Maths 1ère Bac Pro
Correction exercice 8 : Fonction , équation et inéquation du second degré ; Factorisation et tableau de signe.
Soit la fonction f(x) = 4x² - 52x +169 définie sur [ 3 , 15 ].
Voir fiche d'aide 👉 Fonction et équation du second degré
f(x) = 0 👉 4x² - 52x +169 = 0
Identifier les nombres a, b et c de l'équation du second degré :
4x² - 52x +169 = 0 est de la forme ax² + bx + c = 0
👉 a = 4 b = -52 c = 169
Calculer le discriminant ( Delta ) et dire combien de solution s'elle existe:
👉 ê= b² - 4ac = (-52)²- 4×4×169 = 0
ê = 0 👉 il y a 1 solution
👉 Calculer les solutions" après avoir rappeler les expressions des solutions" s'elles existent :
b. Factoriser " après avoir rappeler l'expression de la factorisation" la fonction du second degré f(x) = 4x² - 52x +169
ê = 0 👉 il y a 1 solution x1
👉 f(x) = ax² + bx + c = a( x - x1 )²
👉 f(x) = 4x² - 52x +169 = -8( x - 6,5 )²
c. Donner le tableau de signe de la fonction du second degré
f(x) = 4x² - 52x +169
x1 = 6,5
a = 4 donc le signe de a est positif « + »
d. En déduire du tableau de signe la ou les solutions "sous forme d'un intervalle " des inéquations suivantes s’elles existent :
1. f(x) < 0
D'après le tableau : f(x) < 0 n'existe pas 👉 donc pas de solution
2. f(x) ≤ 0
f(x) ≤ 0 est composé de f(x) < 0 et f(x) = 0.
D'après le tableau :
👉 f(x) < 0 n'existe pas 👉 donc pas de solution .
👉 f(x) < 0 n'existe pas 👉 donc pas de solution .
👉 f(x) = 0 a une solution x1 = 6,5
Donc f(x) ≤ 0 à une solution x1 = 6,5
S = { 6,5 }
3. f(x) > 0
D'après le tableau : f(x) > 0
lorsque x compris entre (3 et 6,5 ) puis entre (6,5 et 15); 6,5 ne fait pas partie de la solution ; c'est à dire:
👉 3 ≤ x < 6,5 ou bien 6,5 < x ≤ 15
👉 x appartient à [3 ; 6,5 [ ou bien à ] 6,5 ; 15 ]
👉 La solution est S = [3 ; 6,5 [ U ] 6,5 ; 15 ]
👉 La solution est S = [3 ; 15 ]/{ 6,5 }
Signifie que toute valeur entre 3 et 15 est solution ( 3 et 15 compris) sauf le 6,5.
4. f(x) ≥ 0
f(x) ≥ 0 est composé de f(x) > 0 et f(x) = 0.
D'après le tableau :
👉 f(x) > 0 a pour solution S = [ 3 ; 6,5 [ U ] 6,5 ; 15 ] .
👉 f(x) > 0 a pour solution S = [ 3 ; 6,5 [ U ] 6,5 ; 15 ] .
👉 f(x) = 0 a une solution x1 = 6,5
Donc f(x) ≤ 0 à pour solution
S = [3 ; 15 ]
S = [3 ; 15 ]
Signifie que toute valeur entre 3 et 15 est
solution ( 3 et 15 compris)
solution ( 3 et 15 compris)
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Equation de second degré dans le domaine de l'Astronomie : Modélisation des orbites des corps célestes.
Introduction à la Modélisation des Orbites en Astronomie
En astronomie, la modélisation des orbites des corps célestes est une tâche fondamentale pour comprendre les mouvements des planètes, des étoiles, des satellites et des autres objets dans l'univers. Les équations de second degré, ou équations quadratiques, jouent un rôle crucial dans cette modélisation, notamment dans l'analyse des trajectoires orbitales et des interactions gravitationnelles. Cet article explore comment les équations de second degré sont appliquées en astronomie pour modéliser les orbites des corps célestes, en mettant l'accent sur leurs utilisations pratiques et leurs implications théoriques.
Fondements Mathématiques des Équations de Second Degré
Une équation de second degré prend la forme générale :
ax2+bx+c=0
où a, b et c sont des coefficients constants, et x est la variable que l'on cherche à déterminer. Les solutions de cette équation sont données par la formule quadratique :
Cette formule est fondamentale pour résoudre de nombreux problèmes en astronomie, en particulier ceux liés à la détermination des trajectoires orbitales des corps célestes.
Orbites des Corps Célestes
Lois de Kepler
Les lois de Kepler décrivent les mouvements des planètes autour du Soleil et constituent la base de la mécanique céleste. Ces lois sont :
Les planètes décrivent des orbites elliptiques, avec le Soleil à l'un des foyers de l'ellipse.
Le rayon vecteur reliant une planète au Soleil balaie des aires égales en des temps égaux.
Le carré de la période orbitale d'une planète est proportionnel au cube de la longueur du demi-grand axe de son orbite.
Les équations de second degré interviennent dans la description mathématique des orbites elliptiques et dans la résolution des paramètres orbitaux.
Forme de l'Orbite
L'équation d'une ellipse, en coordonnées cartésiennes, est :
où a est le demi-grand axe et b est le demi-petit axe de l'ellipse. Cette équation est un exemple typique d'équation de second degré en deux variables. Elle permet de décrire la forme géométrique de l'orbite d'un corps céleste.
Équation Quadratique pour les Orbites Paraboliques et Hyperboliques
En plus des orbites elliptiques, certains corps célestes suivent des trajectoires paraboliques ou hyperboliques. L'équation d'une parabole en coordonnées cartésiennes est :
y² = 4ax
tandis que l'équation d'une hyperbole est :
Ces équations sont également des équations de second degré, et elles sont utilisées pour décrire les trajectoires des comètes et des astéroïdes qui passent près du Soleil ou d'autres étoiles.
Modélisation des Orbites à l'Aide d'Équations de Second Degré
Paramètres Orbitaux
Pour modéliser les orbites des corps célestes, il est essentiel de déterminer les paramètres orbitaux, tels que le demi-grand axe, l'excentricité, l'inclinaison, l'argument du périhélie, la longitude du nœud ascendant et la période orbitale. Ces paramètres peuvent être dérivés des observations astronomiques et sont souvent obtenus en résolvant des équations de second degré.
Détermination de l'Excentricité
L'excentricité e d'une orbite elliptique est un paramètre clé qui détermine la forme de l'orbite. Pour une ellipse, l'excentricité est définie par la relation :
où a est le demi-grand axe et b est le demi-petit axe. Cette formule est dérivée de l'équation quadratique de l'ellipse et illustre comment les équations de second degré sont utilisées pour caractériser les orbites des corps célestes.
Résolution des Équations de Mouvement
Les équations de mouvement des corps célestes sous l'influence de la gravité peuvent être résolues en utilisant les principes de la mécanique newtonienne. Pour les orbites elliptiques, paraboliques et hyperboliques, les solutions impliquent souvent la résolution d'équations de second degré pour déterminer les positions et les vitesses des corps à différents instants de temps.
Modélisation Numérique
Dans la pratique, la modélisation des orbites des corps célestes est souvent réalisée à l'aide de méthodes numériques. Les équations différentielles qui décrivent les mouvements orbitaux sont résolues numériquement, et les équations de second degré sont utilisées pour affiner les solutions et ajuster les paramètres orbitaux en fonction des observations.
Applications Pratiques en Astronomie
Prédiction des Éclipses
Les équations de second degré sont utilisées pour prédire les éclipses solaires et lunaires. En modélisant les orbites de la Terre et de la Lune, il est possible de déterminer les moments précis où les éclipses se produiront, en résolvant des équations quadratiques pour les positions relatives des corps célestes.
Suivi des Satellites
Le suivi des satellites artificiels en orbite autour de la Terre implique la résolution d'équations de second degré pour déterminer les orbites des satellites et prévoir leurs trajectoires futures. Ces calculs sont essentiels pour la navigation par satellite, les communications et l'observation de la Terre.
Exploration Planétaire
Les missions d'exploration planétaire, telles que les sondes envoyées vers Mars, Jupiter ou d'autres corps du système solaire, reposent sur des modèles orbitaux précis. Les équations de second degré sont utilisées pour planifier les trajectoires des sondes et assurer leur arrivée en toute sécurité à destination.
Étude des Exoplanètes
La détection et l'étude des exoplanètes, qui sont des planètes orbitant autour d'autres étoiles, impliquent l'analyse des variations de lumière stellaire causées par le passage des planètes devant leurs étoiles hôtes. Les équations de second degré sont utilisées pour modéliser ces variations et déterminer les caractéristiques orbitales des exoplanètes.
Perspectives Théoriques et Pratiques
Théorie de la Perturbation
La théorie de la perturbation est utilisée pour étudier les effets des forces perturbatrices sur les orbites des corps célestes. Ces forces peuvent être dues à l'influence gravitationnelle d'autres corps ou à des effets non gravitationnels tels que la pression de radiation. Les équations de second degré sont couramment utilisées pour modéliser ces perturbations et prédire leurs impacts sur les orbites.
Modélisation des Orbites dans le Cadre de la Relativité Générale
La relativité générale d'Einstein modifie la compréhension classique de la gravité et des orbites. Dans ce cadre, les orbites des corps célestes sont décrites par des géodésiques dans l'espace-temps courbé. Les équations de second degré sont utilisées dans les solutions approchées des équations d'Einstein pour modéliser les orbites dans des environnements gravitationnels forts, tels que ceux autour des trous noirs.
Calcul de la Position des Planètes et des Étoiles
Pour les observateurs terrestres, la précision des éphémérides, qui fournissent les positions des planètes, des étoiles et d'autres objets célestes à divers moments, repose sur des modèles orbitaux précis. Les équations de second degré sont intégrées dans les algorithmes qui génèrent ces éphémérides, permettant aux astronomes de planifier leurs observations avec une grande précision.
Développement de Techniques Observatoires
Les progrès dans les techniques observatoires, tels que l'interférométrie et l'astrométrie, améliorent la précision des mesures de position des corps célestes. Ces techniques reposent sur des modèles mathématiques complexes, incluant des équations de second degré, pour interpréter les données et affiner les modèles orbitaux.
Conclusion
L'équation de second degré joue un rôle central dans la modélisation des orbites des corps célestes en astronomie. Que ce soit pour la détermination des paramètres orbitaux, la résolution des équations de mouvement, la prédiction des éclipses ou le suivi des satellites, les équations quadratiques fournissent un outil mathématique essentiel pour comprendre et prédire les mouvements dans l'univers. En appliquant ces concepts mathématiques, les astronomes peuvent non seulement améliorer leur compréhension des dynamiques célestes, mais aussi explorer de nouveaux horizons dans l'étude et l'exploration de l'univers.
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