Maths 1ère Bac Pro
Correction exercice 7 : Fonction , équation et inéquation du second degré ; Factorisation et tableau de signe.
Soit la fonction f(x) = -8x² - 40x - 50 définie sur [ -6 , 6 ].
Voir fiche d'aide 👉 Fonction et équation du second degré
f(x) = 0 👉 -8x² - 40x - 50 = 0
Identifier les nombres a, b et c de l'équation du second degré :
-8x² - 40x - 50 = 0 est de la forme ax² + bx + c = 0
👉 a = -8 b = -40 c = -50
Calculer le discriminant ( Delta ) et dire combien de solution s'elle existe:
👉 ê= b² - 4ac = (-40)²- 4×(-8)×(-50) = 0
ê = 0 👉 il y a 1 solution
👉 Calculer les solutions" après avoir rappeler les expressions des solutions" s'elles existent :
👉 f(x) = ax² + bx + c = a( x - x1 )²
👉 f(x) = -8x² - 40x - 50 = -8( x - (-2,5) )²
👉 f(x) = -8x² - 40x - 50 = -8( x + 2,5 )²
c. Donner le tableau de signe de la fonction du second degré
f(x) = -8x² - 40x - 50
x1 = -2,5
a = -8 donc le signe de a est négatif « - »
👉 -6 ≤ x < -2,5 ou bien -2,5 < x ≤ 6
👉 x appartient à [-6 ; -2,5 [ ou bien à ] -2,5 ; 6 ]
👉 La solution est S = [-6 ; -2,5 [ U ] -2,5 ; 6 ]
👉 La solution est S = [-6 ; 6 ]/{ -2,5 }
2. f(x) ≤ 0
👉 f(x) < 0 a pour solution S = [-6 ; -2,5 [ U ] -2,5 ; 6 ] .
👉 f(x) = 0 a une solution x1 = -2,5
S = [-6 ; 6 ]
D'après le tableau :
👉 f(x) > 0 n'existe pas 👉 donc pas de solution .
👉 f(x) = 0 a une solution x1 = -2,5
Donc f(x) ≤ 0 à une solution x1 = -2,5
S = { -2,5 }
..............................................................................................................Ce qu'il faut retenir : 👉 Récapitulatif Revenir au choix de l'exercice 👉 Choix d'un exercicePasser à l'exercice.8 👉 Sujet Exercice.8 ..............................................................................................................
Equation de second degré dans le domaine de la Statistiques : Analyse de régression non linéaire
L'équation de second degré, souvent écrite sous la forme:
où , et sont des coefficients constants, est un outil fondamental en mathématiques qui trouve des applications étendues en statistiques, particulièrement dans l'analyse de régression non linéaire. L'analyse de régression non linéaire est utilisée pour modéliser des relations complexes entre des variables, lorsque ces relations ne peuvent pas être adéquatement décrites par une ligne droite. En utilisant des équations quadratiques, les statisticiens peuvent capturer des courbes qui reflètent plus précisément les tendances dans les données.
L'équation de second degré, souvent écrite sous la forme:
où , et sont des coefficients constants, est un outil fondamental en mathématiques qui trouve des applications étendues en statistiques, particulièrement dans l'analyse de régression non linéaire. L'analyse de régression non linéaire est utilisée pour modéliser des relations complexes entre des variables, lorsque ces relations ne peuvent pas être adéquatement décrites par une ligne droite. En utilisant des équations quadratiques, les statisticiens peuvent capturer des courbes qui reflètent plus précisément les tendances dans les données.
Introduction à l'Équation de Second Degré
L'équation quadratique est une fonction polynomiale de degré deux. Sa forme générale est:
où est la variable dépendante et est la variable indépendante. Cette équation décrit une parabole dans un espace à deux dimensions. Les propriétés de cette parabole (ouverture vers le haut ou vers le bas, position du sommet, etc.) sont déterminées par les coefficients , et . En particulier, le coefficient détermine l'orientation et l'étendue de la parabole, affecte la position du sommet le long de l'axe des x, et représente l'ordonnée à l'origine.
L'équation quadratique est une fonction polynomiale de degré deux. Sa forme générale est:
où est la variable dépendante et est la variable indépendante. Cette équation décrit une parabole dans un espace à deux dimensions. Les propriétés de cette parabole (ouverture vers le haut ou vers le bas, position du sommet, etc.) sont déterminées par les coefficients , et . En particulier, le coefficient détermine l'orientation et l'étendue de la parabole, affecte la position du sommet le long de l'axe des x, et représente l'ordonnée à l'origine.
Application de l'Équation Quadratique en Régression Non Linéaire
La régression non linéaire est utilisée pour modéliser des données où la relation entre les variables indépendantes et dépendantes n'est pas linéaire. Une équation quadratique peut être utilisée dans des cas où cette relation prend la forme d'une parabole. Par exemple, on peut rencontrer des situations où une augmentation initiale d'une variable conduit à une augmentation rapide de la variable dépendante, suivie d'un ralentissement ou d'une diminution.
La régression non linéaire est utilisée pour modéliser des données où la relation entre les variables indépendantes et dépendantes n'est pas linéaire. Une équation quadratique peut être utilisée dans des cas où cette relation prend la forme d'une parabole. Par exemple, on peut rencontrer des situations où une augmentation initiale d'une variable conduit à une augmentation rapide de la variable dépendante, suivie d'un ralentissement ou d'une diminution.
Méthodes de Régression Non Linéaire
L'analyse de régression non linéaire implique plusieurs étapes cruciales:
Choix du Modèle: La première étape consiste à choisir un modèle approprié pour décrire les données. Dans le cas de l'équation quadratique, le modèle serait:
Estimation des Paramètres: Les paramètres a, b, et c doivent être estimés à partir des données disponibles. Cela se fait généralement en minimisant la somme des carrés des erreurs (différences entre les valeurs observées et les valeurs prédites par le modèle).
Évaluation du Modèle: Une fois les paramètres estimés, le modèle doit être évalué pour vérifier sa pertinence. Cela peut inclure des tests statistiques pour évaluer la signification des coefficients, ainsi que des mesures de qualité d'ajustement comme le coefficient de détermination R².
Diagnostic de Régression: Des diagnostics de régression peuvent être utilisés pour détecter des anomalies ou des points influents qui peuvent affecter la qualité du modèle.
L'analyse de régression non linéaire implique plusieurs étapes cruciales:
Choix du Modèle: La première étape consiste à choisir un modèle approprié pour décrire les données. Dans le cas de l'équation quadratique, le modèle serait:
Estimation des Paramètres: Les paramètres a, b, et c doivent être estimés à partir des données disponibles. Cela se fait généralement en minimisant la somme des carrés des erreurs (différences entre les valeurs observées et les valeurs prédites par le modèle).
Évaluation du Modèle: Une fois les paramètres estimés, le modèle doit être évalué pour vérifier sa pertinence. Cela peut inclure des tests statistiques pour évaluer la signification des coefficients, ainsi que des mesures de qualité d'ajustement comme le coefficient de détermination R².
Diagnostic de Régression: Des diagnostics de régression peuvent être utilisés pour détecter des anomalies ou des points influents qui peuvent affecter la qualité du modèle.
Importance de l'Équation Quadratique en Régression Non Linéaire
L'utilisation de l'équation quadratique dans la régression non linéaire est cruciale pour plusieurs raisons:
Flexibilité: Les équations quadratiques sont flexibles et peuvent capturer des tendances qui ne sont pas linéaires. Par exemple, elles peuvent modéliser des courbes en forme de U ou de U inversé, ce qui est fréquent dans de nombreux ensembles de données réels.
Simplicité: Par rapport à d'autres modèles non linéaires plus complexes, les équations quadratiques sont relativement simples à comprendre et à interpréter. Cela les rend accessibles pour les chercheurs et les praticiens qui peuvent ne pas avoir une formation approfondie en mathématiques avancées.
Utilisation Étendue: Les équations quadratiques sont utilisées dans de nombreux domaines, y compris l'économie, la biologie, la physique et l'ingénierie. Leur capacité à modéliser des relations complexes les rend extrêmement utiles dans une variété de contextes.
L'utilisation de l'équation quadratique dans la régression non linéaire est cruciale pour plusieurs raisons:
Flexibilité: Les équations quadratiques sont flexibles et peuvent capturer des tendances qui ne sont pas linéaires. Par exemple, elles peuvent modéliser des courbes en forme de U ou de U inversé, ce qui est fréquent dans de nombreux ensembles de données réels.
Simplicité: Par rapport à d'autres modèles non linéaires plus complexes, les équations quadratiques sont relativement simples à comprendre et à interpréter. Cela les rend accessibles pour les chercheurs et les praticiens qui peuvent ne pas avoir une formation approfondie en mathématiques avancées.
Utilisation Étendue: Les équations quadratiques sont utilisées dans de nombreux domaines, y compris l'économie, la biologie, la physique et l'ingénierie. Leur capacité à modéliser des relations complexes les rend extrêmement utiles dans une variété de contextes.
Exemple de Régression Quadratique
Considérons un exemple hypothétique dans lequel on veut modéliser la relation entre le nombre d'heures d'étude (variable indépendante ) et les scores des examens (variable dépendante ). Une relation linéaire pourrait ne pas être appropriée si, par exemple, les scores augmentent avec le nombre d'heures d'étude jusqu'à un certain point, après quoi des heures d'étude supplémentaires n'améliorent plus les scores de manière significative, voire les diminuent à cause de la fatigue ou du stress.
Considérons un exemple hypothétique dans lequel on veut modéliser la relation entre le nombre d'heures d'étude (variable indépendante ) et les scores des examens (variable dépendante ). Une relation linéaire pourrait ne pas être appropriée si, par exemple, les scores augmentent avec le nombre d'heures d'étude jusqu'à un certain point, après quoi des heures d'étude supplémentaires n'améliorent plus les scores de manière significative, voire les diminuent à cause de la fatigue ou du stress.
Estimation des Coefficients
L'estimation des coefficients , et dans une équation quadratique peut se faire par des méthodes numériques telles que la méthode des moindres carrés non linéaires. Les logiciels statistiques comme R, Python (avec des bibliothèques comme NumPy et SciPy), et SAS offrent des fonctionnalités pour effectuer ces estimations.
L'estimation des coefficients , et dans une équation quadratique peut se faire par des méthodes numériques telles que la méthode des moindres carrés non linéaires. Les logiciels statistiques comme R, Python (avec des bibliothèques comme NumPy et SciPy), et SAS offrent des fonctionnalités pour effectuer ces estimations.
Interprétation des Résultats
Une fois les coefficients estimés, il est essentiel d'interpréter les résultats. Par exemple, si le coefficient est négatif, la parabole s'ouvre vers le bas, indiquant une relation en forme de U inversé. Si est positif, la parabole s'ouvre vers le haut, montrant une relation en forme de U. Les coefficients et déterminent respectivement la position du sommet de la parabole et l'ordonnée à l'origine.
Une fois les coefficients estimés, il est essentiel d'interpréter les résultats. Par exemple, si le coefficient est négatif, la parabole s'ouvre vers le bas, indiquant une relation en forme de U inversé. Si est positif, la parabole s'ouvre vers le haut, montrant une relation en forme de U. Les coefficients et déterminent respectivement la position du sommet de la parabole et l'ordonnée à l'origine.
Évaluation de la Qualité du Modèle
L'évaluation de la qualité du modèle de régression quadratique inclut la vérification de la signification statistique des coefficients à l'aide de tests et la vérification de la qualité d'ajustement à l'aide de . Un élevé indique que le modèle explique une grande proportion de la variabilité dans les données, tandis qu'un faible suggère que le modèle peut ne pas être approprié.
L'évaluation de la qualité du modèle de régression quadratique inclut la vérification de la signification statistique des coefficients à l'aide de tests et la vérification de la qualité d'ajustement à l'aide de . Un élevé indique que le modèle explique une grande proportion de la variabilité dans les données, tandis qu'un faible suggère que le modèle peut ne pas être approprié.
Utilisation de Diagnostics de Régression
Les diagnostics de régression sont essentiels pour identifier les points influents, les valeurs aberrantes et les éventuels problèmes de colinéarité qui pourraient affecter la fiabilité du modèle. Les résidus doivent être examinés pour vérifier s'ils suivent une distribution normale et s'ils sont indépendants les uns des autres. Des graphiques des résidus peuvent être utilisés pour détecter des patterns non désirés.
Les diagnostics de régression sont essentiels pour identifier les points influents, les valeurs aberrantes et les éventuels problèmes de colinéarité qui pourraient affecter la fiabilité du modèle. Les résidus doivent être examinés pour vérifier s'ils suivent une distribution normale et s'ils sont indépendants les uns des autres. Des graphiques des résidus peuvent être utilisés pour détecter des patterns non désirés.
Application Pratique et Exemples
Les équations quadratiques sont utilisées dans de nombreux domaines pour modéliser des relations complexes. En économie, elles peuvent être utilisées pour analyser la relation entre l'investissement et le rendement. En biologie, elles peuvent modéliser la croissance des populations sous certaines conditions. En physique, elles décrivent les trajectoires des objets en mouvement sous l'influence de la gravité. Ces applications pratiques illustrent la pertinence et l'utilité des équations quadratiques dans divers contextes.
Les équations quadratiques sont utilisées dans de nombreux domaines pour modéliser des relations complexes. En économie, elles peuvent être utilisées pour analyser la relation entre l'investissement et le rendement. En biologie, elles peuvent modéliser la croissance des populations sous certaines conditions. En physique, elles décrivent les trajectoires des objets en mouvement sous l'influence de la gravité. Ces applications pratiques illustrent la pertinence et l'utilité des équations quadratiques dans divers contextes.
Avantages et Limites
Les avantages de l'utilisation des équations quadratiques incluent leur flexibilité et leur capacité à capturer des relations non linéaires simples. Cependant, elles ont aussi des limites. Par exemple, elles peuvent ne pas être appropriées pour des relations très complexes qui nécessitent des modèles de régression plus sophistiqués. De plus, elles supposent une relation parabolique, ce qui peut ne pas être le cas pour tous les ensembles de données.
Les avantages de l'utilisation des équations quadratiques incluent leur flexibilité et leur capacité à capturer des relations non linéaires simples. Cependant, elles ont aussi des limites. Par exemple, elles peuvent ne pas être appropriées pour des relations très complexes qui nécessitent des modèles de régression plus sophistiqués. De plus, elles supposent une relation parabolique, ce qui peut ne pas être le cas pour tous les ensembles de données.
Conclusion
L'équation de second degré joue un rôle crucial dans l'analyse de régression non linéaire en statistiques. En modélisant des relations complexes entre des variables, elle permet aux chercheurs et aux praticiens de mieux comprendre et prédire les tendances dans les données. Malgré certaines limites, son utilité dans divers domaines en fait un outil indispensable pour l'analyse statistique. Les progrès continus dans les méthodes de calcul et les logiciels statistiques continueront à améliorer la précision et l'applicabilité des modèles de régression quadratique, renforçant ainsi leur rôle dans la recherche et la pratique.
L'équation de second degré joue un rôle crucial dans l'analyse de régression non linéaire en statistiques. En modélisant des relations complexes entre des variables, elle permet aux chercheurs et aux praticiens de mieux comprendre et prédire les tendances dans les données. Malgré certaines limites, son utilité dans divers domaines en fait un outil indispensable pour l'analyse statistique. Les progrès continus dans les méthodes de calcul et les logiciels statistiques continueront à améliorer la précision et l'applicabilité des modèles de régression quadratique, renforçant ainsi leur rôle dans la recherche et la pratique.