👉 il y a 1 solution
👉 Calculer les solutions" après avoir rappeler les expressions des solutions" s'elles existent :
👉 f(x) = ax² + bx + c = a( x - x1 )²
👉 f(x) = -5x² + 50x - 125 = -5( x - 5 )²
c. Donner le tableau de signe de la fonction du second degré
f(x) = -5x² + 50x - 125
x1 = 5
a = -5 donc le signe de a est négatif « - »
👉 -4 ≤ x < 5 ou bien 5 < x ≤ 10
👉 x appartient [-4 ; 5 [ ou bien ] 5 ; 10 ]
👉 La solution est S = [-4 ; 5 [ U ] 5 ; 10 ]
👉 La solution est S = [-4 ; 10 ]/{ 5 }
2. f(x) ≤ 0
👉 f(x) < 0 a pour solution S = [-4 ; 5 [ U ] 5 ; 10 ] .
👉 f(x) = 0 a une solution x1 = 5
S = [-4 ; 10 ]
D'après le tableau :
👉 f(x) > 0 n'existe pas 👉 donc pas de solution .
👉 f(x) = 0 a une solution x1 = 5
Donc f(x) ≤ 0 à une solution x1 = 5
S = { 5 }
..............................................................................................................Ce qu'il faut retenir : 👉 Récapitulatif Revenir au choix de l'exercice 👉 Choix d'un exercicePasser à l'exercice.7 👉 Sujet Exercice.7 ..............................................................................................................
Equation de second degré dans le domaine de l'Architecture : Calcul des volumes et des surfaces dans la conception architecturale
L'équation de second degré, ou équation quadratique, prend la forme générale:
où , et sont des coefficients constants et est la variable. Cette forme d'équation est d'une importance cruciale dans de nombreux domaines scientifiques et techniques, dont l'architecture. En architecture, l'équation de second degré est utilisée pour diverses applications liées au calcul des volumes et des surfaces, permettant ainsi des conceptions architecturales précises et efficaces.
L'équation de second degré, ou équation quadratique, prend la forme générale:
où , et sont des coefficients constants et est la variable. Cette forme d'équation est d'une importance cruciale dans de nombreux domaines scientifiques et techniques, dont l'architecture. En architecture, l'équation de second degré est utilisée pour diverses applications liées au calcul des volumes et des surfaces, permettant ainsi des conceptions architecturales précises et efficaces.
Importance des Calculs de Volumes et de Surfaces en Architecture:
Dans la conception architecturale, le calcul des volumes et des surfaces est essentiel pour plusieurs raisons. Tout d'abord, il permet de déterminer les quantités de matériaux nécessaires pour la construction, influençant directement les coûts et la faisabilité du projet. De plus, il joue un rôle crucial dans la planification de l'espace, assurant que les structures répondent aux exigences fonctionnelles et esthétiques. Les calculs précis des volumes et des surfaces sont également essentiels pour les aspects structurels et environnementaux, comme la gestion de la lumière naturelle, la ventilation, et l'acoustique.
Dans la conception architecturale, le calcul des volumes et des surfaces est essentiel pour plusieurs raisons. Tout d'abord, il permet de déterminer les quantités de matériaux nécessaires pour la construction, influençant directement les coûts et la faisabilité du projet. De plus, il joue un rôle crucial dans la planification de l'espace, assurant que les structures répondent aux exigences fonctionnelles et esthétiques. Les calculs précis des volumes et des surfaces sont également essentiels pour les aspects structurels et environnementaux, comme la gestion de la lumière naturelle, la ventilation, et l'acoustique.
Utilisation des Équations Quadratiques pour les Volumes
Les volumes des structures architecturales sont souvent calculés à l'aide d'équations quadratiques, particulièrement lorsqu'il s'agit de formes paraboliques ou hyperboliques, couramment utilisées dans l'architecture moderne et innovante.
Dômes et Voûtes Paraboliques : Les dômes et les voûtes, structures courbes souvent présentes dans les bâtiments religieux ou monumentaux, peuvent être modélisés à l'aide de sections paraboliques. L'équation quadratique permet de déterminer la surface intérieure et extérieure de ces structures ainsi que leur volume total, ce qui est essentiel pour le calcul des matériaux nécessaires et l'évaluation des contraintes structurelles.
Toits Courbes et Arcs : De nombreux toits et arcs, utilisés pour leur esthétique et leur capacité à répartir les charges, suivent des courbes paraboliques. Les équations quadratiques sont utilisées pour calculer les dimensions précises et les surfaces de ces éléments, optimisant ainsi leur conception pour la durabilité et la résistance.
Les volumes des structures architecturales sont souvent calculés à l'aide d'équations quadratiques, particulièrement lorsqu'il s'agit de formes paraboliques ou hyperboliques, couramment utilisées dans l'architecture moderne et innovante.
Dômes et Voûtes Paraboliques : Les dômes et les voûtes, structures courbes souvent présentes dans les bâtiments religieux ou monumentaux, peuvent être modélisés à l'aide de sections paraboliques. L'équation quadratique permet de déterminer la surface intérieure et extérieure de ces structures ainsi que leur volume total, ce qui est essentiel pour le calcul des matériaux nécessaires et l'évaluation des contraintes structurelles.
Toits Courbes et Arcs : De nombreux toits et arcs, utilisés pour leur esthétique et leur capacité à répartir les charges, suivent des courbes paraboliques. Les équations quadratiques sont utilisées pour calculer les dimensions précises et les surfaces de ces éléments, optimisant ainsi leur conception pour la durabilité et la résistance.
Application aux Surfaces Architecturales
Les surfaces des éléments architecturaux, qu'elles soient planes ou courbes, doivent être calculées avec précision pour assurer l'intégrité structurelle et l'efficacité énergétique des bâtiments.
Façades et Murs Courbes : Dans la conception de façades modernes, les courbes sont souvent utilisées pour créer des effets visuels saisissants. L'équation de second degré permet de calculer les surfaces courbes avec précision, aidant les architectes à prévoir les besoins en matériaux de revêtement et à optimiser les aspects esthétiques et fonctionnels.
Surfaces de Sol et de Plafond : Les surfaces de sol et de plafond, particulièrement dans les espaces aux formes complexes, peuvent être déterminées en utilisant des équations quadratiques. Cela est particulièrement utile dans les conceptions intérieures où des éléments tels que des mezzanines ou des plafonds voûtés sont utilisés.
Les surfaces des éléments architecturaux, qu'elles soient planes ou courbes, doivent être calculées avec précision pour assurer l'intégrité structurelle et l'efficacité énergétique des bâtiments.
Façades et Murs Courbes : Dans la conception de façades modernes, les courbes sont souvent utilisées pour créer des effets visuels saisissants. L'équation de second degré permet de calculer les surfaces courbes avec précision, aidant les architectes à prévoir les besoins en matériaux de revêtement et à optimiser les aspects esthétiques et fonctionnels.
Surfaces de Sol et de Plafond : Les surfaces de sol et de plafond, particulièrement dans les espaces aux formes complexes, peuvent être déterminées en utilisant des équations quadratiques. Cela est particulièrement utile dans les conceptions intérieures où des éléments tels que des mezzanines ou des plafonds voûtés sont utilisés.
Optimisation des Conceptions Architecturales
Les équations quadratiques permettent non seulement de calculer des volumes et des surfaces, mais aussi d'optimiser ces calculs pour améliorer l'efficacité et la fonctionnalité des conceptions architecturales.
Économie de Matériaux : En utilisant des équations quadratiques, les architectes peuvent minimiser l'utilisation des matériaux tout en maximisant l'espace et la lumière naturelle. Par exemple, en optimisant la courbure des toits ou des murs, il est possible de réduire la quantité de béton ou d'acier nécessaire, tout en maintenant la stabilité structurelle.
Efficacité Énergétique : Les bâtiments conçus avec des surfaces courbes calculées précisément peuvent bénéficier d'une meilleure gestion thermique et lumineuse. Les équations quadratiques permettent de modéliser l'impact de la forme du bâtiment sur l'ensoleillement et la ventilation, contribuant ainsi à des conceptions plus durables et énergétiquement efficaces.
Les équations quadratiques permettent non seulement de calculer des volumes et des surfaces, mais aussi d'optimiser ces calculs pour améliorer l'efficacité et la fonctionnalité des conceptions architecturales.
Économie de Matériaux : En utilisant des équations quadratiques, les architectes peuvent minimiser l'utilisation des matériaux tout en maximisant l'espace et la lumière naturelle. Par exemple, en optimisant la courbure des toits ou des murs, il est possible de réduire la quantité de béton ou d'acier nécessaire, tout en maintenant la stabilité structurelle.
Efficacité Énergétique : Les bâtiments conçus avec des surfaces courbes calculées précisément peuvent bénéficier d'une meilleure gestion thermique et lumineuse. Les équations quadratiques permettent de modéliser l'impact de la forme du bâtiment sur l'ensoleillement et la ventilation, contribuant ainsi à des conceptions plus durables et énergétiquement efficaces.
Cas Pratiques et Exemples
Divers exemples pratiques illustrent l'utilisation des équations de second degré dans l'architecture moderne.
Stades et Arènes : Les stades modernes, souvent caractérisés par des toits courbes et des structures paraboliques, utilisent des équations quadratiques pour optimiser la couverture des spectateurs tout en maximisant la résistance aux charges de vent et de neige. Les calculs précis des volumes intérieurs permettent également d'optimiser l'acoustique et la visibilité pour les spectateurs.
Ponts et Passerelles : Les ponts, notamment les arcs et les voûtes, utilisent des équations quadratiques pour calculer les courbures nécessaires à la distribution uniforme des charges. Cela permet de concevoir des structures légères mais robustes, capables de supporter des charges importantes sur de longues portées.
Divers exemples pratiques illustrent l'utilisation des équations de second degré dans l'architecture moderne.
Stades et Arènes : Les stades modernes, souvent caractérisés par des toits courbes et des structures paraboliques, utilisent des équations quadratiques pour optimiser la couverture des spectateurs tout en maximisant la résistance aux charges de vent et de neige. Les calculs précis des volumes intérieurs permettent également d'optimiser l'acoustique et la visibilité pour les spectateurs.
Ponts et Passerelles : Les ponts, notamment les arcs et les voûtes, utilisent des équations quadratiques pour calculer les courbures nécessaires à la distribution uniforme des charges. Cela permet de concevoir des structures légères mais robustes, capables de supporter des charges importantes sur de longues portées.
Défis et Limitations
Bien que les équations quadratiques offrent de nombreux avantages en architecture, elles présentent également des défis et des limitations.
Complexité des Formes Réelles : Les structures architecturales réelles sont souvent plus complexes que les formes idéalisées par les équations quadratiques. L'intégration de divers éléments architecturaux et la prise en compte des contraintes pratiques nécessitent souvent des ajustements et des simplifications des modèles mathématiques.
Interprétation et Précision des Données : La précision des calculs dépend fortement de la qualité des données initiales et de l'interprétation correcte des résultats. Les erreurs dans les mesures ou les approximations peuvent entraîner des défaillances structurelles ou des inefficacités dans la construction.
Bien que les équations quadratiques offrent de nombreux avantages en architecture, elles présentent également des défis et des limitations.
Complexité des Formes Réelles : Les structures architecturales réelles sont souvent plus complexes que les formes idéalisées par les équations quadratiques. L'intégration de divers éléments architecturaux et la prise en compte des contraintes pratiques nécessitent souvent des ajustements et des simplifications des modèles mathématiques.
Interprétation et Précision des Données : La précision des calculs dépend fortement de la qualité des données initiales et de l'interprétation correcte des résultats. Les erreurs dans les mesures ou les approximations peuvent entraîner des défaillances structurelles ou des inefficacités dans la construction.
Perspectives Futures
Les avancées technologiques et méthodologiques ouvrent de nouvelles perspectives pour l'application des équations quadratiques en architecture.
Modélisation Numérique et BIM : Les technologies de modélisation numérique, telles que le Building Information Modeling (BIM), permettent une intégration plus précise des équations quadratiques dans la conception architecturale. Ces outils facilitent la visualisation des structures courbes et la simulation de leur comportement sous diverses conditions.
Matériaux et Constructions Innovants : Les nouveaux matériaux et techniques de construction, tels que les bétons haute performance et les structures en fibre de carbone, permettent des conceptions plus audacieuses utilisant des formes paraboliques et hyperboliques. Les équations quadratiques restent essentielles pour optimiser ces conceptions en termes de résistance et d'efficacité.
Les avancées technologiques et méthodologiques ouvrent de nouvelles perspectives pour l'application des équations quadratiques en architecture.
Modélisation Numérique et BIM : Les technologies de modélisation numérique, telles que le Building Information Modeling (BIM), permettent une intégration plus précise des équations quadratiques dans la conception architecturale. Ces outils facilitent la visualisation des structures courbes et la simulation de leur comportement sous diverses conditions.
Matériaux et Constructions Innovants : Les nouveaux matériaux et techniques de construction, tels que les bétons haute performance et les structures en fibre de carbone, permettent des conceptions plus audacieuses utilisant des formes paraboliques et hyperboliques. Les équations quadratiques restent essentielles pour optimiser ces conceptions en termes de résistance et d'efficacité.
Conclusion
L'équation de second degré joue un rôle central dans la conception architecturale, permettant de calculer avec précision les volumes et les surfaces des structures. Que ce soit pour des dômes majestueux, des façades courbes ou des ponts résistants, les équations quadratiques offrent des outils mathématiques puissants pour optimiser les conceptions architecturales. Malgré les défis liés à la complexité des formes réelles et à l'interprétation des données, les avancées technologiques promettent d'améliorer encore l'utilisation de ces équations dans l'architecture. Les équations quadratiques continueront de contribuer de manière significative à la création de structures innovantes, durables et esthétiquement plaisantes dans le domaine de l'architecture.
L'équation de second degré joue un rôle central dans la conception architecturale, permettant de calculer avec précision les volumes et les surfaces des structures. Que ce soit pour des dômes majestueux, des façades courbes ou des ponts résistants, les équations quadratiques offrent des outils mathématiques puissants pour optimiser les conceptions architecturales. Malgré les défis liés à la complexité des formes réelles et à l'interprétation des données, les avancées technologiques promettent d'améliorer encore l'utilisation de ces équations dans l'architecture. Les équations quadratiques continueront de contribuer de manière significative à la création de structures innovantes, durables et esthétiquement plaisantes dans le domaine de l'architecture.